Le théorème A est vrai si 4^ est non primitif
Cette proposition est évidente si L est primitif. Car 4^, étant non primitif, ne pourra évidemment contenir un groupe primitif.
Supposons donc L non primitif; et soient qq'q"'** et //'x ••• les deux décompositions du nombre M auxquelles correspondent respectivement L et 4^. Les racines peuvent être réparties entre ^ systèmes S, S',... contenant chacun x'x'--- racines, et tels, que chaque substitution de ^ remplace les racines d'un même système par celles d'un même système : 4L résultera de la combinaison de deux groupes partiels, l'un A permutant les systèmes entre eux, l'autre (A', A",...) permutant entre ellcb les racines du premier système S sans déplacer les autres.
L étant contenu, par hypothèse, dans 4;^, ses substitutions remplacent les racines de chacun des systèmes S, S',... par celles d'un même système. Donc L résulte de la combinaison de deux groupes partiels: l'un D permutant d'un mouvement d'ensemble les systèmes S, S',...; l'autre D' permutant ensemble les racines de S sans déplacer celles des autres systèmes (716).
Pour que L soit contenu dans ^^ il faut évidemment que D et D' le soient respectivement dans A et (A', A",...), ce qui ne pourra se faire que si D est pareil a A, et D' Ji (A', A",...), le théorème A étant vrai, par hypothèse, pour les degrés / et x'x". . . inférieurs à M. Mais alors L serait pareil à 4;^, contrairement à l'hypothèse.
718. ïje théorème A est vrai si 4^ est primitif et L non primitif.
Soient M =/>" le degré commun de ces deux groupes;/?* le nombre des
systèmes clans L, chacun d'eux étant choisi de manière à contenir le moins possible de racines; p"'^ le nombre des racines de chacun d*eux. Le groupe L contient un groupe partiel F dont les substitutions ne déplacent que les racines du premier système; et ces racines étant caractérisées par n — a indices x, x\..., Y résultera de la combinaison des substitutions
qui déplacent/?"-* racines, avec des substitutions de la forme
(?) \ X, x\.,, ax -h bx'-h . . .f a'j: -h 6'a:'-f-. . .,. . .
Ces dernières substitutions, ne déplaçant pas la racine oo..., déplaceront moins de /?""* racines. D'ailleurs elles ne se réduiront pas toutes à l'unité, à moins qu'on n'ait /?""' = 2.
D'autre part, les/?" racines étant caractérisées par n indices jv,v',..., les substitutions de 4^ seront de la forme linéaire
I r» r'» • • • ^j ■+- rfr'-+- — ^- y» ^'r -+- ^'r'-»- . . . -i- y', • . . |.
Pour qu'une substitution S de cette forme laisse immobile la racine yy\.., il faut qu'on ait
Si S ne se réduit pas à l'unité, l'une au moins des relations ci-dessus, la première, par exemple, ne sera pas identique. Si elle se réduit a y^o, elle devient impossible, et S déplace toutes les racines; dans le cas contraire, elle déterminera la valeur d'une des inconnues /, j',. .. en fonction des autres, qui peuvent être choisies de /?"'* manières distinctes tout au plus. Donc S ne pourra laisser immobiles plus de//*"* racines; donc chacune des substitutions de 4^, et a fortiori chaque substitution de L (l'unité exceptée) déplace au moins/?" — />""* racines. On aura donc, si /?""*> a, l'inégalité impossible
/?"~* >/?" — /?""'>/?" '(/? — 0- Si /?""*= 2, on aurait l'égalité
Mais ce cas est exclu. (701).
719. Théorème. — Soient 4^ un groupe résoluble et primitif de degré />"; $ son premier faisceau ; $ un groupe contenu dans ^ et dont les substitutions soient échangeables entre elles. L'ordre 0 de <b ne pourra dépasser p".
Chacune des substiluiions de 9 est le produit d'une substitution linéaire N par une substitution P appartenant à ^. Soient NP, NTS... ces substitutions : le groupe ^ = (N, N', ...), isomorphe à ^, aura ses substitutions échangeables entre elles, et Ton aura 0 = Û0,, ii étant Tordre de Wf et 0| celui du groupe formé par celles Ses substitutions de 4> qui appartiennent à ^.
Supposons le groupe 4> choisi de telle sorte que 0, et subsidiairement 0|, soient maxima. Nous allons voir que Ton aura <P = ^, 0 =/>'', ce qui établira notre proposition.
720. Chaque substitution de <P a pour ordre une puissance de p. Car, s'il en était autrement, $ résulterait de la combinaison de deux groupes F et E, respectivement formés par celles de ses substitutions dont Tordre est premier à/>, ou puissance de p (173). L'ordre de F divisera un produit tel que (/?^— 1) {p^^ — i)...; et parmi les substitutions de ^, il en existera />^^^''^"^--qui sont échangeables aux substitutions de E, sans Tétre à toutes celles de F (186). Ces substitutions ne peuvent faire partie de 4>; car il est clair qu'elles ne peuvent être échangeables à toutes celles des substitutions de 4> dont les premiers facteurs appartiennent à F. Mais elles le sont à celles dont les premiers facteurs appartiennent k E; et, jointes à ces dernières substitu-
lions, elles forment un groupe dont Tordre rv / ^* x — sera supérieur à 0; résultat absurde.
721. Cela posé, ^ résulte de la combinaison de ^ avec un groupe résoluble et primaire H, lequel contiendra W. Supposons que, le groupe H étant ramené à sa forme type, les indices s'y répartissent entre X systèmes, contenant chacun v séries, contenant chacune fx = ifn"''... indices.
^ ne contiendra aucune substitution qui déplace les systèmes. En effet, supposons que ses substitutions déplacent Tun d'eux. Si*, soient S,,..., S,„ ceux avec lesquels elles le permutent. L'ordre de W sera égal à mo), eu étant Tordre du groupe ^ formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent pas S|. En effet, soient T, T',... les substitutions de ^; Sp Tun quelconque des systèmes S,,..., S;„; U une substitution de W qui remplace S, par Sp : W contiendra w substitutions TU, T'U,... qui produisent ce même remplacement.
Les substitutions de ^ ne déplacent aucun des systèmes S,,..., S,„; car si
r>58 LIVRE QUATRIÈBŒ.
Tune d'elles déplaçait Sp, elle ne serait pas échangeable à U. Chacune d'elles est donc de la forme V,...V,„W, Vp désignant une substitution qui n'altère que les indices de Sp, qu'elle remplace par des fonctions linéaires do ces mêmes indices, et W une substitution qui n'altère que les indices des systèmes autres que S,,..., S^^,, et les remplace par des fonctions linéaires de ces mêmes indices. Les substitutions de ^ ayant pour ordres des puissances de p, chacun des facteurs partiels V,,..., V,„, W jouira évidemment de la même propriété.
Prenons pour indices indépendants dans chaque système, à la place des indices imaginaires actuels, un nombre égal de fonctions réelles i', ,
r\, ...;...; r,/ï» ^m»---; ^» ^^» On peut supposer les indices i^p, v\ ,... choisis
de telle sorte, qu'ils se partagent en un certain nombre de classes telles, que chacune des substitutions partielles Vp,... accroisse simplement les indices de chaque classe de fonctions linéaires des indices des classes précédentes (184). Soient ^p,.,., i^^H—) ceux de ces indices qui appartiennent à la dernière classe. Celles des substitutions de ^ qui accroissent les Xa -f-...-+- X„ indices ^2,..., ^^,'''"'^; ...; ^m,..., ^ÎT"' de quantités constantes sans altérer les autres indices sont évidemment échangeables aux substitutions de ^. Mais aucune d'elles, sauf l'unité, ne sera échangeable à toutes celles de V, ou, ce qui revient au même, a toutes celles de 4>; car si l'une d'elles altère l'indice ^p, par exemple, elle ne pourra être échangeable à U. Ces substitutions n'appartiennent donc pas à <i>; mais elles sont évidemment échangeables à toutes celles des substitutions de $ dont les premiers facteurs appartiennent à ^, lesquelles forment évidemment la m'^'"^ partie du nombre total; en les combinant a ces dernières on obtiendra un groupe de substi-
tutions échangeables entre elles, dont l'ordre sera ^ 0, expression
au moins égale à 0, même dans le cas défavorable où Xsv» ^m se réduiraient à l'unité, et pour lequel 0, sera remplacé par ^^^^^ •■*-^-«0|. Donc 0 ou tout au moins 0, ne seraient pas les maxima supposés.
