CHAPITRE XVIII
NOUVELLES PROPRIÉTÉS RELATIVES A DES CONIQUES QRCONSCRITES OU INSCRITES A UN QUADRILATÈRE.
§ I. — Trois coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère,
430. Lemme. — On mène par un point a d^une conique (Jig. 125) la tangente 2lT et une corde ab*, À, D représentent les demi-diamètres de la courbe parallèles à ces deux droites, et AyB les deux demi-axes : le sinus de V angle a, compris entre la tangente et la corde, a pour expression
ab.K.h
sina =
Que parle point p infiniment voisin de a [fig* 126) sur le prolongement de la corde ba^ on mène la droite jOa'K passaut par le centre O de la conique ; on aura
pa . pK Q^ Q^
Or, dans le triangle paa\
pa sina'
pa' sina Donc
pb D^sina
P^ OK.sina' A la limite, où le point p coïncide avec a ( fig, laS),
cet te équa tî on de v i en l
ab D^sinTfl^
ou
Mais Donc
""^ OK'.sinTaK
. ^ , a&.OK.sioTaK %\nTab =sina = •
OK.A.sinTflK = A.B(200).
ab.k.B
Ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — Soit p le point où la corde ab rencontre
le diamètre OA: le triande aOp donne ■ . ^ ,^ = — ;
^ ^ sinTûK ap^
et Ton conclut de l'expression ci-dessus de siuTai,
ab i , ^.
--— = — > ou ap,ab z=:iT)!^.
2D' ap '
C'est-à-dire que :
Si par un point a d'une conique on mène une corde ab, qui rencontre en p le diamètre parallèle à la tangente en a : le rectangle construit sur la corde et sur le segment ap est égal au double du carré construit sur le demi-diamètre parallèle à la corde.
431 . Quand trois coniques C, C, G'{Jlg. i ^7) ont quatre points communs, si de chaque point m de C on mène une tangente à chacune des deux C, C, et qu^ on joigne les deux points de contact a, a', par une droite qui rencontre les deux courbes en deux nouveaux points b, b' : on aura entre les deux cordes ab, a'b' de C et C et les demi^diametres D, D' de ces courbes, parallèles à la droite aa',
CH.XVlII.-CONIQ.aRœNSC.OU INSC. AUN QUADRIL. 296 la relation numérique
ah , a'b' ^
l étant une constante.
En effet, on a, d'après le lemme,
ab ^A.sina a'b' ^Â'.sina'
et
A, B étant les deux demi-axes de la première conique^ A, D les demi-diamètres parallèles à la tangente ma et à la corde ab\ et A^ B', A', D' ayant les mêmes significations à regard de la seconde conique.
De plus, dans le triangle ama\
sioû ma'
sina' ma Donc
D» ' D'» "^ \ma ' ma') ' A.B *
Or, le point m se trouvant sur la conique C" qui passe par les points d'intersection des deux C et C, on a vu (387, H) que
ma ma'
: 7- = CODSt.
ab a'b'
Remarque. — En vertu du corollaire précédent, on peut substituer aux rapports -71 -7T7 de simples segments ap, c^p\ Le rapport de ces segments est constant.
Corollaire. En prenant pour C deux axes de symptose de C et C, on obtiendra une propriété relative à deux coniques.
Réciproque de (431). Étant données deux coniques C, C, si l'on mène des droites de manière que les deux cordes
ab, a'b' que ces couj^bes interceptent sur chaque droite^ dwisées respectwement par les carrés des demi^diamètres des deux coniques , parallèles à cette droite, aient un rapport constant : les tangentes aux points di^h de la conique C rencontreront les tangentes aux points a', b' de QJ y en quatre points dont le lieu sera une conique passant par les quatre points d^ intersection des deux coniques C^ C.
En effet, concevons une droite satisfaisant à la question *, les quatre points de rencontre des tangeutes à la première conique et des tangentes à la seconde sont sur une conique C" qui passe par les points d'intersection des deux proposées (410, CorolL IV). Et si l'on mène à celles-ci deux tangentes par chaque point de C, la droite qui joindra les deux points de contact satisfera, d'après la proposition directe, aux conditions de la réciproque.
432. Dans ces théorèmes on peut remplacer les carrés des diamètres des deux coniques par les rectangles des segments faits par les deux courbes sur des parallèles à ces diamètres, menées de deux points fixes. Ce qui permettra d'appliquer les théorèmes aux coniques dépourvues de centre. L'énoncé (431 ) devient par cette substitution :
Quand trois coniques C, C, C'' ont quatre points communs, si d*un point quelconque de C" on mène une tangente à chacune des deux C, C/, et qu on joigne les deux points de contact a, a' par une droite qui coupe ces courbes en deux no ui^eaux points b, b' ; puis, que par deux points fixes 0, O' on mène à cette droite des parallèles qui rencontreront les deux coniques, respectivement, en des couples de points a, 6 et a', S' ; on aura la relation
Oa.06 • O'a'.O'S À cfunt une constante.
Je» — ^>
CH. XVIIL— CONIQ.aRCONSC. OU INSC. A UNQUADRIL. 297 433. Quand trois coniques C, C, C'^ sont inscrites dans un quadrilatère^ si une tangente roule sur la troisième C" et rencontre les deux premières C, C en deux couples de points a, b e£ a', b' : on a la relation ab ^ a'b'
D* et D" étant, dans C <?t C, les carrés des demi-diamètres parallèles à la tangente mobile, et X une constante.
Qu'on mène à la conique C (^g^. 128) les tangentes parallèles *à une tangente L de C"; soient r, s leurs points de contact; O le point où le diamètre rs rencontre la droite L, et Op, Oq les distances de ce point aux deux tangentes; enfin C le centre de la conique C, et CD le diamètre parallèle à L : on a
0p.0q = 0r.0s.sinKl>Cr, Or
Cr.CD.sinDCr = A.B (200),
A et B étant les deux demi-axes de la conique. Donc
Cr .CD
Mais
Or.Os Oa Oa ,,.
Cr CD ^
en faisant abstraction des signes des segments. Donc
Op.Oç = AKB^.— = ^^-.
Pour la seconde conique on a semblablemeut
oy.ov = ^.l^:
