CHAPITRE XV

REUTIOXS ENTRE LES CORDES COMlinJNES ET LES OMBILICS DE DEUX CONIQUES. - CONIQUES HOMOTHÉTIQL^S. - PER- SPECn\'E DE DEUX COMQUTS TRANSFORMÉES EN CONIQUES HOMOFOCALES.

360. Les cordes communes à deux coniques existent par couples, comme on Ta vu (303, CorolL)^ ainsi que les ombilics (318). En outre les couples d'ombilics correspondent, en vertu de certaines relations, aux couples de cordes communes. Car deux cordes communes passent par un des trois points P, P, P", dont chacun a pour polaire, dans les deux coniques, la droite qui joint les deux autres (328) ; et deux ombilics conjugués sont situés sur une des trois droites qui joignent ces points deux à deux (3i7). Ainsi les ombilics situés sur la droite P'P" correspondent aux cordes communes qui passent par le point P.

Les relations auxquelles donne lieu cette correspondance font le sujet du présent paragraphe.

361. Si d'un point d'une corde commune à deux co^ ^ues on mène des tangentes aux deux coui'bes, les quatre droites qui joindront les points de contact de la première f^^ points de contact de la seconde passeront, deux à àeux^ par les deux ombilics correspondants à la corde commune.

Soient (fig. 122) na, nb et na'^ nb' les couples de tangentes aux deux coniques, menées par un point n d'une ^<>rde commune L. Les droites ab^ a'b' passent respective-

ment par les pôles p, p' de cette corde, et se renconti en un point m de L (327). La droîte aa' coupe pp' en point S. Prouvons d'abord que ce point reste fixe, c que soit le point n de la droite L.

Le triangle rnpp\ coupé par la transversale ac donne Téqualion

am a' p' Sp

ap a! m S/?' '

d'où, en élevant au carré,

Le point p étant le pôle de la drcrite L, on a

ap bp

am bm '

et conséquemment

/a/?y__ ap.

\am ) am.

bp pa.pb

bm ma ,mb

Une parallèle à la droite L, menée par le point p^ contre la première conique en deux points gy h, App e, f les points (réels ou imaginaires) communs aux coniques sur la droite L \ on sait que

Par suite,

ma, mo m c.m^f ^

\am J ms, m 9

Pareillement dans la seconde conique

CHAP. XV.— CORDES COMMUNES ET OMBILICS. 289 Donc

Sp'J -p'h'.p'g''