De là on conclut immédiatement que

Étant données trois coniques A, A', A'' circonscrites à un quadrilatère^ et une quatrième conique quelconque U^ si par un point donné P on mène trois autres coniques B, B', B'^ passant respectivement par les trois groupes de quatre points d^ intersection de U et île chacune des coniques A, A', A" : ces trois courbes B, IV, B'' auront , outre le point P-, trois autres points communs.

Obsen^ation, — Il est clair que ces énoncés, relatifs à trois coniques circonscrites à un quadrilatère, s'appliqueraient à un nombre quelconque de coniques circonscrites au quadrilatère.

§ II. — Cas particuliers des théorèmes précédents.

408. Dans le théorème (403), la conique B peut être le système de deux axes de symplose des coniques A et U, et la conique B' le système de deux axes de symptose des coniques A' et U. On peut donc dire que :

Etant données deux coniques A, A', si Ton en décrit une troisième quelconque U, les axes de symptose de \] et A rencontreront les axes de symptose de U et A', en quatre points qui seront sur une conique 2 passant par les quatre points d'intersection de A et A'.

409. Quand une conique est l'ensemble de deux droites, ses axes de symptose avec une autre conique sont deux autres droites qui passent par les quatre points d'intersection de celte conique et des deux premières droites. En

d'autres leiTnes, quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, si Von regarde deux rôles opposés comme formant une seconde conique, les axes de symptose de celle-ci et de la première sont les deux autres côtés, ou les deux diagonales du quadrilatère.

D'après cette remarque, le théorème précédent sera susceptible de plusieurs corollaires.

410. Si dans le théorème (403) la conique U est l'ensemble de deux droites, on dira que :

Deux droites étant menées arbitrairement dans le plan de deux coniques A, A', si par leurs quatre points de ren-contre ai>ec A on fait passer une: autre conique B, et par leurs points de rencontre av^ec A' une autre conique B' : les quatre points d^ intersection de ces deux coniques B, B' et ceux des deux premières A, A' seront huit points situés sur une même conique.

Corollaires. I. — Prenant pour B et B'deux couples de cordes sous- tendues par les deux droites dans A et A', on est conduit à l'énoncé suivant :

Si les côtés d'un angle rencontrent deux coniques A, A', deux cordes sous^tendues par cet angle dans la première conique rencontrent deux cordes sous-tendues dans la seconde courbe^ en quatre points situés sur une conique 2 passant par les quatre points d* intersection des deux proposées A, A'.

II. — Si les deux côtés de l'angle sont tangents à la première conique, les deux cordes sous-tendues se confondront suivant la droite qui joindra les deux points de contact^ il s'ensuit que la conique 2 touchera les deux cordes sous-tendues dans la seconde conique aux deux points où cette droite les rencontrera. On a donc ce théorème :

Étant données deux coniques A, A', si l'on inscrit dans

CHAP. XVII. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 279 la seconde un quadrilatère dont deux côtés opposés soient tangents à la pr^mière^ la droite qui joindra les deux points de contact rencontrera les deux autres côtés en deux points, par lesquels on pourra mener une conique Z tangente à ces côtés en ces points ^ et passant par les quatre points d^intersection de A et A'.

m. — Les deux droites, dans renoncé primitif (ilO), peuvent se confondre : alors les conîques B, B' auront un doable contact, sur une môme droite, avec A et A', respectivement; ce contact pouvant être réel ou imaginaire.

Etant données deux coniques A, A' et une droite quelconque L, si Von décrit deux autres coniques B, B' qui (lient av^ec les deux premières^ respectivement , un double contact sur la droite L : les quatre points d^ intersection de ces deux courbes et les quatre points d'intersection des deux proposées seront huit points appartenant à une même conique,

IV. — Qu'on prenne pour les coniques B, B' les couples de tangentes à A et A', il s'ensuit que :

Étant données deux coniques A, A', si l'on mène une droite qui les rencontre^ et qu'aux points de rencontre on mène les tangentes aux deux courbes : les tangentes à la première rencontreront les tangentes à la seconde , en (juatre points qui seront sur une conique passant par les quatre points d'intersection des deux proposées.

AH, Si, dans les théorèmes qui précèdent, les deux coniques A, A' sont homothéliqucs (dos cercles, par exemple), laconique 2 leur sera homotliélique (374).

D'après cela, ou conclut de (403) :

Étant donnés deux cercles A, A' et une conique quelconque U, si Ton décrit deux autres coniques B, B' dont

28o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.

Vune passe par les points d"" intersection de Vi et k^ et Vautre par les points d^ intersection de U et A' : les quatre points d^ intersection des deux coniques B, B' seront sur un cercle S qui passera par les points d'* intersection des deux premiers A et A',

Si les deux cercles A, A' sont concentriques. Je cercle 2 leur sera concentrique (376).