722. Soient r,, Tj,... les groupes partiels respectivement formés par celles des substitutions de H qui n'altèrent que les indices des systèmes S, , Sa....; F, le premier faisceau de r,; A,, B,...., A,,, B^y; A',, B',, ...;... les? doubles suites, et L, L',... les groupes auxiliaires correspondants, de degrés Ti-*', tt'*^,..., qui concourent à la construction de T,; [liÇa.-.Jr les indices indépendants auxquels il faut rapporter Ti pour le ramener à sa forme type. Les substitutions de ¥ ne déplaçant pas les systèmes, chacune d'elles est un produit de substitutions partielles appartenant respectivemeni
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. l^m
à r,, r,,.... Soit H^i le groupe formé par celles de ces substilulions partielles qui appartiennent a T,. Chacune d'elles sera de la forme 9^^, tétant la substitution qui remplace chaque indice de F, par son correspondant de la série suivante, et ^ une substitution qui ne déplace pas les séries. En outre, les substitutions de M'i seront toutes de la forme :^ ou résulteront de la combinaison de substitutions de cette forme avec les puissances d*une seule substitution V|=:Ç^^, dans laquelle (^divise v (557).
y, ne contient aucune substitution de la /orme 9^'^. En effet, supposons qu'il en contienne une, V| ; et soient ^i le groupe formé par celles des substitutions de Y| qui se réduisent à la forme ^, y, le groupe formé par les substitutions correspondantes de $. Il est clair que ces groupes renfer-
meront respectivement la ^ partie des substitutions de W^ et de <I>.
Cela posé, parmi les substitutions de .f qui n'allèrent que les indices du premier système, il en existe qui sont échangeables à toutes les substitutions de y, (721). Ces subslitutions, rapportées aux indices ["Si^j- -^r» prendront la forme
les quantités aç,ç,... étant des entiers complexes (nous n'écrivons pas les indices des autres systèmes, qui restent inaltérés). SoilT, une substitution de cette forme qui soit échangeable à celles de H^'t : la substitution T^, qui s'en déduit eu remplaçant «5,5,... par ^«i,?,...» sera échangeable à celles de v|^,, quelque valeur qu'on donne à l'entier complexe /-; car si Ton cherche à vérifier cette échangeabilité pour T, et pour T^i on trouvera les mêmes conditions, sauf le facteur commun k. Mais V, transformera T^ en T^/»*, qui ne
se confondra avec 1^ que si k^ ^k, ce qui n'a lieu que pour/>^ des p* systèmes de valeurs dont k est susceptible. Soient donc respectivement I et ï les groupes formés par celles des subslitutions de la forme (3) qui sont échangeables aux substitutions de ^', et à celles de <|/,, ou, ce qui revient au même, à celles de <P et de <p, : Tordre de I étant désigne par o, celui o' de r sera au moins égal à o/?""^. Or, soient 5,, ^j,... les substitutions de 1; /,, /2»"- celles de ç , ; celles de V seront w, 5,, w, s^,...; Wa^,, U2S2,. ..;..,,
iii, II,,... étant des substitutions en nombre — qui ne satisfassent à aucune
relation de la forme u^f=Ug^s^ (39)- Cela posé, le groupe (I', (p,) cor^iendra
les — -0 substitutions £/, /,, u, /»#•..; Wa ^» Wa/a,...;..., qui sont toutes dis-
^m UVRE QUATRIÈME.
