Cela posé, soient

de nouveaux indices indépendants, les coefficients jS);); \ étant indépendants

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. î$63

de £ et de r. Les substitutions 6,, ^i,..., rapportées à ces nouveaux indices, ne changeront pas d'expression; quant à la substitution S|, elle prendra la forme

'il 't»'-

analogue, mais non identique à la forme (5), et il est clair qu'en choisissant convenablement les nouveaux indices, on pourra faire en sorte que s, soit réduite à sa forme canonique.

Remplaçons maintenant les indices [ë,^2...£]',. par de nouveaux indices

les coeffieients ]S^ étant indépendants de Si, I2,... et de r. La substitution s, conservera sa forme canonique; et les substitutions G,, 6'j,... prendront la forme

[11^ ..£•]; ^cc-^'ill^'^-ql

D'ailleurs, si Ton dirige le choix des nouveaux indices comme il est indiqué au n®184, ils seront de deux sortes; les uns, [£,Ç2"-^]r» [?i?2"-»^-*- »]%••• que G,, s',,... remplacent par des fonctions linéaires les uns des autres; les autres,. [Sila---» o]^. ,..., [|, Çj..., ^— ij^. que .ces substitutions accroissent simplement de fonctions linéaires des précédents.

D'autre part, remplaçons pour plus de simplicité les indicateurs Ç|, ^2fpar un indicateur unique ^. La substitution St ayant actuellement sa forme canonique, les indices [Çê j^ correspondant a un même système de valeurs de 6 et de r formeront un certain nombre de suites [oê]^.,..., [y— i, î]',.; [qs],..., ;... telles, que s, accroisse chaque indice de l'indice précédent de la même suite, et laisse invariables les premiers indices de chaque suite; et si l'on désigne par q le nombre des termes de la suite la plus longue, par p'' la moindre puissance de p égale ou supérieure à q, s, aura pour ordre p*^ (159).

727. Cela posé, les substitutions de ^, en nombre z?^^"*^'", qui n'altèrent que ceux des indices [Se]^ où ^ < ^r — i , £ < 6, ne peuvent appartenir à $, car elles ne sont pas échangeables h la subslilution \*^,= $^ G,, ni par suite à la substitution \'> du groupe W qui fait subir aux indices du premier système l'altération ^<, ni enfin à la substitution de $ qui a ^ pour premier facteur

partiel. Mais elles sont échangeables aux substitutions 'Q^ , ^j»..*» et par

564 LIVRE QUATRIËMB.

suite aux substitutions correspondantes de 4», lesquelles forment an groupe partiel, qui aura évidemment pour ordre Op"^. En les combinant à ce groupe, on obtiendra un groupe dont l'ordre 0/>'^"*^^^"^ sera au moins égal h 0 {q—i étant^u moins égal à &), et dans lequel 0, sera remplacé par Q^^(f-«)<?v Donc 0, ou tout au moins 0,, ne seraient pas les maxima supposés.

728. Remarque. — Le maximum />", trouvé pour l'ordre de 9^ ne peut être atteint que si $ contient quelque substitution de ^, autre que C unité. En effet, s'il en était autrement, on aurait 0 = fi =/?". Mais, parmi les substitutions de J", il en est d'échangeables à toutes les substitutions de H^, ou, ce qui revient au même, à toutes celles de €>. En les combinant à 4>, on obtiendrait un nouveau groupe analogue à 4>, mais plus général. Donc p^ ne serait pas le maximum possible de 0» comme cela a été démontré.

729. Théorème. — Le théorème A est vrai si J^etL sont primitifs ^ à condition que le théorème B soit vrai.

Soient en effet/?" le degré des groupes ^, L; ^, F leurs premiers faisceaux : F, contenant p" substitutions échangeables entre elles, contiendra quelque substitution de ^, autre que l'unité. Soit 5 une semblable substitution. Ses transformées par les substitutions de 4L» et en particulier par celles de L, appartiendront à ^. Mais ces transformées, combinées entre elles, reproduisent F. Donc ^ contient F; mais ces faisceaux ont le même ordre; donc ils se confondent.

Cela posé, ^el L résultent respectivement de la combinaison de F avec deux groupes primaires d et 1 : 4^ contenant L, d contiendra I. Cela ne peut avoir lieu, par hypothèse, que si d est pareil à I; mais alors ^sera pareil à L; le théorème A sera donc vérifié.

§ II. -- Démonstration du théorème B.

Cas où 4L est décomposable .

730. Théorème. — Tout groupe T formé d'après la méthode des n"' 689- 693 est primaire et indécomposable.

Supposons pour plus de généralité que chaque série contienne plusieurs indices. Si le théorème n*était pas vrai, on pourrait trouver des systèmes

<le fondions des indices tels, que toute substitution de r remplaçât les fonctions d'un même svslème par des fonctions de celles d'un même système.

Vun au moins de ces systèmes contiendrait une fonction dans laquelle n'entreraient que les indices d'une seule série. En effet, parmi les fonctions respectivement contenues dans les divers syslèmes, soit 9 l'une de celles dont les indices sont empruntés au nombre minimum de séries, et, parmi ces dernières, l'une de celles qui contient le moins d'indices. Supposons qu'elle contienne plusieurs séries. Soient y«, f^,... l'ensemble des termes de 9 qui contiennent respectivement les indices de la a-t-i'^'"*^ série, de la 6 H- 1'^'"% etc. Soit enfin F le premier faisceau de T : ses substiiulions, étant opérées sur ta fonction 9, la transforment en d'autres fonctions ?', 9'',... qui n*en diflerent que parce que les indices y sont multipliés par des facteurs constants.

