CHAP. XV. — CONIQUES HOMOTHÉTIQUES

des deux coniques (376), qui représente deux cordes communes coïncidentes (370). On a donc

Aa = AV. (G. S. y 195 ) c. q. f. d.

Celte démonstration s*applique à une hyperbole et à ses deux asymptotes.

Elle s'applique aussi à deux paraboles égales dont les axes coïncident en direction. Car ces courbes ont un contact du troisième ordre à Tinfini (371, Coro//.), etconséquemment deux cordes communes qui se confondent avec la droite située à Tinfini.

378. Mener par trois points une conique homothétique à une conique donnée.

Soient A, B, C les trois points donnés. Qu'on mène par 'e milieu de la corde AB une droite parallèle au diamètre de la conique donnée conjugué à la direction de AB. Cette pstrallèle sera un diamètre de la conique cherchée. Avec la corde AC, on déterminera un second diamètre. De sorte 4^^ le centre de la conique se trouve déterminé. Et par **^ile la consliuclion de la courbe est connue (166).

379. Construire, une conique Iwinothélique à une co- ^*7//e donnée et tangente à trois droites,

Qu'on mène à la conique donnée six tangentes parallèles, ^^Ux à deux, aux trois droites; elles forment, trois à trois, *^Uîi triangles, égaux deux à deux, qui se réduisent à quatre ^ afférents, et tous semblables au triangle formé par les ^**oîs droites données. Qu'on mène, des sommets d'un trian- St<î, des droites au centre de la conique, et par les sommets ^^ triangle donné des parallèles à ces droites; ces paral- ^^les détermineront le centre d'une conique satisfaisant ^ la question.

H y a donc quatre solutions.

a5o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

^ IV. — Propriétés relatwes à trois coniques qui ont une corde commune ^ ou un ombilic commun,

380. Quand trois coniques C, C, C'^ ont une corde commune, les trois cordes conjuguées à celle-là, dans les co^ niques prises deux à deux, passent par un même point.

En effet, soit D la corde commune aux trois coniques, D', jy\ \y" les trois autres cordes appartenant, la première aux courbes C etC, la seconde à C et C", et la troisième à Cet C. Soit d' le point de rencontre des deux droites ly, I^. Une transversale menée par ce point rencontre la droite en J, la droite D^'' eu d"'^ et les trois coniqdes en trois couples de points a, a'; b, b\ et c, c'.

Les trois couples de points «, a'; i, b' et rf, d' sont en învolution (300) \ de même les trois couples a^ a' -^ c^c' et rf, d^. Donc les trois couples /?, b' \ c, c' et d^ d' sont en involution (G.aS., 196). IViaisles trois couples i, i'-, c, c'et </, ^'" sont aussi en involution (300) : donc rf''^ coïncide avec rf'. C'est-à-dire que la droite I^ passe par le point de rencontre de D' et D". Ce qu'il fallait démontrer.

381. Quand trois coniques ont une corde commune, les trois couples d*ombilics qui correspondent à cette corde, forment les quatre sommets et les deux points de concours des côtés opposés d^m quadrilatère j de sorte que les six ombilics sont, trois à trois, sur quatre droites.

En effel, soient O, O', O" les pôles de la corde commune aux trois coniques ; les six ombilics sont situés deux a deux sur les trois droites OO', OiT, O'Cy (361). Que d'un point m de la coixie commune on mène aux trois points O, 0\ (y des droites qui rencontrent, respectivement, les ti-ois coniques en in^is couples de points a, a' \ b^b' et c, c'. Considérons trois de ces six points, pris sur les trois coniques, tels que «, A, c. Les droites ai, Ac, ca qui les

CHAP. XV. —PERSPECTIVE DE DEUX CONIQUES. aSi joignent deux à denx passent par trois des ombilics (36S), teiquels sont les points où ces droites rencontreront, respecliveroenl, les trois OO', O'C et Cy'O (361 ). Mais ces trois points de rencontre sont en ligne droite, parce que les trois droites Oa, O'A, Of'c qui joignent deux à deux les sommets des deux triangles OO'O'' et ahc^ partent d'un même point m [G, 4$., 365). Ce qui démontre la proposition.