tincte»; car, si Tod avait u^^i^ = u^u^^ on aurait u^'Ua' = ^p^'; donc nZ'u^ appartiendrait à 4>; mais cette substitution est de la forme (3), et pour qu'une substitution de cette forme appartienne à 4>, il faùf qu'elle appartienne à I; on aurait donc u^'u^' = 5p, ce qui est inadmissible.
L'ordre du groupe (r, y,) serait donc au moins égal tkp^^- 0, et par suite
au moins égal à 0; et le nombre correspondant à 0, et relatif k ce nouveau
groupe serait égal à — Or, il serait donc plus grand que Oi; donc 0 ou
tout au moins 0« ne seraient pas les maxima supposés.
723. ^, ne contient aucune autre substitution que V unité. Supposons, en effet, qu'il en contienne une. Cette substitution ne peut appartenir aii faisceau (F|, A(, B,,..., A'j, B\,...), dont toutes les substitutions ont leur ordre premier à/7 (562). Donc l'une au moins de ses corrélatives, la première par exemple, différera de l'unité. Donc le groupe A, formé par les premières corrélatives des substitutions de ¥|, contiendra des substitutions différentes dé l'unité. Soit .
I X,, r,, . . fl, X, -h c, ri -+-.•. , b\ X, -h {f, j, -1- ...... . I
la forme générale de ces substitutions. Le groupe A étant isomorphe à ^',, ces substitutions seront échangeables entre elles, et leurs ordres seront des puissances de/?; ils seront donc premiers à n. On pourra donc ramener simultanément toutes ces substitutions à la forme canonique monôme par un changement d*indices convenable (176). Réunissons dans une même série ceux des nouveaux indices que chacune des substitutions de A multiplie par un même facteur; des indices conjugués appartiendront à des séries conjuguées, qui seront multipliées par des facteurs conjugués. En outre, les substitutions de ^i ne déplaçant pas les séries, celles de A sont abéliennes propres. Chaque série aura donc sa conjointe, de telle sort€ que deux séries conjointes soient partout multipliées par des facteurs réciproques. Groupons les indices en classes, en réunissant ensemble ceux qui appartiennent à la même série, ou à des séries conjuguées ou conjointes. Chaque classe contiendra un nombre pair d'indices.
Soient X l'un des nouveaux indices, qui soit altéré par quelqu'une des substitutions V, V',... du groupe A; m, /w',... les facteurs par lesquels ces substitutions. le multiplient; />'', y^^',... les ordres respectifs de ces substitutions. On aura /n'**^/w'''* ^ ... ^ i. Donc les moindres puissances de iw.
DE L\ RÊSOLmOX PAR RAD1C\UX. »^l
m',..., qui se réduisent à Tunité. auront respectivement pour degrés des diviseurs de/»*, />*',...• et, par suite, seront des puissances de/>, telles que /i^p^«.... Soit .S le plus grand des exposants jS, jS%... : m sera une racine
primitive de la congruence iw^ ^zi 'mod.::^; et m',..., qui satisfont également à cette congruence, seront des puissances de m, telles que m^, — On aura donc V=>'^T,..., les substitutions T%... laissant invariable l'indice X, et par^uite ceux de la même classe.
