résulte de là, évidemment, que
Quand deux cercles égaux ont un double contact ax^ec une conique y et que les cordes de contact sont parallèles, la somme ou la différence des tangentes menées aux deux cercles par chaque point de la conique est constante,
393. Chacune des deux coniques C, C'peut être l'ensemble de deux droites, ou bien un point qui représentera une conique infiniment petite, homothélique à une conique donnée.
Supposons que la première C soit un point P, et la seconde CTensemble de deux droites L, \J\ on se servira de Téquation (4) de l'article (387), dans laquelle on pourra remplacer le produit mb,mb' par le produit des distances du point m aux deux droites -, et on prendra pour le point O le point P lui-même. Le produit Oa.O«', ouPa.Pa', est proportionnel au carré du diamètre D parallèle à Pm dans la conique à laquelle la courbe infiniment petilcC est homotbiétique. De sorte que l'équation deviendra
— :(/w,L).(/7?,L') = const.
Le lieu du point m déterminé par cette équation est une conique ayant pour axes de symptose avec la conique infiniment petite les deux droites L, L'.
Corollaire. — Si la conique, à laquelle le point P, regardé comme une conique infiniment petite, est homothétique, est un cercle, l'équation se réduit à
= CODSt.
Donc :
Étant donnés un point fixe P, deux droites et une raison X, le lieu d^un point dont le carré de la distance au point fixe est au produit de ses distances aux deux
CH. XVI.— TROIS CONIQ. PASS. PAR QUATRE POINTS. 263 droites^ dans la raison "k^ esL une conique qui passe par ks points d'intersection {imaginaires) des deux droites et du cercle infiniment petit représenté par le point fixe.
Réciproquement : Étant pris arbitrairement un point P dans le plan d'une conique, on pourra toujours déterminer deux droites telles, que le carré de la distance de chaque point de la conique au point V^ et le ptx>duit des distances du même point de la courbe aux deux droites, soient en raison constante.
En effet, ces deux droites seront les axes de symptose de la conique etdu cercle iufiuimentpetit représenté par le point.
Conséquemment ces droites sont cgalemenl inclinées sur Tun des axes de la conique (372).
394. Si les deux coniques C, C se réduisent à des points P, P' qui représentent des coniques infiniment petites données d'espèce, c'est-à-dire homothétiques à deux coniques données Z, Z\ Téquation (i) devient
iwP wP'
/wP
/wP'
! — 7— = const.
ou
-—r- = const.
Di • D/2
D, D' sont les demi-diamètres parallèles à Pm etP'/w dans les deux coniques S, 2'. De sorte que si ces courbes ont leurs centres en P et P' (fig» 1^4), l'équation s'écrira
wP /wP'
PÂ-FT = """*'• Donc:
Étant données deux coniques quelconques dont les centres sont P e^ P', si l'on demande de trouver un point m tel, que le rapport de ses distances à ces deux centres et le rapport des demi -diamètres des deux co^ niques situés sur les droites Pm, P'm, soient en raison donnée : le lieu du point m sera une conique qui passera parles points d'intersection (imaginaires) des deux coni-
ques infiniment petites placées aux points P, P' et homo-
thétiques aux deux coniques données.
La coBÎquie trouvée divise harmonîquçmcDl le "segment PP'.
Réciproquement : Si Von prend dans te plan d'une conique G' deux points P, V conjugués par rapport à cette conique^ on peut déterminer deux autres coniques 2, S' ayant leurs centres en ces points ^ et telles, que le rapport des distances de chaque point de la conique C aux deux points P, P', divisées respectivement par les demi-diamètres des deux coniques S, 2' situés dans la direction de ces distances, sera constant.
