S^ H . / /'/'PS

Sy y p'A-.p'g'-

const.

Ce qui prouve que la droite aa^ passe par un. point fixe S de la droite pp'. La droite ab' passe aussi par un point fixe S'. Ces deux points correspondent aux deux signes de

l'expression du rapport ^« Conséquemment ces points S,

i' diuisent harmoniquement le segment pp'.

II reste à prouver que chacun de ces points est un ombilic des deux coniques. Or, cela se voit sans difficulté; car si Ton prend le point n de la droite L sur une tangente commune aux deux coniques, les deux tangentes na, na'^ et conséquemment la droite aa' qui joint les points de contact, coïncident avec cette tangenle commune, qui passe <iouc par le point S ou le point S'.

Ces points sont donc deux points de concours des tangentes communes aux deux coniques, c'est-à-dire deux <^mbilics.

Ainsi le théorème est démontré.

Réciproquement : Si par un point ombilical commun ^ deux coniques on mène une droite qui coupe ces courbes, lacune en deux points réels , etquen ces points on mène ^ts tangentes : les tangentes à la première courbe renconlieront les tangentes à la seconde en quatre points situés j ^ux à deuXj sur les deux cordes communes correspondantes à V ombilic.

En effet, soient «, a' deux des points des deux coniques

•ttûés sur la droite menée par un ombilic S. La tangente

^ « coupe chacune des deux cordes communes co/re^-

j pondantes à cet ombilic (360) en un point; et l'un des

24o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

deux points de contact des tangentes menées de ce point à la seconde conique, est situé sur la droite Sa, d'après le théorème démontré. Ce point de contact est donc a' , Donc, etc.

362. On voit sans difficulté que la démonstration du théorème (361) s'applique à cet énoncé différent :

Si d\in point d*une corde commune à deux coniques on mène aux pôles de celte corde, deux droites qui rencontrent les deux coniques j respectis^ement, en deux couples de points (a, b ef a', b') : /e5 droites menées des points d'un couple aux points de Vautre passeront , deux à deux, par les deux ombilics qui correspondent à la corde commune,

363. Soient a et TT {^fig- 122) les points où les droites Saa' et Spp' rencontrent la corde commune L : les trois droites «/?, a' p' et L concourent en un même point m, comme on l'a dit ci-dessus (361 ) ; on a dès lors

Sa afl S/? TT/?

^—,: — ; = --—: — ^ = const.

Sfl ««' S/?' TT/?'

Cette relation montre que les deux courbes sont homologiques (264). Donc :

Deux coniques quelconques sont deux figures homologiques dans lesquelles Vaxe d ^homologie est une corde commune, et le centre dliomologie est un' ombilic cor-respondant à cette corde {^) ,

Toutefois il faut que les deux coniques soient tellement placées, que les transversales menées par l'ombilic les rencontrent à la fois en des points réels, ou en des points imaginaires-, car si cela n'avait pas lieu, c'est-à-dire si une

( *) Cette propriété de deux coniques a été démontrée par des considérations de perspective, dans le Traité des Propriétés projcetives de M. Poncelet.

rVorVp. i58.)

CHAP. XV. — CORDES COMMUNES ET OMBILICS. 241 transversale rencontrait une conique en des points réels et l'autre conique en des points imaginaires, ces deux courbes ne seraient point homologiqties.

On peut dire encore que la corde commune prise pour axe d'homologie doit avoir chacun de ses points extérieur, ou intérieur, aux deux coniques à la fois. De sorte que si un point de la corde commune se trouve intérieur à une conique et extérieur à Taulre, comme cela peut avoir lieu à regard d^ine ellipse et d'une hyperbole», rotfo rorde n'est pas un axe d'Iiomologie des deux courbes.

364. Puisque, sauf cette restriction, deux coniques sont homologiques par rapport à une corde commune, prise pour axe d'homologie, il s'ensuit que si l'on fait tourner le plan d'une des deux coniques autour de la corde commune, les deux courbes se troubleront en perspectii^e, c'està-dire sur un même cône (G. S,^ 369).

