INDÉPENDANCE DES GROUPES RESTANTS

§ I. — Réduction dl théorÈiMe A au théorème B.

716. Lemme. — Soit L un groupe résoluble et primitif de degré M, correspondant à une décomposition IM = qq'q" » -., et formé de groupes partiels A,

A', A", En réunissant dans un premier système^ d'abord toutes les racines

(jue déplace te groupe partiel (A', A", . . .) , puis celles-là seulement que déplace le groupe (A",...), e/c, on obtient évidemment une suite de groupements des racines en q hypersystémes 1,1,,..., contenant q' q" . . . racines^ puis en qq' systèmes S, S|,... ne contenant plus que q" ... racines^ etc. Mais il sera impossible de trouver aucun autre groupement des racines en systèmes tels, que chaxfue substitution de L remplace les racines d*un système par celles d'un même système.

Supposons, en effet, un semblable groupement effectué. Soient i, 2',... les nouveaux systèmes; admettons, pour fixer les idées, que toutes les racines de 2 appartiennent au même bypersystème I, mais que deux d'entre elles, a et «i, appartiennent à deux systèmes différents S et S,. Les substitutions (A",...), n'altérant que le système S, ne déplacent pas a,: donc elles remplacent les racines de 1 les unes par les autres; mais elles font succéder à a les diverses racines de S; donc toutes les racines de S font partie de 1. De même, le groupe transformé de (A",...) par celle des substitutions de A' qui remplace S par S, ne déplace pas a et fait succéder à a, les diverses racines de S, : donc ces racines font partie de 1. De même, si 1 contient une racine d'un autre système Sj, il les contiendra toutes. 1 contient toutes les racines de I : car, s'il n'en était pas ainsi, I contiendrait un système S' dont les racines ne feraient pas partie de 1\ mais A' contient une substitution qui remplace S par S'; elle remplacerait les systèmes S, S,, S2»...,qui forment 2, par d^autres systèmes S', S\, S^,...» dont la réunion formerait un des nouveaux systèmes 2". De même, si S'' était un autre système contenu dans I, I contiendrait une nouvelle suite de systèmes S", S* , S^,... constituant un

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. m\

(les nouveaux SYStëmes l'\ etc. Chacune des subslilutionsde A', devant remplacer les racines de chacun des systèmes 2, 1', l'\.,. par les racines d'un même système, remplacerait les systèmes de chacune des suites S, S,, So,...; S', S',, S'a ,...;... par les systèmes d'une même suite: elles ne permuteraient donc pas ces systèmes primitivement, comme cela doit être.

1 contenant ainsi toutes les racines de I, et n*en contenant, par hypothèse, aucune autre, se confond avec I; et les autres svslèmes 2',..., se confondront avec I,,. . . que les substitutions de A font succéder à 1. On se trouve ainsi retomber sur un des anciens groupements.

Remarque. — Quel que soit celui des groupements des racines en systèmes que Ton adopte, il est clair que L résulte de la combinaison de deux groupes partiels : l'un permutant les systèmes entre eux en remplaçant les unes par les autres les racines correspondantes ; l'autre permutant entre elles les racines du premier système sans déplacer les autres.