Deux quelconques de ces fonctions, 9', 9", ne sauraient appartenir au même système, à moins qu'elles ne soient équivalentes ^ c'est-à-dire égales h un facteur constant près : car s'il n'en était pas ainsi, on pourrait déterminer une fonction m9'-f-9", appartenant au même système, ne contenant que les indices de 9, et où l'on pourrait profiter en outre de l'indétermination de m pour faire évanouir un coefficient sans que tous s'évanouissent. La fonction 9 ne serait donc pas une de celles qui contiennent le moindre nombre d'indices.

Cela posé, chaque substitution de F multipliant les indices de la première série par un facteur constant m, et leurs conjugués par les facteurs conjugués, les transformées de 9 seront de la forme m^ff^-^m^ 9^ -h...; et pour que deux semblables fonctions obtenues en posant successivement m^=m^, mr=.km^ soient équivalentes, il faut qu'on ait

*/'"=/f />*=... (mod./i), d'où /r/'*"" = *^'"^ =...=!.

D'ailleurs, si v est le nombre des séries, on a *'''-*== 1, d'où enfin A'' "'^1, è étant le plus grand commun diviseur de 6 — a, c — a,..., v. Cette relation fournit, pour A, jfi—i valeurs; les/?''— i transformées de 9 par les substitutions de F sont donc équivalentes /i^— i à /?^— 1. Le nombre des trans-

formées non équivalentes sera donc ^-53 — Appartenant à des systèmes différents, elles seront distinctes. Mais elles s'expriment par les fonctions 9^, 9^,..., dont le nombre ne peut dépasser-^ les entiers a, 6,... appartenant

r;66 UVRE QUATRIÈME.

tous à la suite a, a-hcî',..., a-^ (^ — i W. On aurait donc

relation absurde; ce qui démontre notre proposition.

731 . Cela posé, soit ? = <Pa une fonction ne contenant que les indices de la a 4- i*'^'"*^ série, et qui fasse partie d'un système 1. Les v fonctions conjuguées qui dérivent de celle-la en y changeant l'imaginaire i en i'', i''',... sont distinctes, car elles contiennent des indices différents. De plus, elles fout toutes partie du syslème\S. En effet, soient X, Y,... les fonctions réelles que contient ce système : <p est une fonction ^X 4- 5'Y-+-... de ces fonctions : et ses conjuguées s^X-^s'^Y -{-... en sont également des fonctions, et par suite appartiennent à 1. Le système 2, et par suite chacun des aulres, contient donc au moins v fonctions distinctes : et fxv étant le nombre total des indices, il existera au plus (x systèmes.

732. Soient A,, B|, As, Ba,...; A\, B\, ,..;... les doubles suites qui, jointes à F, forment G, second faisceau de T. Ces substitutions permuieni les systèmes transitivement. Pour le démontrer, prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent A|, Ao,...; A'^,...;... à la forme canonique. Soient 9ai t1 »••• les transformées de y^ par les substitutions de G;

celle des fonctions dérivées de celles-là où entrent le moindre nombre d'indices a:, j,,,.: elle ne contiendra qu'un indice. En effet, supposons qu'elle en contienne plusieurs a;, j,...; la suite A|, A2,...; A', ,...;... contient une substitution T qui multiplie a?, y par deux facteurs différents q et q\ Soient ^an ?«!> 9nn'" l^s Irausformécs de ^a» ?«» ?'«»••• parT; la fonction

contiendra moins d'indices que (j;^. D'ailleurs elle est dérivée de f^, yL,...; car (faif fil»-*- font partie de cette suite: en effet, soit S la substitution qui transformera en y],, par exemple; 9^,, étant la transformée de^^parST, appartiendra à la suite 9^, 9'^,. ..

Admettons donc que ^a ne contienne qu'un indice. Les substitutions B|,

B,,...; B'j,. ..;..., permutant transitivement les indices de la a -M ^^"**^ série, transformeront ^a ^^ f^ fonctions distinctes, contenant chacune un indice, et dont chacune sera dérivée des fondions (p^, <p«».... Donc cette dernière suite contient jx fonctions distinctes. Ces |x fonctions appartiennent évidemment aux systèmes que les substitutions de G permutent avec celui qui contenait ©«. Les fonctions conjuguées formées avec les indices des autres séries appartenant aussi à ces systèmes, ils contiendront jxv fonctions distinctes, total égal au nombre des indices. Il ne peut donc exister d'autres systèmes, formés de nouvelles fonctions.

l^s systèmes cherchés contiendront tous le même nombre de fonctions distinctes. Car si l'un d'eux, 2|, en contenait plus qu'un autre, 2, il est clair que la substitution de F qui remplace I, par 1 aurait son déterminant congru à zéro, ce qui est absurde.

733. Cela posé, si une substitution T de G ne déplace pas le système 2l, elle n'en déplacera aucun. En effet, soient 1' un système quelconque; U une substitution de G, qui le fasse succéder à 1 : U~*TU ne déplace pas le système 2'; mais cette substitution est de la forme/T, /étant une substitution de F. Or y étant une fonction des indices de la a-+- i'*^'"'^ série, il en est de même de la fonction y', appartenant à 2', que U lui fait succéder: do-nc/ la multipliera, ainsi que 9, par un simple facteur constant; donc elle ne déplace pas 2'; donc T ne le déplacera pas non plus.

On voit par là que les substitutions de F laissent les systèmes immobiles. Si toutes les substitutions de G jouissaient de cette même propriété, il n'y aurait qu'un système, et F serait indécomposable. Dans le cas contraire, les doubles suites A,, B,,...; A'j, B'i,...; \\, B",, ...;... pourront être partagées en deux espèces : celles dont tous les termes jouissent de cette propriété; celles pour lesquelles le contraire a lien. Admettons, pour fixer les idées, qu'il y ait trois doubles suites, dont la dernière appartienne seule à la première espèce; et soit fJL= tt^ t:'^' tt"^' le nombre des indices de chaque série. Les indices se partagent également enire tt'"^' classes, en groupant ensemble ceux que les substitutions A",, A^t... multiplient par le même facteur; on en conclut, comme au numéro précédent, que des transformées deç«, 9'«»*-par A'j, Aj,... combinées entre elles on peut déduire une fonction ^^ ne contenant que les indices d'une seule classe. Les substitutions B'^j, B^,..., permutant les classes entre elles, donneront de ^a au moins 7r"°" transformées distinctes. Donc les transformées de y^ par k\, B' ,... fournissent au moins n""^" fonctions distinctes; leurs conjuguées sont également distinctes :

donc 1, qui contient toutes ces fonctions, contient au moins vn"^" indices: et le nombre des systèmes sera au plus égal à ifrC^'. Les substitutions de la

forme A'*B?'... A',''B7'... étant en nombre n^^n'^''\ supérieur à celui des systèmes, deux au moins d'entre elles remplaceront le système 1 par un même système 1'; en les combinant ensemble, on obtiendra une substitution T de la forme/A^'B^... A'"'B',^»... qui ne déplace pas le système 2, ni, par suite, aucun autre système; d'ailleurs Tun au moins des exposants «i, /3(,..., a^, |3'|,...» par exemple a,, différera de zéro. Cela posé, soient L, LS 1/ les groupes auxiliaires respectivement correspondants aux doubles suites A|, B|,...; A'j, B'j,...; A"}, B' ,...; A le groupe formé par celles des substitutions de L qui sont abéliennes propres^ M le groupe formé par celles des substitutions de F qui ont pour premières corrélatives les substitutions de A^ et dont les autres corrélatives se réduisent à l'unité. Ce groupe sera formé par celles des substitutions de F qui sont échangeables, aux F près, a celles de chacun des faisceaux (F, A',, B'^,*..), (F, A' , B%...); mais Tune au moins U des substitutions de M ne sera pas échangeable, aux F près, à/Ar'Bf\... En effet, soit $ le groupe formé par celles des substitutions du faisceau (F, A,, B|,...) qui sont échangeables, aux F près, à toutes les substitutions de M. Le groupe 4)', transformé de $ par une substitution quelconque de F, sera formé par celles des substitutions de (F, A,, B|,...) qui sont échangeables à celles de M', transformé de M, aux substitutions près du groupe F, transformé de F. Mais les substitutions de F, étant permutables à F, ainsi qu'à (F, A',, B', ,...), (F, A', B' ,...), le seront évidemment à M; donc F' = F, M' = M, et par suite $' = 0. Donc ^ est permutable aux substitutions de F. Mais il contient évidemment F. S'il contenait/AJ'Bf*..., il contiendrait ses transformées par les substitutions de F, lesquelles, combinées avec F, reproduisent tout le faisceau (F, A,, B|,...). En effet, soient e^i,f \n>f ' . . . = \xt, j«,... ^i-h7i, ji -h (?,,...( les substitutions respectivement correspondantes à celles de la forme /Aî'Bj'.,.. Si les transformées de/A*'Bî'... par les substitutions de F, jointes aux F, ne reproduisaient pas tout le faisceau (F, A|, B»,...), les transformées de e.v*'ui,J'... par les substitutions de L ne reproduiraient pus tout le faisceau (.^i, iib«,.,.). Le faisceau dérivé de ces transformées ne serait donc pas transitif. Le groupe ( ii, uï)|,..., L), dont les substitutions lui sont permutables, ne serait pas primitif (53), et L ne serait pas primaire, contrairement a notre construction. Les substitutions de M seraient donc échangeables, aux F près, à A,, B|,..., et le groupe A formé par l^ura premières corrélatives ne contiendrait d'autre substitution que l'unité : résul](lit absurde (592).

Cela posé, la substitution T~MJ~*TU appartiendra évidemment au faisceau {Af, B,,...) et non au faisceau F. Or celles des substitutions de G qui ne déplacent pas les systèmes sont transformées par toute substitution de F en substitutions qui appartiennent à G et ne déplacent pas les systèmes; elles forment donc un groupe permutable à toute substitution de F; ce groupe, contenant T, contiendra T~MJ~*TU, et ses transformées par les substitutions de F. Mais ces transformées, jointes aux substitutions de F, lesquelles ne déplacent pas les systèmes, reproduisent tout le faisceau (Fy A,, Bf ,...). Donc A|, B, ne déplacent pas ces systèmes, contrairement à notre hypothèse : absurdité d'où résulte la vérité du théorème.

734. Problème. — Soit L un groupe résoluble primaire et décomposai le. On demande de déterminer des systèmes de fonctions des indices y, 9', ... tels : 1° que toutes les fonctions linéairement formées de celles d'un même système appartiennent également à ce système, et soient essentiellement distinctes de celles qui dérii'ent des fonctions des autres systèmes; 2" que les fonctions de chaque système dépendent linéairement d'un même nombre de fonctions distinctes; 3" que le nombre total de ces fonctions distinctes soit égal à celui des indices; 4° q^^ chaque substitution de L remplace les fonctions d'un même systéme par celles d'un même système.