365. Dans deux coniques^ deux ombilics conjugués S ^ S' forment une im^olution av^ec les couples de points des deux courbes situés sur la droite SS' . .

En effet, cette droite SS' a le même pôle P dans les deux coniques; et les tangentes aux points où elle rencontre ces courbes passent par ce point P. Mais ces tangentes et les àeax droites menées du point P aux deux ombilics^ forment tineinvolution (313), puisque les ombilics sont deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit aux coniques (345). Donc les six points en question sont en involution.

CpROLLAiRE. — Il résulte de là que : Par deux ombilics conjugués communs à deux coniques on peut mener une ^^oiiième conique passant par les quatre points d'intersection dés deux proposées (302).

366. Dans le quadrilatère aa'b'h (Jig. 12a) les deux points S, S', points de concours* des deux côtés €ta\ bb^

24a TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

et des deux diagonales ab'^ a'b^ divisent harmonique-

ment pp'» Donc :

Les pôles d'aune corde commune à deux coniques sont conjugués harmoniques par rapport aux deux ombilics correspondants.

367. Les polaires d'un ombilic sont conjuguées harmo^ niques par rapport aux deux cordes communes.

Car, si par Pombilic on mène une transversale qui rencontre les deux coniques, les tangentes aux points de rencontre se coupent deux à deux sur les deux cordes communes (361, Hccipr.), et forment par conséquent un quadrilatère dont ces cordes sont les diagonales, et dont les points d^ concours des côtés opposés sont sur les deux polaires de Fombilic. Donc ces deux points sont conjugués harmoniques par rapport à ceux où la droite qui les joint rencontre les deux cordes communes (G. *S.^ 341). Donc, etc.

§ II. — Cas particuliers relatifs à la position des deux coniques.

368. Quand deux coniques ont un point de contact et deux points d'intersection, réels ou imaginaires, elles n'ont que deux systèmes de deux cordes communes. La tangente au point de contact, et la corde, toujours réelle, qui joint les deux points d'intersection, forment le premier système, lequel est toujours réel. Les deux droites, réelles ou imaginaires, menées du point de contact aux deux points d'intersection forment le second système (réel ou imaginaire) (334?).

A chaque système de deux cordes communes correspond un système de deux ombilics.

Un ombilic du premier système, toujours réel, est 1^ point de contact des deux coniques, et le second ombilic,

CflAP. XY. — CORDES COMMUNES ET OMBILICS. 243 dès lors réel aussi (318), est le point de concours de deux tangentes (réelles ou imaginaires) communes aux coniques.

Les deux ombilics du second système (réels ou imaginaires) sont les points où la tangente aux coniques, en leur point de contact, est coupée par les deux autres tangentes communes aux deux courbes.

369. Quand deux coniques ont un point d'osculation, c'est-à»Klîre un point de contact du second ordre, qu'on peut considérer comme iroîs points consécutifs réunis en un seul, les deux courbes ont toujours un quatrième point commun réel, et une tangente commune réelle.

Alors elles n'ont qu'un système de deux cordes communes, savoir : leur tangente au point de contaojt et la corde qui joint ce point au point d'intersection des deux courbes. Elles ont aussi un seul couple d'ombilics^ savoir : leur point de contact et le point où leur tangente commune rencontre la tangente au point de contact.