Corollaires. I. — La conique B peut être Tensemble des deux axes de syniptose du cercle A et de la cpnique U; et la conique B' Tensemble des deux axes de symptose de A' et de U. On a appelé lignes conjointes les deux axes de symptose d'un cercle et d'une conique (*). Nous dirons donc que :

Deux cercles A, A' étant tracés dans le plan d^une conique U : les lignes conjointes du premier cercle et de la conique rencontrent les lignes conjointes du second cercle et de la conique y en quatre points situés sur un cercle qui passe par les points d' intersection de A et A'.

n. — Que la conique U soit Tensemble de deux droites, et que ces droites se confondent ; on dira que :

Étant donnés deux cervles A, A' et une droite L, si Von décrit deux coniques B, B' dont l'une ait un double contact ai^ec A sur la droite L, et Vautrée un double contact auec A' sur la même droite : ces deux coniques se couperont en quatre points situés sur un cercle qui passera par les deux points dHntersection de A et A'.

in. •:— Prenant pour les deux coniques, respectivement, les côtés des deux angles circonscrits aux cercles, et ayant leurs cordes de contact sur la droite L, on en conclut ce théorème :

(*) Voir Journal de Mathématiques de M. Liuuvilic, t. III, p. 385^ année i838.

CHAP. XVU. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 281 Quand une droite rencontre deux cercles A, A', si on mène des tangentes aux points de rencontre^ les tangentes au premier cercle coupent les tangentes au second, en quatre points situés sur un cercle qui passe par les points d* intersection des deux cercles A, A'.

412. Étant données trois coniques A, A' et U, si par un point n d^un axe de symptose de A et A' on mène deux autres coniques, dont l'une B passe par les quatre points A'' intersection de A et U, et Vautre B' par les quatre points d'intersection de A' et U : ces deux coniques se rencontreront sur les axes de symptose de A et A'.

Cesl-à-dîre que leurs axes de symptose coïncideront avec ceux de A et A'.

En effet, ceux-ci représentent la conique qu'on peut faire passer par le point n et les quatre points d'interseclion des deux coniques A et A'5 donc, d'après le théorème (405), ces deux axes passent par les quatre points dnitersectiou des deux coniques B etB'. Donc, etc.

CoBOLLAiREs. I. — Si A et A' sont des cercles, les deux coniques B, B' auront un axe de symptose à Tinâni, et seront dès lors homothétiques (374). On peut donc dire que :

Une conique U étant tracée dans le plan de deux cercles, sipar un point de Vaxe radical de ceux-ci on mène deux coniques, dont l'une passe parles quatre points d'intersection de U et du cercle A ^ et la seconde par les quatre points d 'intersection de U et du second cercle A' : ces deux coniques seront homothétiques et auront leur second point d'intersection sur l'axe radical des deux cercles.

n. — La conique U peut être l'ensemble de deux droites, ou bien une seuïe droite qui représentera deux droites coïncidentes. Dans ce second cas, on a ce théorème :

Étant donnés ' deux cercles, si on les coupe par une transuersale^ et que par un point Je leur axe radical on fasse passer deux coniques dont l'une ait un double con^ tact a\^ec le premier cercle sur la transversale, et Vautre avec le second cercle, également sur la transversale : ces deux coniques seront homothétiques ^ et leur second point d'intersection sera sur l'axe radical des deux cercles.

413. Supposons que la conîque U du théorème (407) soîl l'ensemble de deux droites qui se confondent; on en conclut cet énoncé :

Quand plusieurs coniques A, A', A'', . • . sont circonscrites à un quadrilatère y si on les coupe par une droite D, et que par un point donné P on mène d'autres coniquesB^ B', B'', . . . ajant avec A, A', A",. . ., respectivement, un double contact sur la droite D : toutes ces coniques auront quatre points communs.

Corollaire. — Si la droite D est à Tinfini, le théorème prend cet énoncé :

Quand des coniques A, A', A'', . . . sont circonscrites à un quadrilatère, si par Un point donné P on mène d^ autres coniques B, B', B'', . . . concentn'ques et homothétiques à A, A', A'^ ... ; toutes ces courbes auront quatre points communs,

414. Si dans le même théorème (407), la conique U est telle, que trois de ses cordes communes avec A, A', A", respectivement, passent par un point P, les coniques B, B', B'^ seront, chacune, rensemble d^une corde commune et de sa conjuguée. De là résulte cet énoncé :

Quand trois coniques A, A', A'' sont circonscrites à un quadrilatère, si une quatrième conique U est telle, que trois de ses cordes communes avec A, A', A", respectivement, passent par un même point : ces trois cordes et les trois

CHAP. XVII. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 283 qui leur sont associées, Jonrient trois coup/es de droites gui ont quatre points communs.