Le groupe L étant formé d'après notre méthode (688-693), les indices s*y répartissent en systèmes 2o«^i9*--» ^t L résulte de la combinaison d'un groupe D, dont les substitutions permutent les systèmes d'un mouvement d'ensemble, avec un groupe F© dont les substitutions n'altèrent que les indices du premier système. Cela posé, chacune des fonctions f ,... contenues dans les nouveaux systèmes cherchés s, s\... est une fonction des indices des systèmes anciens 2o« ^m

735. Proposition I. — Lune au moins des fonctions 9,... s'exprimera au moyen des indices d'un seul des systèmes 2o, 2, , . . . .

Soit en effet y une de ces fonctions, choisie de telle sorte que le nombre m des systèmes de la suite 2o* ^o*- dont les indices figurent dans son expression soit minimum. Soit ç = 9^-*- ?A-i-?c -*-•••> Ç^t ?*» 9c»" • étant des fonctions partielles formées chacune avec les indices d'un seul de ces systèmes. Soient 9, 9',... les transformées de 9 par celles des substitutions de L qui altèrent une ou plusieurs des fonctions 9^, fc»--- sans cependant déplacer les systèmes correspondants I^» ^c»*-- ^t sans altérer 9^; chaque substitution de L remplaçant les fonctions de chacun des systèmes s, s',... par celles

mo LIVRE QUATRIÈME.

(le l'un de ces systèmes, chacuQe des fondions ç, ç',... appartiendra à l'un de ces systèmes. D'ailleurs deux transformées non identiqqes 9' el 9" ne peuvent appartenir au même système $'; car ce système contiendrait ?'— ?^ qui s'exprime au moyen des indices des m— i systèmes 25, 2c,...;m ne serait donc pas le minimum supposé.

Cela posé, soient r^ le groupe analogue à Fo formé par celles des substitutions de L qui n'altèrent que les indices du système It,; F^, G^ son premier et son second faisceau. Soient v le nombre des séries de I^, jul le nombre d'indices de chacune d'elles. Enfin désignons par ^^a* f^p**** l^s fonctions partielles formées par ceux des termes de ç?^ qui contiennent respectivement les indices de la a -h i'^"*'' série, de la ]3 -h 1'^'"^, etc. Les diverses substitutions de Gb n'allèrent pas 9^, Çc»---» et transforment 9^» en une suite de fonctions analogues y^a» ?!«»••• parmi lesquelles il en est /x de distinctes (732). Les^"— I substitutions de F^ multipliant d'ailleurs ces fonctions par/i^— - 1 facteurs tous différents, la suite y^a, f'^a»-" contiendra au moins jULf/i"— i) fonctions non identiques. A fortiori, la suite 9^ = 9*a -+- ?*p + • • • »

ft, = ft,^'h-(p'i,^'-h des transformées de 9^ par les substitutions de G*

contiendra au moins ii{p*— i) fonctions non identiques.

On voit de même que les substitutions de G^ n'altèrent pas 9^, ç»»--* et transforment 9^ en une suite do fonctions parmi lesquelles [lip*— i) au moins ne sont pas identiques, etc. Donc la suite des transformées de 9 par les substitutions de (G^, G^f...) contiendra au moins [[lip*— i)]*"^* fonctions non identiques; ces fonctions, appartenant à des systèmes différents 8, s\... seront distinctes : mais elles dépendent toutes de 9^ et des indices de 2^, ley-* fonctions dont le nombre est i + (m — i)jjlv. On aura donc l'inégalité

laquelle est absurde si /w>i, à moins qu'on n'ait /w = 2, |x=i, avec p = 2, V ~ 2, ou avec /? -- 3, v = 1 .

736. Étudions ces cas d'exception, et d'abord celui ou p = 2, v = 2.

Soient a?o» x^ et jo> /i les indices des deux systèmes S», 2, qui figurent dans l'expression de 9, et soit 9 = ax^-i- 6a?,-h cjo-H ^Ji ; soit enfin g une racine primitive de la congruence g^^i (mod. 2) : L contient les substitutions

C = \ xç, Xy, y\, /„ . . . gxo, g^Xxy )\, J,, . . . I C = I X., X,, y.y j„ . . . x.y Xt, fry\, g'y

Ci — I X^y X\i y^f Xiy * ' '^if X^f J\<, Jr*iy,,. |.

Les transformées de f par les neuf substitutions dérivées de C, C forment neuf fonctions non équivalentes, appartenant chacune à Tun des systèmes cherchés $f s',.... Ne contenant d'ailleurs que quatre indices, elles ne peuvent être distinctes. Donc deux d'entre elles au moins appartiennent au même système; et de leur combinaison on déduira une nouvelle fonction t{/ appartenant à ce même système, et ne contenant plus que trois des indices a?o, 0?,, yo9 y^^ Soit par exemple t|; = /3a?, -f- 7 j© -^- ^ v, . Les transformées de f par les six substitutions dérivées de C et de E fourniront six fonctions non équivalentes, des trois quantités x^, oti, 7Jo-+-^Ji- Ces fonctions ne peuvent donc être distinctes; donc deux au moins d'entre elles appartiennent à un même système s. Leur différence appartient à ce système et ne contient que les indices de 2©. Donc m = 2 n'était pas le minimum supposé.

