CHAPITRE XYL
PROPRIÉTÉS DE TROIS ET DE QUATRE CONIQUES PASSANT PAR QUATRE POINTS, OU TANGENTES A QUATRE DROITES.
§ I. — Trois coniques passant par quatre points. .
386. Théobème général. — Quand trois coniques passent par quatre points (réels ou imaginaires), si de chaque point m de Vune^ on mène à deux points fixes 0, O', des droites qui rencontreront respectii^ement les deux autres coniques en des points a^ a^ et h, W : on a la relation constante
, , ma, ma' mh *mb'
^ ■ Oa.Oa' O'b.O'b'
C'esl-à-Jire que si d'un autre point fx de la première conique on .mène aux points O, O' deux autres transversales, qui rencontreront les deux autres courbes en aj, a, et A,, h\ , respectivement, on aura Téquation
ma .ma' ^ mb,mh' pa,.|xfl', ^ p^, ^b\
^' ^ Oa.Oa'' O'b.O'b''^ Oa,,Oa\ ''0'b,.0'b\'
Soient A, A' et B. B' les points où la droite mfji rencontre la deuxième et la troisième conique : on a dans le triangle wO|[x, par le théorème de Carnot (23), l'équation
ma .ma' ^ uai.iia\ mk.mA!
Oa.Oa' * Oa,.Oa\ ~ fxA.fxA' '
Et pareillement dans le triangle mO' y.^
mb.mb' \Lbx.\t.b\ w/B.wB'
O'b.O'b' • 0'b,.0'b\ ~" fiB.fiiB''
CH. XVI.— TROIS CONIQ. PASS. PAR QUATRE POINTS. aSS Mais les trois coniques passant par les quatre mêmes points, les trois couples de points /w, fx; A, A' et B, B' sont en involution (302), et Ton a
m A. m A' /wB.mB' pA.fiiA' "~ fxB.pB'*
Cette équation et les deux précédentes donnent celle qu'il s'agit de démontrer. Donc, etc.
Réciproquement : 5^, ayant deux coniques C, C et àeux points fixes O, O', on cherche un point m tel, que Us segments faits sur les deux droites mO, mO^ par les deux coniques, respect ii^ement y satisfassent à la relation
, , ma, ma' mb.mb'
"^ 0^707- cTôrW ='='"'**• = ' =
fc Ueu du point m sera une conique passant par les points d*intersection [réels ou imaginaires) des deux coniques proposées.
Cherchons les points d'une droite donnée L qui satisfont ^ la question : soit m un de ces points, et «j, a\ ; i, , b\ 'w couples de points dans lesquels la droite L rencontre les deux coniques C, C
Que par les points O, O' on mène parallèlement à L, "eux droites qui rencontreront les coniques en û, , a\ et ^ii b\ respectivement; on aura (49)
ma, ma' mat,ma\ mb,mb' mbi.mb\
Ofl.O/i' ~0<?,.Ofl',' O'b.O'b' "^ 0'b,.0'b\'
d'où
l^x mai,ma\ ^ mbx . nib\ ■___ .
Oa, On\'' 0'b,.0'b\ ~ *"
On détermine par celte équation deux points m, m' ap- P^ï*tenant au lieu géométrique cherché; et Ton a évidem-
ment entre ces deux points la relation
ma , . ma\ m'a , . m'a\ mby.mb\ m'bx>m!b\
qui exprime que les deux points w, m' forment une învolution avec les deux couples a, , a, ; b^ , b\ . Donc si la transversale L tourne autour d'un point m, appartenant à la courbe cliercliée, le point m' décrira une conique passant par ce point m et par les quatre points d'intersection des deux proposées C, C (303). Ce qui démontre le théorème.
387. Corollaires. — L'équation (i), et l'équation (a) qui en est une conséquence, comme nous venons de le voir, donnent lieu à de nombreux corollaires qui sont autant d'expressions différentes du même théorème général.
I. — Supposons d'abord que les points O et O' soient les centres des deux coniques C, C, et que D, D' soient les demi-diamètres parallèles à la droite L menée par un point m de la troisième courbe; 1 équation (a) devient
ma^.md. mbx.mb\
—^. :-^ = const. = X.
Ainsi :
Quand trois coniques ont les mêmes cordas communes^ si par un point m de Vune, on mène une droite qui rencontre les deux autres en deux couples de points a, a' et b, b', et que D, D' soient les demi-diamètres de ces deux courbes, paiallèles à la droite, on aura la relation constante
,. ma, ma', mh.mb*
(3; — jp — : — ^^. = coDSt. = X,
quels que soient le point m de la première conique, et la direction de la droite menée par ce point.
CH.XVI.— TROIS CONIQ. PASS. PAR QUATRE POINTS. 257 II. — La même équation a lieu, en vertu du théorème de Newton (49), lorsque les points a, a! ^ i, i' des deux coniques sont sur des transversales difTéreutes, menées par le point m dans des directions quelconques; D et D' étant les demi -diamètres parallèles à ces droites, respectivement. De sorte que si les deux droites ma, mb sont tangentes aux deux coniques, Téquation devient
ma mb
-=-- : --7- = const.
Donc :
Quand trois coniques ont quatre points communs, si de chaque point de Vune on mène une tangente à chacune des deux autres, et quon prenne le rapport de chaque tangente au demi-^amètre qui lui est parallèle : les deux rapports sont entre eux en raison constante.
ni. — Si dans le théorème général (386) le point O' est à rinfini, dans une direction déterminée, l'équation (i) subsistera comme si les segments comptés à partir de ce point devenaient égaux à Tunité, c'est-à-dire qu'on aura
it\ ma, ma , t» .. ^
(4) -7:^ — — —r : /w6./w6'= const. = >,.
Car dans l'équation (i') le rapport q,l q, y devient égal à Puniié.
IV. — Si le point O est aussi à l'inâni, l'équation se réduit à
tt\ ma, ma'