En d'autres termes : Ces tiois couples de cordes communes sont les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère,

415. Quand, dans une conique U, deux couples de cordes ab, cd et a'b', c'd' passent par un même point O, 51 par les points a, b, c, d du premier couple on mène une conique B, et par les points a', b', c', d' du second, une conique B' : deux cordes communes à ces deux coniques B, B' passeront par le point O, et feront une involution av^ec les deux couples de droites ab, cd et aV, c'd'.

En effet, le point O, înlersection des cordes communes à U et à B, a la même polaire dans ces deux courbes (328) ] et pareillement, dans les deux U et B'. Donc ce point a la méoie polaire dans B et B', et dès lors est un point de concours de deux cordes (réelles ou imaginaires) communes à ces deux courbes.

Pour prouver que ces deux cordes font une involution avec les deux couples de droites «J, cd ei a'b\ c' d\ il suffit de se reporter à la démonstration du théorème général (403), dans laquelle A et A' représenteront les deux couples de cordes aJ, r J et a'i', t'^', dont les équations seront donc

A = o et A' = o.

Léquatiou finale

représente la conique qui passe par les quatre points d'intersection des deux coniques B, B', et par les quatre points communs aux deux couples de cordes, lesquels se confondent en O. Cette conique ne peut être que l'ensemble des deux cordes communes à B et B'.

Or une transversale quelconque, Taxe des j: par exemple, rencontre les trois systèmes de cordes communes, en six points déterminés deux à deux par les trois équations cidessus ] et la forme de la troisième équation prouve que les trois systèmes de points sont en involution (G. S,, 220). Donc les six cordes elles-mêmes, puisqu'elles passent par un même point O, sont en involution. c. q. f. p-

AuTRE ÉNONCÉ DU THÉORÈME. — Qiuind uîi poitit a la même polaire dans trois coniques y trois couples de cordes communes à ces courbes , prises deux à deux, passent par ce point (328, Récip.)^ et sont en ins^olution.

Réciproquement : Étant données deux coniques C, C, si par le point de concours de leurs cordes communes L, L', on mène dans ces courbes, respecti^^ement, deux couples de cordes ab, cd et a'b', c'd', formant involution av^ec LctV: les extrémités a, b, c, d, a', b', c', d' de ces cordes sont huit points d^une même conique.

En effet, si parles cinq points a^ ft, c, rf, a' on fait passer une conique, le point de concours de L et \J aura la même polaire dans cette courbe que dans C, et conséquemment que dans C. Les cordes communes a cette conique et à C passeront donc par ce point, et formeront une involution avec les deux couples L, L' et a6, cd (415). Donc ces cordes sont a'b'^ c'd'. Donc, etc.

Corollaire I. — Les deux cordes «i, cr/ peuvent se confondre, ainsi que les deux a'b', c'd'. Il en résulte que :

Quand deux coniques B, B' ont chacune un double contact ai^ec une conique U, deux cordes communes à ces courbes B, B' passent par le point de rencontre des deux cordes de contact, et sont conjuguées harmoniques par rapport à ces droites.

Réciproquement : Si par le point de concours de deux cordes L, \J communes à deux coniques, on mène deux droites conjuguées harmoniques par rapport à h et L', //

CBAP. XVII. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 285 existera une conique • ayant un double contact ai^ec les proposées^ sur ces droites, respectivement.

Corollaire II. — Si par le point de concours des cordes communes L, L' de deux coniques C, C, on mène deux cordes ab, cd de la première, puis les cordes de la seconde a'b', c/d', conjuguées harmoniques de ab et cd respective-ment, par rappoit à h et L! : les huit points a, b, c, d, a', ly, (/, d' seront sur une même conique.

En effet, les deux couples ab^aiV el crf, Jd' étant conjugués harmoniques par rapport à L et U, il s'ensuit que les trois couples ah, cd\ olh\ dd' et L, U sont en involution (G. S , 277). Donc les huit points a, 6, etc., sont sur une conique (415, JRecip.).

Corollaire III. — On conclut de là, en vertu de la réciproque du corollaire I, qu^ :

Lorsque deux coniques ont chacune un double contact dvee deux autres coniques^ si les quatre cordes de contact passent par un même point: les huit points de contact sont situés sur une conique.

Corollaire IV. — Par suite : Quand deux coniques sont inscrites dans un quadrilatère, les huit points dans hsquels ces courbes touchent les quatre côtés du quadri^ htère sont sur une même conique.

Cette conique se représentera plus loin (457), dans une propriété importante de deux coniques quelconques.

S in. — Théorèmes relatifs aux tangentes communes à . trois coniques quelconques prises deux à deux.

416. Théorème général. — Etant données trois cosignes A, A' et U, si l'on en mène deux autres B, B', dont B soit inscrite dans le quadrilatère circonscrit à U et à A, et B' dans le quadrilatère circonscrit à\] et à A' : ^s quatre tangentes communes aux courbes B, B', et les