395. Si Ton conçoit deux cylindres quelconques ayant pour bases les deux coniques 2, 2' (fig> i ^4)? et qu'on mène par le point m des plans qui coupent les deux cylindres suivant des cercles, leurs axes en deux points /?, p\ et les arêtes qui parlent des points A, A' en deux points a, a\ on aura
/M P mp m P' mp^
pX""'^ ^^ P^Â'~"^'
mp va
— 7 = -7-7 X const.
mp' /?' a
Le second membre est constant, parce que pa et p'a' sont les rayons de deux cercles. Donc
mp Ainsi :
mp — — ~ const»
Lorsque deux droites sont données dans l' espace ^si Von demande de trouver dans un plan donné un point dont les distances aux deux droites, estimées parallèlement à des plans fixes donnés, soient dans un rapport constant : le lieu de ce point est une conique.
CH. XVI.— TROIS CONIQUES INSC. DANS UN QUADR. ^65 Réciproquement : Si Von prend deux points P, P' conjugués par rapport à une conique C", et qu'on mène par ces points deux droites fixes quelconques A, A', obliques ou perpendiculaires au plan de la figure : on pourra déterminer les directions de deux plans Q, Q' tels, que les distances de chaque point m de la conique C aux deux axes A, A', comptées parallèlement aux deux plans, aient un rapport constant.
Car ces plans seront ceux qui couperont suivant des cercles les deux cylindres ayant pour axes les droites A, A', et pour bases les deux coniques S, Z^ de la réciproque du théorème précédent.
§ in. — Propriétés relatii^es à trois coniques inscrites dans un même quadrilatère,
396. Théorème cÉffÉRAL. — Étant données trois coniques C, C et 2 inscrites dans un quadrilatère, et deux droites fixes O, O'j si par les points où, une tangente M • de la conique S rencontre les deux dmites 0< C/, on mène les tangentes A, A' et B, B' aux deux coniques C, C res^ pecn\f€ment, on aura la relation
/v 8in(M, A).sin(M, A') ^ sin (M, B),sin (M,.B') __
^*' sin(0, A).sin(0,A') * sin (O', B).siD(0', B') ~ ^^"^^•*
(juelfe que soit la tangente M.
La démonstration sera imitée de celle du théorème (386).
Réciproquement : Étant données deux coniques C, C ^ï deux droites fixes O, O', si Von mène une transiter - ^ûfeM, de manière que les tangentes A, A' et B, B' me- ^es aux deux coniques, par les points ou cette transitersale rencontre les deux droites 0,0', satisfassent à la ^dation
sin(MyA).sin(M,A^) . sin(>f, B).sïn (M, B^ ^ sin(0, A).sin(0, A') ' sin (O', B}.sin(0', B') "" '
X étant une constante donnée: Veni^eloppe de la droite M
sera une conique inscrite dans le quadrilatère circonscrit
àCetC/.
Corollaire. — Les deux droites fixes O, Of peuvent se confondre en une seule \ le théorème reçoit alors cet énoncé :
Étant données trois coniques C, C et 2 inscrites dans un même quadrilatère, et une droite fixe O ; si par chaque point de cette droite on mène des tangentes A, A'e^B, B' aux deux coniques C, C, e^ une tangente Ma la troisième conique S, on aura la relation
sin(M, A).sin(M,AO , sin(M, B).sin (M, B^) __ sin(0, A).sin(0, A') * sm{0, B).sin (O^B') "" ^^"* '
397. Supposons qu'une transversale rencontre les tangentes et la droite fixe O en des points //i, a, a\ 6, fe' et o ^
,, . siD(M, A) sin(M,B) ,
1 expression . ' , ; : . )^ ' est un rapport annarmo- ^ sin(0, A) sin(0, B) ^^
, I ^ ma mh ti > • n /
nique égal a — : — . il s ensuit que 1 équation entre
les sinus donne celle-ci :
ma. ma! mb,mb'
T • — i — TT = consl.
oa . oa ob . ob
Corollaire. — Si la transversale est menée parallèlement à la droite fixe O, cette équation se réduit à
mh .mh'
: const.