737. Soit maintenant />= 3, v=i. Soient x, y,... les divers indices; L s'obtiendra en combinant les substitutions

C=|^, ^, ... — ^yy\'"\y C' = I .r, j)'', . . . X, — j%...|,... (niod.3)

avec un groupe D, dont les substitutions permutent les indices x, y,....

La fonction y, étant, par hypothèse, une fonction des indices x, y de deux systèmes seulement, sera égale, sauf un facteur constant qui est indifférent, à xdzy. Cette fonction et sa transformée par C, 9' = a? q= j, appartiendront à deux systèmes différents de la suite s, s',...; car si s les contenait toutes deux, il contiendrait 9 — ?'» qui ne renferme qu'un seul indice; m= 2 ne serait donc pas le minimum supposé.

Soit T une substitution de D qui remplace x par y; elle remplacera y par x. Car supposons qu'elle remplace y par z, z par a,..., i^ par x; elle permutera circulairement les fonctions x — y, y — z, z — u,..., v — x. Soient So» 8i»--- ceux des systèmes de la suite s, s',... auxquels appartiennent ces fonctions; Br le premier des systèmes de cette suite qui se confonde avec So- Les systèmes So> Si»...» ^r-i seront tous différents : car si Ton avait 5a = Spf lt*s substitutions T* et T^ remplaceraient s» pa»' un même système s^; T^ laisserait donc So invariable; on aurait donc Sp«a = *o» contre l'hypothèse, /3 — a étant <r. Il est évident d'ailleurs qu'à partir de 5,. on retombera périodiquement sur les mêmes systèmes.

On aura nécessairement r= i : car dans le cas contraire, celles des fonctions de la suite x — y, y — z,... qui appartiennent à un même système, n'étant pas contiguès, sont formées d'indices diflerenls et par suite distinctes. D'ailleurs les fonctions de systèmes différents sont distinctes : donc

572 LIVRE QUATRIÈSIE.

toutes ces fonctions seraient distinctes : résultat absurde, car leur somme est nulle.

Les fonctions 07 — j, j — z, z — u,... appartiennent donc au système Sq. Leurs transformées x-hy, —y — z, z — u,... par C appartiennent à un même système; résultat absurde; car z — u appartient à s©» et oi^-hy ne lui appartient pas.

Donc T remplace y para?, comme nous l'avons annoncé.

738. Cela posé, soient a?' un autre indice quelconque, U' une substitution de D qui remplacer? para?' et y par un autre indice^' : elle remplace x-^y et X —y par a?'-hj' et cc!—y\ lesquelles fonctions appartiendront chacune à l'un des systèmes 8, s',... et non au même. Donc parmi les quatre fonctions ci-dessus deux au plus pourront appartenir au même système, et ces deux fonctions différeront au moins par un de leurs indices. Donc les quatre fonctions sont distinctes : doncjK' diffère de x et de j.

Toule substitution de D qui remplace x par x' ou y' remplace j par j^' ou x' , Car s'il existait une substitution V remplaçant a?, y par x\ y'\ elle remplacerait x-^y et x—y par x' -^y" et x' —y", qui appartiendraient à deux systèmes différents. Comparons maintenant les quatre fonctions x'±y'^ ccf±y" : si deux d'entre elles appartiennent au même système, elles différeront par un indice au moins; ces quatre fonctions sont donc distinctes; résultat absurde, car elles ne dépendent que de trois indices.

Soient x" un autre indice, U" une substitution qui remplace a?, y par a;", y"\y" différera, comme on vient de le voir, de a?, j, a?', j'; et toute substitution de D ^ui remplace x par x" ou y" remplacera y par y" ou x" . Continuant ainsi, on voit qu'on peut grouper les indices deux a deux en bypersyslèmes a?, y\ x\ j';... tels, que chaque substitution de D remplace les indices d'un hypersystème par ceux d'un même hypersyslème. Mais cela est inadmissible : car on a déjà ^ = 3, v = i; et cetle combinaison d'hypothèses nous ferait rentrer dans l'un des cas exclus (702).

739. Soit donc 9, une fonction dont l'expression ne contienne que les indices d'un seul des systèmes 2o, 2,,..., ceux de lo P^^r exemple; et soits celui des systèmes cherchés qui contient 91 ; on aura la proposition suivante :

Proposition II. — Toute fonction formée avec les indices de 2o sera l'une des fonctions de 6.

En effet, les fonctions communes à 2o ^t à s dérivent d'un certain nombre

de foDctioDS ^i,..., 9;,. Si ces fondions sont en nombre égal aux indices de 2o» la proposition est démontrée. Dans le cas contraire, le groupe Fq étant primaire, Tune de ses substitutions T remplacerait 91 par une fonction 9', distincte des précédentes. Les fonctions y'j,^.., (p'„ par lesquelles T remplace 91,.... 9„ sont distinctes entre elles; de plus^elles appartiennent au système «' que T fait succéder a s, lequel diffère de S puisque 9, n'appartient pas à s. Donc les fonctions ^i,..., <p„, ^i»...* (p„ sont distinctes. D'ailleurs S' ne contient aucune fonction dérivée des indices de 1^, sauf ?'if..., 9„ et leurs dérivées : car s'il en contenait une 9^^,, S, que T""* fait succéder à s\ contiendrait sa transformée 9„^| par T"*, laquelle serait distincte de 9i,..., 9/2.