382. Quand trois coniques ont un ombilic commun^ les trois autres ombilics conjugués a celui-là sont en ligne droite.

Les démonstrations de cette proposition et de la suivante sont en quelque sorte calquées sur celles des propositions (381 et 382) ; il serait superflu de les reproduire.

383. Quand trois coniques ont un ombilic commun, les trois couples de cordes communes aux coniques prises deux à deuXy qui correspondent à cet ombilic, foiment les côtes et les diagonales d^un quadrilatère, de sorte que ces six droites passent^ trois à trois^ par quatre points.

S V. — Perspectiv^e de deux coniques de\>enant deux coniques homojocales ou deux cercles.

384. Etant données deux coniques^ on demande de fi^re la perspectiv^e de ces courbes, de manièœ quelles tiennent deux coniques homofocales.

Les deux coniques doivent n'avoir qu'un système de ^eux ombilics réels, et ces points doivent être intérieurs ^«x deux courbes.

Première solution. — Soient F, F' ces deux ombilics. Il stiffit de faire la perspective Je manière que ces points deviennent les foyers de Tune des deux nouvelles courbes (298, 5®). Ils seront aussi les foyers de Tautre, parce que quand un ombilic commun à deux coniques est un foyer "^ Tune, il est aussi un foyer de l'autre, en \crtu de la

a52 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES,

propriété (276) des foyers. Ainsi le problème est résolu.

Deuxième solution. — Deux coniques honiofocales ont deux ombilics imaginaires à Tinfinî sur un cercle (294). D'après cela, qu'on cherche les trois droites dont chacune a le même pôle dans les deux coniques proposées. Sur l'une de ces droites se trouvent les deux ombilics réels F, F', des deux coniques (347), et sur chacune des deux autres sont deux ombilics imaginaires. Il suffit donc de faire la perspective de la figure .de manière que l'une de ces dernières droites, L, passe à l'infini, et que les deux ombilics qu'elle contient se trouvent sui' un cercle.

A cet effet, qu'on prenne sur la droite L, deux couples de points conjugués harmoniques par rapport aux deux ombilics situés sur cette droite-, soient a, a' et è, b' ces deux couples de points. Qu'on décrive sur les segments aa\ bb' comme diamètres, deux circonférences qui se rencontrent en deux points O, O'*, et sur la droite OO' comme diamètre, une circonférence dans le plan perpendiculaire au plan de la figure. L'œil qui fera la perspective sera placé en un point quelconque de cette circonférence : et le problème sera résolu.

385. Étant données deux coniques y on demande d'en Jaire la perspective de manière que ces courbes deviennent deux cercles.

Il est évident qu'il faut que les deux coniques n'aient pas leurs quatre points d'intersection réels, çiais deux au plus. Dès lors elles n'ont que deux cordes communes réelles ; et sur une de ces droites, ou sur les deux, les points d'intersection sont imaginaires. .,

Soit Lune corde commune satisfaisant à cette condition. On fera la perspective de manière que Tune des deux coniques devienne un cercle dans lequel la droite L aura passé à l'infini (298, 1^). L'autre conique sera aussi un cercle, puisque ces courbes, ayant une corde commune à l'infini, ^

CHAP. XV. — PERSPECTIVE DE DEUX CONIQUES. ^53 seront homothétiques (374) . Le problème est donc résolu ( i ) .

Observation. — On peut résoudre, par les mêmes principes, diverses autres questions concernant la perspective de deux coniques : par exemple, demander que les deux courbes deviennent deux hyperboles équilatères, ayant un foyer commun^ deux paraboles ayant un foyer commun; deux coniques homothétiques ayant un foyer commun ; Tune un cercle, et l'autre une conique ayant son foyer au centre du cercle.

(*) Cette question seule a été résolue, par des considérations fort différentes, dans le Tmité des Propriétés projectives des figures de M. Ponerfel(art. 110 et 121).