398. Si la droite fixe O est à l'infini, les cinq tangentes menées par un point de cette droite sont parallèles entre elles. On peut alors considérer les segments m«, ma', /ni, mV comme représentant les distances de la tangente de 2
CH. XVI.— TROIS CONIQUES INSC. DANS UN QUADR. 367 aux tangentes des deux autres courbes ^ et Ton a ce théorème :
Quand trois coniques C, C\^sont inscrites dans un quadrilatère^ si on leur mène des tangentes parallèles entre elles : le produit des distances d 'une des tangentes de la conique^ aux deux tangentes de la conique C, et le produit des distances de la méme~ tangente de Z aux deux tangentes de C, seront en raison constante.
CoaoLLÀiRE I. — Si Ton prend pour la conique Z la droite qui joint deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit aux deux coniques C, C, on en conclut cette propriété relative à deux coniques :
Si Von mène à deux coniques, quatre tangentes parallèles, A, A' à Vune, et B, B' à Vautre, le produit des dislances de A et A' à un sommet du quadrilatère circonscrit aux deux courbes, sera au produit des, distances de B et B' au même point, dans une raison constante, quelle que soit la direction commune des quatre tangentes^ Et cette raison est la même à V égard du sommet opposé, CoKOLLÀiRE U. — Si les deux coniques Z et C étant quelconques, on prend pour C la droite limitée à deux ombilics conjugués de ces deux courbes, le théorème a cet énoncé : Etant données deux coniques Z et C, si on leur mène des tangentes parallèles, le produit des distances d^une tangente de la première aux deux tangentes delà seconde, et lo produit des distances de la première tangente à deux ombilics conjugués des deux coniques ^ seront en raison constante.
Corollaire III. — Si les deux coniques sont homofocales, les foyers sont deux ombilics conjugués (294) ; or le produit des distances de chaque tangente de la première, aux foyers, est constant (285^ Coroll. II) -, il s'ensuit donc que : Quand deux coniques sont homo focales, si on leur mène des tangentes parallèles, le produit des distances d'une
tangente de la première aux deux tangentes de la seconde,
est constant.
399. Soient C, C et Z trois coniques quelconques inscrites dans un même quadrilatère ^ on leur mène des tangentes parallèles entre elles \ A, Â^ sont les deux tangentes à la première, B, B' les deux tangentes à la seconde, et M une des tangentes à la troisième ; en désignant par (M, A) la distance de la tangente M à la tangente A, et ainsi des autres distances, on a la relation
Le produit (M, A) . (M, A') est positif quand les deux tangentes A, A' de la conique C sont d'un même côté de la tangente M, et négatif quand ces deux tangentes sont de côtés difierents de la tangente M. Si la conique C est une ellipse, la tangente M la rencontre ou ne la rencontre pas, selon que le produit (M, A). (M, A') est négatif ou positif; et si cette conique est une hyperbole, c'est le contraire 5 c'està-dire que la tangente M rencontre ou lie rencontre pas l'hyperbole, selon que le produit (M, A). (M, A') est positif ou négatif.
Il en est de même du produit (M, B) . (M, B'), à Tégard delà conique C.
Le rapport des deux produits étant toujours le même, quelle que soit la tangente M qui roule sur la conique 2, on conclut de ces considérations que :
Quand trois coniques C, C, 2 sont inscrites dans un quadrilatère [réel ou imaginaire), si une tangente de^ rencontre une seule des deux coniques C, C, // en sera de même de toute autre tangente de 2 5 c'est-à-dire que chaque tangente rencontrera une des deux coniques C, C [Vune ou Vautre indijjéremment) y mais une seul^.
CHAP.XVI.— QUATRE GONIQ. CÎRC. A UN QUADR. 269 Et si une tangente rfeS rencontre les deux coniques C, C! chacune en deux points y ou non rencontre aucune ^ lien sera de même encore pour toutes les autres tangentes de la conique 2.
