De là on conclut immédiatement que

Etant données trois coniques A, A', h!' inscrites dans un quadrilatère, et une quatiième conique quelconque U, si Von mène trois autres coniques B, B', B'^ tangentes à une même droite L, et inscrites, respectivement, dans les

trois quadrilatères U A , U A' 1 , V A^^ : ces trois co-

niques auront, outre la droite L, trois autres tangentes communes,

Obseri^ation, — Il est claîr que cet énoncé relatif à trois coniques inscrites dans un quadrilatère s'applique à un nombre quelconque de coniques inscrites dans le quadrilatère.

§ IV. — Cas particuliers des théorèmes précédents.

421. On peut regarder comme conique inscrite dans un quadrilatère, la droite qui joint deux sommets opposés : prenant donc pour A, B, A', B' dans le théorème (416) les diagonales de deux quadrilatères circonscrits à U, on en conclut celui-ci :

Quand deux quadrilatères sont circonscrits à une même conique, les quatre droites menées de deux sommets opposés du premier à deux sommets opposés du second, et les quatre droites menées des deux autres sommets du premier aux deux autres sommets du second, sont huit tangentes d^une même conique.

422. Si dans le théorème (416) la conique U est une droite 11 mi tée.à deux points, on a cet énoncé :

Etant données deux coniques A, A', si par deux points on leur mène des tangentes^ qui formeront deux quadrilatères circonscrits aux deux coniques ;puis, qu^on inscrii^e dans ces deux quadrilatères , respectii^ement, deux coniques quelconques B, B' : les quatre tangentes communes à ces deux coniques et les quatre tangentes communes aux

deux proposées seront huit droites tangentes à une même

conique.

Corollaires. I. — Les deux points peuvent se confondre en un seul. Alors chacune des deux tangentes menées de ce point à une conique représente deux côtés du quadrilatère primitif: les points de contact sont deux sommets opposés, et les coniques B, B' sont tangentes en ces points aux coniques A et A', respectivement. Donc :

Étant données deux coniques A, A', et un point P dont on prend les polaires dans les deux courbes^ si Von décrit deux autres coniques B, B' ajant un double contact a^ec les deux A et A', respectwement, sur les polaires du point P : il existera une conique inscrite tout à la fois dans le qua^ drilatbre circonscrit à ces deux nouvelles coniques et dans le quadrilatère circonscrit aux deux premières A, A'.

IL — Prenant pour les coniques B, B' les cordes de contact des tangentes menées à A et à A' par le point P (370), on a cet énoncé ;

Étant données deux coniques, si d*un point P quelconque on leur mène des tangentes^ et qu on joigne par quatre droites les points de contact de la première^ aux points de contact de la seconde : ces quatre droites seront tangentes à une même conique^ inscrite dans le quadrilatère circonscrit aux deux proposées.

423, Supposons, dans le théorème (416), que la conique U ait un double contact avec la conique A, et que l'on prenne pour la conique B le pôle de contact, qui représente une diagonale infiniment petite du quadrilatère circonscrit à U et à A (370) : il en résulte ce lliéorème :

Étant données deux coniques A , A', et une conique U qui ait un double contact avec A, si dans le quadrilatère circonscrit àV et à A' on inscrit une conique quelconque B', et que par le pôle de contact de U et de A on mène

CHAP. XVII. — TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 1^89 deux tangentes à cette conique B' : on pourra faire passer par les deux points de contact de ces tangentes une co^ nique 2 tangente en ces points à B' et insente dans te

quadrilatère 1 A A' I •

Corollaire. — On peut prendre pour la conique B' une diagonale du quadrilatère circonscrit à U et A', et pour la conique U une corde de A. On a alors cet énoncé :

Étant données deux coniques A, A', si par deux points u, Ui de A on mène à A' des tangentes qui Jornievont un quadrilatère circonscrit : deux sommets opposés de ce quadrilatère seront sur une conique Z insciite dans

k quadrilatère A A' et dont les tangentes en ces points passeront par le pôle de la corde uuj relatif à A.

424. Si dans Ténoncé (418) la droite L est à l'infini, les trois, coniques B, B' et S seront des paraboles, et Ton en déduit que :

Étant données trois coniques quelconques, les trois p a-raholes inscrites, respectivement, dans les trois quadrilatères circonscrits à ces courbes prises deux à deux, sont inscrites dans un même triangle.

Chacune des trois coniques peut se réduire à une droite limitée à deux points; les trois paraboles subsistent et sont inscrites dans un triangle.

425. Si dans le théorème (420) on suppose la droite L à l'infini, on en conclut que :

Quand plusieurs coniques A, A', A",. . . sont* inscrites dans un quadrilatère, si Von a une autre conique quet^ conque U : les paraboles insciites dans les quadrilatères

U A' ï • • • O'^ront trois tangentes communes.

42!5. Supposons que la conique U (420) se réduise à un point, on donne au théorème cet énoncé :

Quand plusieurs coniques A, A', A^^ . . . sont inscrites dans un quadrilatère, si l'on prend les polaires d'un point U, et que l'on décrire d^ autres coniques B, B', B'',. .. tangentes à une droite donnée L, et ayant chacune un double contact ay^ec les coniques A, A',. . ., respecti^fement, sur les polaires respectii^es du point U : toutes ces coniques auront, outre la droite L, trois autres tangentes communes.

