CHAPITRE XTII

THÉOftÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX POINTS D'INTERSEC- TION DE TROISCONIQUES QLTLCONQLIES, ET AUX TANGENTES COMMUNES A CES COURBES PRISES DEUX A DEUX.

§ I. — Théorèmes relatifs aux points d^ intersection de trois coniques.

403. Théouème général. — Étant données trois coniques quelconques U, A, A', si Von en décrit deux autres B, B', dont B passe par les points d^ intersection de \^ el k'^ et W par les points d^ intersection de U et A! : les quatre points d^ intersection de B et B' seront sur une conique 2 passant par les points d'intersection de A etk'.

Représentons par

Icséquations des trois coniques, soit entre les distances;;, ?, /• de chaque point à trois droites fixes (24), soit entre les coordonnées j:, y de Descartes (25). L'équation de la conique B, qui passe par les points d'intersection des deux' U et A, doit être satisfaite par les équations simultanées U = o, A = o, et dès lors est de la forme U4-X.A = o;

)• étant une quantité constante indéterminée.

Pareillement, l'équation de B', qui passe par les points d'intersection de U et A', est

Toute équation résultant de l'addition de ces deux pre-

mîères multipliées par des coeiBcients constants quelconques, telle que

«.(U 4- >A) 4- a\ (U + VA') = o,

représente une conique qui passe par les points d^intersection àé B et 6', puisqu'elle est satisfaite par les équations de celles-ci.

Soit

a' z=z — a, l'équation se réduit à

Elle représente donc une conique qui passe par les quatre points d'intersection de B et B'. Mais elle est satisfaite par les équations A = o, A' = o ^ la conique passe donc aussi par les quatre points d'intersection de A et A'. Ce qui démontre le théorème.

Autrement, Soient e, e, deux des points d'intersection des deux coniques B, B'. Prouvons que par ces deux points on peut mener une conique passant par les quatre points d'inlerseclion des deux proposées A, A'. Soient a, a^ \ a', û, et m, Wj les trois couples de points dans lesquels la droite ee^ rencontre les trois coniques A, A' et U. Les trois •courbes U, A et B ont quatre points communs; les trois couples M, Wi', a, «i et e, ei sont donc en involution (302), Les trois couples w, Ui*, a', a^ et e, e^ sont de même en involution. Donc les trois couples a, ai*, a', d^ et e, e^ sont aussi en involution (G. *S., 198). Donc par les deux points e, e^ on peut mener une conique passant par les points d'intersection de A et A'. Or celte conique est déterminée par le seul point e-, donc elle reste la même, quel que soit celui des trois autres points d'intersection des deux coniques B, B'que ei représente. Ainsi le théorème est démontré.

Obseivation. — Cette démonstration est extrêmement

CHAP. XVU. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 276 simple, puisqu'elle ue repose que sur le théorème de Desargues : toutefois elle laisse quelque chose à désirer, parce qu'on y raisonne sur les points d'intersection des deux coniques B, B' pris isolément, ce qui suppose quMls sont réels; mais avec le secours d'une autre propriété des coniques (387, VI, /?em.), on étend la démonstration au cas où ces points sont imaginaires.

Soit L la corde commune aux deux coniques B, B', sur laquelle sont leurs deux points d'intersection e, ei (réels ou imaginaires). Par ces points, ou peut mener une conique 2 passant par les quatre points d'intersection de A et A', ainsi qu'il vient d'être démontré. Il reste à prouver que cette conique passera par les deux autres points d'intersection eV^',1 de B et B', situés sur la seconde corde commune V. Soient v, a, a\ e les milieux des segments i/Mj, flû,, a^a\ et ee, ; et soient de m(^me v', a,, a\j t' les milieux des segments u'w', , a^a^^ ^2^3 et c' e\^ interceptés par les quatre coniques U, A, A', B sur la seconde corde L'. Soit enfin O le point de rencontre de L et de L'. La condition pour que les deux segments ee^ et e'e\ soient interceptés par une même conique passant par les quatre points <J'intersection des deux A, A', est

tCL 8 oc' e'oCi s' et

Oa.Oa, • Oa\Oa\ ~ Oa,.Oa, ' Oa\.Oa\ ^^^^' ^^)*

C'est donc celte équation qu'il faut démontrer. Or, la conique B passant par les quatre points d'intersection de A etU, ona

ca 6v c'a, sS'

Oa.Oa^ * 0//.0«, O^j.Oflfj ' Ou\Ou\

Pareillement, la conique B' passant par les points d'in- ^rsection des deux U, A', on a

Oa'.Oa\ ' Oa.Ow, O^.Ofl', * Ou\Ou\

Divisant cette équation et la précédente, membre à membre, on obtient celle qu'il faut démontrer* Donc, etc.

404. AuTjiE ÉNONCÉ DU THÉOBÈHE (403). — Étant données quatre coniques A, A', B, B^, si les points dHntersection des deux A, B ef ceux des deux autres A\ B' sont situés tous les huit sur une même conique U, // en sera de même des huit points d'intersection des coniques combinées deux à deux d^une autre manière^ conime A, A'efB,B'.

En effet, Thypothèse et la conclusion dans cet énoncé sont les mêmes, en d'autres termes, que dans l'énoncé précédent.

Conséquences du théorème (&03).

405. Etant données trois coniques A, A' et U, si par un point quelconque on mène trois autres coniques passant respectivement par les point s d'intersection des trois proposées prises deux à deux : ces trois coniques auront^ outre le point par lequel elles sont menées^ trois autres points communs.

En effet, soient B, B' et Sj les trois coniques menées, comme il est dit, par un point donné a : la conique 2, sur laquelle se trouvent les quatre points d'intersection de B et B' et les quatre points d'intersection de A et A' (403), passe par ce point a et par conséquent se confond avec 2)i. Donc, etc.

406. Quand trois coniques A, A', A" sont circonscrites à un quadrilatèi^e, si on les coupe par une conique quelconque!} f et quon décrispe deux autres coniques B,B', dont la^première passe par les points d'intersection de V et A, et la seconde par les points d'intersection de U et A' : les points d'intersection de B et B' et ceux de U et A" seront huit points situés sur une même conique.

CHAP. XVll. — TROIS CONIQUES QUFXCONQUES. 277 En effet, les points d^ intersection des deux coniques A\ A^ et ceux de U et B sont sur une uiêoie conique A. Donc, en vertu de (41)4), les points d'intersection de B et A'', et ceux de U et A' ou de U et B', sont sur une même conique. Donc, par la même raison, les points d'intersection de B et B' et ceux de U et A" sont sur une même conique, c. q. f. d.