Si 2« contient plus de 2/1 indices, F^ contiendra une autre substitution U qui remplace 9,,..., 9^ par d'autres fonctions f\,..., 9)^, distinctes entre elles, distinctes des précédentes, et appartenant à un nouveau système s". Continuant ainsi, on voit que le nombre des indices de Iq est un multiple de n, tel que mn, et qu'on peut déterminer m systèmes s, s\... ayant chacun n fonctions distinctes communes avec Iq. Toutes les fonctions des indices de 2o pouvant évidemment résulter de la combinaison de ces mn fonctions, aucune d'elles ne pourra appartenir à un système autre que les m précédents.

Cela posé, soit V une substitution quelconque de Fq. Ne déplaçant pas le système lo> ^He permutera ensemble les systèmes s, s',... qui ont avec lui des fonctions communes. Si elle remplace par exemple s par s', elle remplacera les fonctions 94,..., 9„ communes à Xo et à s par des fonctions communes à 2o et à s\ c'est-à-dire par des fonctions linéaires de 9'^,..,, (p„ . Le groupe Fe serait donc décomposable, ce qui ne peut être (730),

740. La solution du problème proposé est maintenant facile. Soient T une substitution quelconque de D; 2, et s' les systèmes qu'elle fait respectivement succéder à 2o et à s : les indices de 2| et leurs fonctions linéaires appartiendront à s\ Donc chacun des systèmes s, s',... est formé par les indices d'un ou de plusieurs des systèmes 2o» 2f,... (joints aux fonctions qui en dérivent linéairement).

Si s ne contient que les indices d'un seul système 2o» chacun des systèmes s, s',... sera de même formé par les indices de l'un des systèmes 2«,

2|, Supposons au contraire que s contienne les indices de plusieurs des

systèmes 2o, 2,,.... Admettons, pour fixer les idées, que le groupe D dont les substitutions permutent entre eux les X systèmes 2©, 24,... corresponde

à la décomposition \r=iqq'(]f\.,, et soient A, A', A",... les groupes partiels de la combinaison desquels il est formé. Supposons enfin que dans la suite des groupes (A, A', A^...)1f (A', A",...)» (A^. ..),... le groupe (A', A^...) soit le dernier qui jouisse de la propriété de déplacer tous les systèmes dont les indices sont contenus dai» d. Soient 2(( Tun de ces systèmes; 2|,,..., 2», ceux que les substitutions de (A",...) permutent avec lui; les indices de tous ces systèmes sont contenus dans s. En effet S contient, par hypothèse, les indices d'un système 2' que les substitutions de (A",...) ne déplacent pas: donc ces substitutions ne déplacent pas 6; donc les indices des systèmes 2h,..., 2„i, qu'elles font succéder à ceux de 2,,, qui sont contenus dans s, le seront également.

Cela posé, considérons celles des substitutions du groupe (A', A'',...) qui ne déplacent pas §; elles permutent l'hypersyslème S| formé des systèmes 2|4,..., 2„, avec d'autres hypersystèmes analogues. S,, Sj,...! S» dont tous les indices seront contenus dans 8. Si parmi les systèmes que ce groupe déplace il en existe un 2f2 dont les indices ne soient pas contenus dans S, la substitution T du groupe (A', A",...) qui le fait succéder à 2,, fera succéder à S,,..., Sa des hypersystèmes S'j,..., S'., différents des précédents (car leurs indices appartiennent au système s' que T fait succéder à s). S'il existe encore quelque autre système 2,3 que (A', A",...) déplace, ses indices ne pourront appartenir à rS'; car ceux du système auquel T le fait succéder appartiendraient à 8, ce qui ne peut être, ce système n'étant pas contenu dans la suite S|,..., S». Cela posé, soit U la substitution de (A', A",...) qui fait succéder 2,3 à 2,,; elle fera succéder à S,,..., S» des hypersystèmes S\,..., S' dont les indices appartiennent à un nouveau système §". Continuant ainsi, on voit qu'on peut grouper les hypersystèmes que (A', A",...) permute entre eux en classes, formées chacune de a hypersystèmes. Les hypersystèmes d'une même classe jouiront d'ailleurs de la propriété d'être remplacés par ceux d'une même classe dans toutes les substitutions de A'. Car si une de ces substitutions fait succéder S'g, par exemple, à S|, elle fait succéder s' à 8, et par suite la classe d'hypersystèmes que contient §' à celle que contient 8. Ce résultat est inadmissible, A' permutant primitivement les hypersystèmes, par construction.

Donc les hypersystèmes S^, Sa,..., Sa sont les seuls que A' permute entre eux : donc S est formé par l'ensemble des fonctions linéaires des indices qu'altèrent les substitutions du groupe (A', A",..., Fo)-

741 . Théorkme. — Le théorème B est vrai, si ^ est décomposabte.

Supposons en effet que L fût contenu dans ^. Ce dernier groupe résulte de la combinaison de deux autres; l'un 6^ dont les substitutions permutent les systèmes; Tautre ç^, dont les substitutions n'altèrent que les indices du premier système. Chaque substitution de ^, et par suite chaque substitution de L, fait succéder à Tensemble des fonctions linéaires des indices de chaque système Tensemble des fonctions linéaires des indices d'un même système. Soient d'autre part D = (A, A', A",...) et T^ les deux groupes dont la combinaison forme L, supposé décomposable pour plus de généralité. Nous avons vu, en résolvant le problème précédent, quelles sont les diverses manières de déterminer des systèmes de fonctions jouissant de la propriété cidessus. Quel que soit celui de ces modes de détermination que Ton adopte, L sera toujours dérivé de deux groupes partiels, dont Tun, qui sera par exemple (A', A",..., r^), n'altère que les fonctions du premier système, tandis que l'autre, A, permute les systèmes entre eux.