Corollaire. — Si la droite L est à l'infini, les coniques B, B^, . . • seront des paraboles ayant trois tangentes communes.

427. Supposons que dans le théorème (420)^ là conique U soit telle, que trois des six ombilics communs à U

* et à chacune des trois coniques A, A', A'', respectivement, soient en ligne droite, et que l'on prenne cette droite pour L, les trois coniques B, B', B" sont alors des droites, limitées à ces ombilics et à leurs conjugués. Donc :

Quand trois coniques A , A', A'^ sont inscrites dans un quadrilatère, si trois des six ombilics communs à une autre conique \] et à Aj A', A'', respectivement, sont en ligne droite : les six ombilics sont les sommets et les points de concours des côtés opposés d 'un quadrilatère,

428. Une grande partie des conséquences de la théorie actuelle se rapportent aux coniques homofocales* Nous les réunirons dans un chapitre spécial, et nous nous bornerons ici à en donner un seul exemple.

Soit, dans le théorème (421), abcd un des quadrilatères circonscrits à la conique U, et supposons que le second quadrilatère ait pour sommets opposés les deux points ima* ginaires situés à Tinfini sur un cercle, auquel cas les deux autres sommets opposés seront les foyers de la conique (294). Les droites menées des deux sommets opposés a, c du premier quadrilatère aux deux foyers forment un quadrila-

CHAP. XVII. ~ TROIS CONIQUES QUELCONQUES. 291 tère dans lequel on peut inscrire une conique tangente aux droites menées des deux autres sommets 6, d aux deux points imaginaires à Tinfini sur un cercle (421). De sorte que ces deux points £, d sont les foyers de la conique (294) . Donc :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique y les droites menées de deux sommets opposés aux foyers de la courbe sont tangentes à une conique qui a pour foyers les deux autres sommets du quadrilatère,

429. Quand deux quadrilatères sont circonscrits à une conique U, et que deux sommets opposés a, a' de Vun et deux sommets opposés b, b' tie Vautre sont sur une même droite O, si Von inscrit dans ces quadrilatères deux co*

niques B, B' : le quadrilatère | B B^ « deux sommets op*

posés situés sur la droite O, et ces points forment une in^ solution ax^ec les deux couples a, d! et b, b'.

Ce théorème est le corrélatif de (415).

Autre énoi^gé. — Quand une droite h a le même pôle dans trois coniques U, B, B' : trois couples d'ombilics de ces courbes^ prises deux à deux, sont situés sur cette droite, et sont en involution.

Réciproquement : Si sur la droite qui joint deux ombi-lies conjugués S, S' de deux coniques C, C, on prend deux couples de points a, c et a', c' en inx^olution a^ec S, S', et que par sl et c on mène des tangentes à C, et par dJ et c' des tangentes à CI : ces huit droites sont tangentes à une même conique U.

Corollaire I. — Si dans le théorème (429) les deux points n, al coïncident, ainsi que les deux i, b'^ les coniques B et B' ont chacune un double contact avec U; et le théorème reçoit cet énoncé :

Quand deux coniques B, B' ont chacune un double contact ayec une troisième U, elles ont deux ombilics

[réels ou imaginaires) situés sur la droite qui joint les deux pôles de contact^ et ces ombilics sont conjugués harmoniques par rapport à ces pôles.

Réciproquement : Si deux points a, a', sont conjugués haimoniques par rapport aux ombilics S, S' de deux coniques, et que Von mène par le point a deux tangentes à Vune des coniques, et par a! deux tangentes à l'autre : les quatre points de contact sont sur une conique tangente en ces points aux proposées.

Corollaire II. — Si l'on prend sur la droite qui joint les ombilics S, S' de deux coniques C, G deux points a, c, puis les points a', c' conjugués harmoniques, respectivement, de ai et de c par rapport aux deux S, S', et qu^on mène par ai et c des tangentes à C, et par ai' et c' des tangentes à G : ces huit droites sont tangentes à une même conique.

Corollaire III. — On conclut de là, en vertu de la réciproque du corollaire I, que :

Lorsque deux coniques ont chacune un double contact a{^ec deux autres coniques^ si les quatre pôles de contact sont sur une même droite : les tangentes aux huit points de contact seront tangentes à une même conique.

Corollaire IV. — Par suite : Lorsque deux coniques passent par quatre points, leurs tangentes en ces points sont huit droites tangentes à une même conique.

En effet A, B, C, D étant les quatre points communs aux deux coniques, les cordes AB et CD représentent deux coniques infiniment aplaties ayant chacune un double contact avec les deux coniques. Les quatre pôles de contact sont en ligne droite sur la polaire du point de concours des deux cordes AB, CD. Donc, etc.

On trouvera plus loin (453 ) une propriété générale de deux coniques, qui se rapporte à la troisième conique dont il s'agit ici.

CH.XVIU.— CONIQ.CIRCONSC. OU INSC. A UN QUADRIL. 293