370. 1® Quand deux coniques ont un double contact, cest-à-dire deux points de contact, elles ont deux systèmes de deux cordes communes : les tangentes aux points de contact forment le premier système -, et la corde qui joint les deux points de contact forme seule le second système. Cette droite, indéfinie, représente alors deux cordes communes coïncidentes et peut être regardée comme une conique passant par les points d'intersection des deux pro-

a° Les deux coniques ont aussi deux systèmes d'ombilics : les deux points de contact forment le premier système \ et le pôle de la corde de contact, qui est le point d'intersection des tangentes aux deux coniques en leurs points de contact, forme le second système; ce point représente deux ombilics coïncidents. La corde de contact est une conique ^ufîniment aplatie limitée aux deux points de contact et dès

lors inscrite dans le quadrflalère circonscrit aox deux proposées ; le pôle de cette droite représente une conique infiniment petite, inscrite aussi dans le quadrilatère.

3** On a vu que deux coniques peuvent avoir un double contact imaginaire, c'est-à-dire deux points de contact imaginaires sur une droite déterminée (3^, Item.), Dans ce cas le premier système de cordes communes est imaginaire, et il ne subsiste que la droite, ou corde de contact^ qui représente deux cordes communes coïncidentes : le pôle de celte droite, ou pôle de contact, représente le point d'intersection des deux cordes communes, imaginaires.

De même, le premier couple d'ombilics est imaginaire; et il ne reste que le pôle de la corde de contact, ou pôle de contact, qui représente deux ombilics coïncidents.

371 . Quand deux coniques ont un contact du troisième ordre, auquel cas leurs quatre points d'intersection isont réunis en un seul, et leurs quatre tangentes communes se confondent) elles n'ont qu'une corde commune, qui est la tangente en leur point de contact, et un seul ombilic, qui est ce point de contact.

Il s'ensuit que : Si d'un point de la tangente commune on mène des tangentes aux deux coniques, la droite qui joint les deux points de contact passe par le point de con- tact des deux courbes (361 ).

Réciproquement : Quand deux coniques se touchent cf^ un point A, si les tangentes menées d'un point quelconqu^^ de leur tangente commune en A ont leurs points de con .m tact toujours en ligne droite avec ce point A, les deux con^^ ques ont un contact du troisième ordre en ce point.

En effet, les deux coniques se touchant en A,- ce poi^ — est un omKlic, et la tangente est une corde commune. U~ '-^zi droite menée par Tombilic coupe les coniques en de?— nj

CHAP. XV. — CORDES COMMUNES ET OMBILICS. ^45 pciints, et les taDgentes eii ces points se rencontrent sur la seconde corde commune aux deux coniques (361, Récipr.). Mais ici, par hypothèse, ce point de rencontre est sur la taogente en A. Cette tangente représente donc deux cordes communes coïncidentes. Ainsi les deux coniques ont quatre points communs réunis en A, c'est-à-dire un contact du troisième ordre en ce point.

Corollaire. — Deux paraboles égales^ qui ont le même axe, ont un contact du troisième ordre à Vinjini,

Car si Ton mène aux paraboles deux tangentes parallèles, la droite qui joint les points de contact est évidemment parallèle à leur axe commun, et passe par conséquent par le point de contact des deux paraboles, situé i\ Tinfini sur cet axe. Donc, etc.

372. Si par le point de concours de deux cordes coniinuDPS à deux coniques, on mène des parallèles au système de diamètres conjugués communs en direction aux deux ioniques (307), ces parallèles sont conjuguées harmo- 'iiques relativement aux deux cordes, parce (ju'elles passent par les deux points à T infini conjugués par rapport aux deux coniques, el conséquemmenl par rapport aux deux bordes communes (300). Si Tune des coniques est un cercle, <îe« droites sont parallèles aux axes de Tautre courbe; mais, ^lant rectangulaires, elles sont les bissectrices des angles formés par les deux cordes communes (G. S., 80). Donc :

Les deux cordes communes à une conique et à un cercla font des angles égaux av^ec un axe de la conique.

Corollaire I. — On conclut de là que : Quand un Cercle est tangent à une conique, la corde quil intercepte dans la conique^ et la tangente au point de contact^ sont également inclinées sur un axe de la conique.

Cette proposition donne le moyen de mener par deux points d'une conique un cercle tangent à cette courbe. On