Il est clair que © et ff« contiendront respectivement A et (A', A",..., Tq). Mais cela ne peut avoir lieu que si ces groupes sont respectivement pareils; car ils sont de degrés moindres que ^, et les théorèmes A et B leur seront applicables, par hypothèse. Mais alors 4;^ et L seront eux-mêmes pareils; donc le théorème B sera vrai.

Cas où 4^ est indécomposable.

742. Définition. — Soit L un groupe résoluble décomposable, contenu ou non dans le groupe abélien (dans l'un des groupes hypoabéliens), et construit par notre méthode, à l'aide de deux groupes D etT©, ce dernier étant indécomposable. Soient Fo le premier faisceau de Fq; F«, F^-*- ses transformés par les substitutions de D. Le faisceau (Fo» F4,...) sera dit le premier

faisceau de L.

Si L était un groupe complexe, résultant Ae la fusion de groupes primaires L', L'',... (712), on considérerait son premier faisceau comme formé de la combinaison des premiers faisceaux de L', L'\

743. Théorème. — Un groupe primaire L ne peut être contenu dans un groupe primaire et indécomposable i^que si son premier faisceau F contient cf, premier faisceau de 4^.

La démonstration est fondée sur le lemme suivant :

Lemxe L — Soient C, E imaD substitutions auelcongues {k L: Cr* E'* CE

sera échangeable aux substitutions de i. En efTet, C et E appartenant à L, et par suite à 4^, seront de la fornie 99 \^ 9 étant la substitution qui remplace chaque indice de .^par son conjugué de la série suivante, et ^ une substitution qui ne déplace pas les séries (555); C~* E^'^CE ne déplaçant pas les séries, sera échangeable aux substitutions de ê.

Si C est échangeable aux substitutions de S, C~* et par suite E~*CE le seront.

744. Cela posé, admettons que les indices de L forment X systèmes, contenant chacun v séries, contenant chacune jx indices. Soient D, Fo les deux groupes dont L est dérivé; F© le premier faisceau deF©; FcF,,..., ses transformés par les substitutions de D; F = (Fo, F,,...) le premier faisceau de L.

Soit enfin ^une racine primitive de la congruence g^^^^^i (mod./>) : F, contiendra la substitution gt, qui multiplie par g^'^ les indices de la r-hi'^*"* série du / H- i'^'"*^ système, sans altérer les indices des autres systèmes.

745. Lemme II. — Toute substitution f appartenant à § remplacera chacun des indices de L par une fonction de ceux de la même série.

Soit d'abord >. >i. D contient une substitution d qui fait succéder le g^^ième système au /-hi'^'"*'. Si Ton pose C = ^,, E = rf, il viendra C"* E"* CE = g^r g-^. Cette substitution multiplie les indices de la r-h i'^*"' série du 5 -f- 1'^'"*' système par g"^ , ceux de la p ~h i^^*"* série du / -h 1'^* système par g^^ et laisse invariables les indices des autres systèmes. La substitution 9, qui lui est échangeable, remplace chaque indice par une fonction de ceux-là seulement que g7^ gt multiplie par un même facteur. Or les facteurs

des formes g^ et g''^ diffèrent de l'unité, et sont en général différents. Car si l'on avait ^''^^^^^''''(mod./?), on en déduirait ^''^"^'^ i, relation absurde, /?P — /?^ étant </?"— I. Si d'autre part on avait g''^ ^ gP\ on en déduirait gp^ip^^^)^^ (mod./>), d'où />?-'•-+- 1^0 (mod./?^— 1). Cette relation est impossible en général; car p et r étant <v, p^'^-h i sera </?"— i, à moins qu'on n'ait à la fois p== 2, v = 2, p— r=i, ou/? = 3, v=i, p — r = o. [^On a/?''> 2 (555)]. Laissant provisoirement de côté ces deux cas d'exception, il est donc établi en général que 9 remplace les indices d'une série quelconque du /-h i'^*"^ système par une fonction de ces seuls indices. Le lemme est donc démontré.

II serait encore vrai, même dans les cas detèeption que nous avons si-

gnalés, si l'on avait X > 2. Car nous av|ias éli|bli:iftie 9 remplace les indice^i.

de chaque série du / -4- i'^'"^ système par des fonctions qui ne peuvent contenir que les indices de cette série, et ceux du 5 -h i'^'"* système. On verrait de même que ces fonctions ne peuvent contenir, avec les indices de la série considérée, que ceux du 5 + i'^'"' système, s' étant différent de s et de /. Donc ces fonctions ne peuvent contenir que les indices de la série considérée.

746. Soit maintenant )v= i. Ce cas se subdivise en trois autres : i^ celui où V = I , dans lequel le lemme devient évident ; a"" celui où v = 2, que nous réserverons; 3® celui où v> 2, que nous allons traiter.

