TRAITÉ DES SFXTIONS CONIQUES

de points dans lesquels cette droite rencontre les deux premières coniques y et par m, n deux des points dans lesquels elle rencontre la troisième et la quatrième, respec' tii^ement, on a la relation constante

ma . mn' na . na!

: — 5 = coDSt. ,

mb . mb' * nb . nb'

quelle que soit la transversale.

En eflfet, soient D, D' les demi -diamètres des deux coniques C, C parallèles à la transversale ; on aura

ma . ma' mb . mb'

D» ' D>' =co"St.=>;

et de même

na . na' nb . nb' ,__^ , ,

— g^:-j^77~=-const.=^: (387,1.)

De ces deux équations on conclut celle qu'il s'agit de démontrer.

§ V. — Propriété relatis^e à quatre coniques inscrites dans un mênie quadrilatère.

402. Quand quatre coniques C, C, C^', Q"' sont inscrites dans un quadrilatère^ si d*un point P on mène aux deux premières deux couples de tangentes h^ h! et B, B', à la troisième une tangente M, et à la quatrième une tangente N, on aura la relation

sin(M, A).sin(M, K') , sin(]N[, Aj.sinfN, A') sin(M, B).sin(M, B') ' siniJN, B).sin(N, B') "" ^^"^**'

quel que soit le point P par lequel on a mené les tangentes. Ce théorème est le corrélatif du précédent. Carl'équa-

CH. XVI. — QUATRE CONIQ. INSC. DANS UN QUADR. 07,

tion

ma . ma' na . na'

= coilst.

mb.mb' ' nb.nb'

secnt

(ma na\ [ma' na'\ mb nb) \mb nb j

et ne renferme que des rapports anharinoniqucs, de même que réqiiation qu'il s^agîtde démontrer, et qui est la 'corrélative de celle-là. Mais voici une démonstration directe du théorème.

Soit une droite O prise arbitrairement, et sur celte droite un point Q; que par le' point où la tangente M rencontre cette droite on mène aux deux coniques C, C les couples de tangentes a, cl' et 6, 6'; et par le point Q les couples de tangentes Ai , A'^ et Bj , B', . Représentons par I la droite PQ. Considérant le triangle formé par les trois droites M, O, I, et les tangentes aux deux coniques C, C, menées par ses sommets, on a (29) les deux équations

sin(M,A).8in(M,A') sin(I, A.).sin(I, A',) sin(0, a).sin(0, a') sin(l,A).sin(I, A')*sin(0,A,).sin(0, A;)'sin(M, a).sin(M,a')"~''

siD(M,B).sin(M,BO sin(I, B.).sin(I, B^) sin(0, 6).sin(0, SQ ^ siniI,B).sin(I, B')'sin(0,B,).sin(0,B',)*sin(M, 6) sin(M, 6')~''

d'où, en divisant membre à membre,

r sin(M, A).sin(M, AQ . sin (I, A).sin(I, A^) l Lsin(M, B).sin(M, B') * sin(I, B).^sin(I, B')J

T sinfl, A.).sin(I, A^) . sin(I, B.).sin(I, B^) ! LsiniO, A,).sin(0, A'J * sin(0, B,).sin(0, B',)J

r 8in(0, «).8in(0, a^) , sin(0, 6).sin(0, 6^) "j [sinJM, a).sin(M, a!) * sin(M, ej.sin(M, 6'jJ "" '*

Ona semblablement, en appelant a, , a, et 61 , é'^ les couples de tangentes aux deux coniques C, C, menées par le

point où la tangente N rencontre la droite O,

r siD(N, A).sin(N, A^) ^ ain(I, A).sio(I, A^) "] Lsin(N, B).sin(N, B') * sin(I, B).sin(I, B')J

r sin(I, A.).sin(I, A\) . 8ia(I, B.).sin(I, B^) ! ^ Lsin(0,A,).sin(Q,A',) ' sin (O, B,).sin(0, B'jJ

[ sin(0, a,).sin(0, g,) ^ sin(0, 6,).sin(0, gj l sin(N, a,).sin(N, a'j * sin(N, 6,).sin(N, 6'/jJ ""^^

Divisant Tune par Tautre ces deux équations et observant que les troisièmes facteurs qui s'y trouvent sont des quantités constantes d'après le tkéorème (396, Coroll.)^ l'équation résultante est celle qu'il faut démontrer.