TRA.ITÉ DES SECTIONS CONIQUES
voit immédiatement que la question admet quatre solutions.
Corollaire II. — Le cercle osculateur en un point d'une conique rencontre la courbe en un autre point tel, que la corde qui joint ce point au point de contact, et la tangente en celui-ci, sont également inclinées sur un axe de la conique.
De là résulte une construction très- simple du cercle osculateur en un point d'une conique.
§ III. — Coniques homotliétiques.
373. Lorsque dans deux coniques il existe deux systèmes de diamètres conjugués de l'une, parallèles à des diamètres conjugués de Vautre, ces coniques sont homo^ thétiqutfs, c'est-à-dire semblables et semblablement placées.
D'abord, tout système quelconque de diamètres conjugués de l'une aura dans l'autre un système de diamètres conjugués parallèles, parce que trois systèmes de deux diamètres conjugués d'une conique forment une involutîon (172).
Soient ensuite AB et ab deux diamètres parallèles dans les deux coniques. Pour construire un point de la première courbe, on mène deux droites AM, BM parallèles à deux diamètres conjugués. Les parallèles à ces droites, a/w, É/n, déterminent un point de la seconde conique. Mais il est clair que les deux points M, m forment deux figures semblables et semblablement placées, dans lesquelles le ^
AB
rapport de deux lignes homologues est égal à — • Donc, etc. •
374». Deux coniques homothétiques ont une corde com—^ mune, à Vinjini,
Si les deux coniques sont des hyperboles, leurs asyj ploies sont parallèles, par conséquent les deux courbes o\
CUAP. XV. — CONIQUES BOMOTHÉTIQUES. ^47 deux points d^ntersection à Tinfini, et la corde qui joint ces points est elle-même à Tinfini.
Quand les deux coniques sont des ellipses, deux diamètres conjugués de Tune sont parallèles à leurs homologues dans l'autre; par conséquent deux.points à l'infini, conjugués par rapport à une conique, sont conjugués par rapport à l'autre. La droite située à Tinfini est donc une corde commune (327).
Réciproquement : Quand la droite située à V infini est une corde commune à deux coniques, ces courbes sont homothétiques.
En effet, les deux courbes ont les mêmes systèmes de deux points conjugués sur la corde commune située à linfini (327); dès lors deux diamètres conjugués quelconques de Tune sont parallèles ^ respectivement, à deux diamètres conjugués de l'autre; ce qui prouve qu^elles sont Wnothétîques (373).
375. Deux paraboles quelconques sont toujours deux figures semblables.
En effet, les équations des deux paraboles sont de la ^orme
'iirp=\.kp ^'=V.Ay (208).
Le point m de la première étant pris arbitrairement, il existe sur la seconde un point m' àoui les coordonnées sont
Ay=Y^P ^^ m'p' =z rr'mp.
Car ces coordonnées satisfont à l'équation de la seconde ^ourbe, en vertu de celle de la première. Ainsi aux points m de la première parabole, correspondent sur la seconde des points m' dont les coordonnées sont proportionnelles à celles des points m. Donc les deux courbes sont semblables.
ConoLLAiRB. — Si les axes des deux paraboles sont p«-
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ralièles, les deux courbes sont samblablement placées ^ àe sorte qu'elles sont honiothétiqufs. Alors elles ont un point de contact à riiifiui. C'est le point situé sur leurs axes parallèles : et leur tangente en ce point est la droite située à Tinfini. Cetle droite est une corde commune aux deux courbes (368); ainsi ou peut dire que : Deux pamboles quelconques y qui ont leurs axes parallèles^ sont homothé tiques et ont conscquemment une corde commune à Vinjinû
376, Deux coniques homothétiques et concentriques ont un double contact sur la droite située à l' infini.
Eu eflct, les deux coniques ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués (373) ; par conséquent elles ont les mêmes tangentes issues de leur centie commun, parce que ces tangentes sont les rayons doubles de Tinvolution formée par les couples de diamètres conjugués (Hl); et les points de contact sont les mêmes, puisqu'ils sont sur la droite située à l'infini. Les deux coniques sont donc tangentes entre elles en ces deux points. Donc, etc.
Réciproquement ; Quand deux coniques ont deux points de contact à Vinfiniy elles sont concentriques et homo^ thé tiques.
En ciï'el, d'une part, le pôle de la corde de contact, qui est le même dans les deux courbes, est aussi le centre de chacune d'elles. Et d'autre part, les systèmes de diamètres conjugués sont les mêmes dans les deux coniques, puisque les tangentes issues du centre sont les mêmes. Doue les deux coniques sont homothétiques (373). Donc, etc.
377. Quand deux coniques homothétiques sont concentriques, les segments interceptes entre les deux courbes sur une transversale sont égaux.
En eflet, les deux segments ««', AA' [fig* i23) appartiennent à une involution (300) dont un point double est situé à l'infini *, c'est le point situé sur la corde de contact