724. Soient X,... les indices de la classe considérée; Y,... ceux dos autres classes; Cx**--; C,*--- les substitutions correspondantes. Les exposants d^écbange des substitutions Cx*... avec les substitutions C^,... seront congrus à zéro ;241). Prenons maintenant pour indices indépendants, à la place des indices imaginaires X,...* un nombre égal d'indices réels f/,, i'o.... Wxt ♦'t. et, à la place de Y,..., d'autres indices réels ir,.... Les substi-
tions 8,, CD,,..., correspondantes à u,, r, étant dérivées de C^*..., ont
des exposants d'échange congrus a zéro avec les substitutions C,..., correspondantes à »^,..., et dérivées de Q,...; et quant à leurs exposants d'échange mutuels, on pourra faire en sorte qu'ils soient tous congrus à zéro, sauf (G, (©,),..., (Sp(Dp),..., qui seront congrus à i (232-234). Enfin, s'il y a lieu de considérer le caractère de ces substitutions, on pourra faire en sorte que G,,(î)| aient le même caractère cou i, etqueG2,cî>2\... aient pour caractère o (258).
Soient maintenant A,, ia>,,... les substitutions correspondantes aux indices originaires a:,, j'i,..., et soient C,, D,,..., E,... les substitutions formées avec A|, B,,... de la même manière que G,, cô,,... le sont avec ^i,, iib|,... : les substitutions C,, D,,... seront échangeables à E,... et le seront entre elles, sauf pour deux substitutions associées C^, Dp, qui satisferont à la relation C-*D-*CpDp = Ar^Br*A,B| = 5. De plus, si 7:=2 et /^^ht 3 (mod. 4)t C|, D,,... auront pour caractéristique une puissance de K^— i ou de K* -h I , suivant que leurs correspondantes G, , (D, , . . . ont pour caractère o
ou f.
Cela posé, on pourra déterminer un système d'indices indépendants fS|£2...Êjr tels, que C,, D|,..,, Ct, Dr prennent la forme
OÙ les facteurs ap, 6pSe réduisent tous à l'unité, sauf le cas où C,, D, auraient pour caractéristique une puissance de K^-+- 1, auquel cas a, et 6, seraient égaux h y et a -+- j3y6^«; [y^^a^-f j3^^— I (mod./?)] (576).
725. Le groupe 7| résulte évidemment de la combinaison d*une substitution •<?,, ayant pour corrélative V, avec le groupe |,, formé par les substitutions ^\,... du groupe 7, dont les corrélatives T\... n'altèrent pas les indices de la classe X,.... Ces corrélatives étant échangeables a 3p, (0^, Tune quelconque ©', des substitutions de ^J;, transformera Cp, Dp eny^Cp, /' Dp, /p, y^' étant des substitutions de F<. Pour que ces transformées aient mêmes caractéristiques que Cp, Dp, il faudra quey^.y^' se réduisent k des puissances de S. Soit par exemple /p= 6^; g', a pour ordre une puissance de />, telle
que/?''; et Ton aura C^ = ^\-p''c^^'/=6^'''^C^. Donc 6^''*'=:^ i {mod.p). d'où €/i''^o(mod.7r), et enfin e = o. Donc 6', est échangeable ï Cp et à Dp, et par suite se réduit à la forme
[$»Ç2'--e]t ^^(^'^[ll^'-'q]»
les coefficients a]^ étant indépendants de §,, Sj,... (580).
D'autre part, V étant permutable au groupe (C|, (D|,...), '<> le sera au groupe (F,, C,, D,,...) et sera (580) le produit d'une substitution s, de la forme
'it'i»'
où les coefficients sont indépendants de e, par une substitution 6, de la forme (4).
La substitution '<>, et les substitutions de ^^ ont chacune pour ordre une puissance de p. On peut supposer qu'il en est de même des facteurs partiels s,, G,. Soit en effet ^f={s,Q,)P''=i : il viendra b^'^K'^'f égalité dont les deux membres sont des formes (4) et (5), et qui ne pourra subsister que si tous deux se réduisent à une même substitution /du faisceau F,. Soient e l'ordre de/, lequel est premier à p; é un entier tel, que e'p^^— I (mod. e)\ •<?, sera le produit des deux facteurs «i/"",/""*'^,, qui sont respectivement des formes (4) et (5) et dont les ordres, divisant/?'', seront des puissances de/?.