Les substitutions de L sont de la forme P^Q, Q étant une substitution qui ne déplace pas les séries, et P la substitution qui remplace chaque indice par son conjugué de la série suivante (555); d*ailleurs, parmi les substitutions de L, il en est toujours une S dans laquelle on ait p = 2. En effet, si II était égal à 1, L contiendrait la substitution P et son carré P'. Soit au contraire jx > 1 : chacun des groupes auxiliaires qui servent à construire L contient la substitution qui multiplie tous les indices par/?, et les exposants d'échange par/?^. Ces substitutions, associées ensemble, seront les corrélatives d'une substitution de L, laquelle sera de la forme P^Q. Posons C = g^o» E = S; C"* E~* CE = C''''"' sera échangeable à y. Donc 9 remplace les indices

de la r-f- 1'^'"* série, que C/^~* multiplie par ^^'''■"*^'^, par des fonctions des indices que cette substitution multiplie par le même facteur. Or un indice appartenant à une autre série, telle que la p -h i'^"*^, ne peut être multiplié par le même facteur : car si l'on avait

gr(/'»-i)/=gr(/»'-«;/'p (mod./i;, on aurait

{p^— i)p'EEi{p'-' i)p9, d*où ip'— i){p^-'— 1=0 {mod.p^— 1),

relation absurde : car si p — r<v— i, (/?*— 1) (/'^'"'^— 0 sera <ip^— 1; et si p — r = V — I , on aura

(P^— Ml/*'"' — i) = —p'"-' — p'-hp-\- 1 (mod.;;^— 1), congruence dont le second membre est négatif et </>''— i.

747. La démonstration du théorème proposé est maintenant facile. Supposons, pour plus de généralité, jtJL> i, et soient A,, B|,..., Â\, B'^,... les doubles suites qui, combinées à Fo» reproduisent Got second faisceau de To.

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DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. l'û^

condition

g'-fl'm^gP-'l'm, d*où (g^»^''-») — i)/'m = o {tnod.p), (g'-p- i)mf/ — m') = o, (g^/»-'- !)/'(/- m') = o (moA.p).

Mais i[p'- \)<ip^ — \\ donc g^ ^''"■*^ — i ^ o ; on a donc

L'une au moins des quantités l\ m est donc nulle. Soit par exemple /' == o. Si m n'était pas nul, on aurait l^m'y et 9 aurait pour ordre un multiple de/?. Mais S ne peut contenir aucune semblable substitution (562).

Donc V^m^o. Donc 9 multiplie chaque indice par un facteur constant; et Ton peut achever la démonstration comme au numéro précédent.

749. Soit maintenant X = 2, avec /i = 2, v = 2 ou /> = 3, v =^-'i. Supposons d'abord |j. > i . Le raisonnement du n*^ 745 montre que chaque indice x du premier système doit être remplacé dans 9 par une fonction ^^ ne contenant que les indices x, x\... de la même série, et ceux y, y\... d'une autre série, appartenant au second système. On voit ensuite, comme au n*^ 747, que la fonction ^ ne contiendra pas x\.... Enfin, les transformées des substitutions des formes/A |,...,/A'j,..., auxquelles 9 est échangeable, par la substitution qui permute les deux systèmes sont échangeables à 7 : d'ailleurs elles n'altèrent pas x, et multiplient y, ^'f... par des facteurs constants. Deux indices différents de la suite/, y\... seront multipliés par un fdcteur différent dans Tune au moins de ces substitutions. Donc la suite contiendra tout au plus un indice j qu'aucune de ces substitutions n'altère, et qui par suite puisse figurer dans la fonction ij^. Soit donc t{/ = /w^r -4- /iv.

Le groupe Fi formé par les substitutions de L qui n'altèrent que les indices y, /',... contient évidemment une substitution S qui ne multiplie pas j^ par un simple facteur constant; soient Y, Y',... les fonctions qu'elle fait succéder àj, j',...: et soit 7 = aY-f- a'Y'-t-.... La substitution S^'^S remplace x par mx-h n{ay-^ a'y' -h ...); mais, faisant partie de i, elle doit remplacer x par une fonction de a? et 7 seulement. D'ailleurs Y ne se réduisant pas a j, à un facteur constant près, a',... ne peuvent s'annuler à la fois : donc n = o. Le lemme II se trouve ainsi vérifié, et l'on peut achever la démonstration comme précédemment.

750. Soit X = 2, /> = 2, V = 2, jUL = I . On a quatre indices or, or, ; y, y^ formant quatre séries et deux systèmes. D'après le n^ 745, f aéra de la

580 LTVms OHATRIÈME.

forme

9 — I j;, . . . , 7, /j: -f- mj-,, . . . , /' x -f- iw'^-, | ,

oi Ton verra, comme au o® 748, que m et /' s*ànnuient. EnHn le cas où X = 2, /i = 3. v= i, /x= i est exclu (702).

751 . Théorème. — Le théorème B est vrai^ si ^est indécomposable.

Choisissons les indices de manière à ramener L à la forme type, et supposons qu'ils se répartissent entre X' systèmes, contenant chacun v' séries, contenant chacune fi' = n''n'^... indices : L résultera de la combinaison d*un groupe D dont les substitutions permutent les systèmes avec un groupe \\ dont les substitutions n'altèrent que les indices da premier système. Soient g\ 6, 6',... des racines primitives des congruences

^'o> ^«v ^'o«-- les substitutions qui multiplient respeclÎTemenl par g'"^, 6^, 6'^\... les indices de la r+ i'^' série du premier syslèaae, en laissant invariables ceux des autres systèmes. Le premier faisceau de r«« F«, sera formé des puissances de g^; son second faisceau G« s'obtiendra en combinant à F^ certaines doubles suites A,, B,,...; A',, ff,,. ..;.... Soient ^'^« F«, ^'j, F,,... les transformés de g^^ F« par les substitutions de D; le premier faisceau de L, F = (Ft, F,,...) aura ses substitutions de la Tonne g\*'g't^*"'f et Tordre de chacune d'elles divisera p^ — i-

D'autre part, si Ton supposait les indices choisis de auiinière à ramener 4;^ ;i sa forme type, ils ne formeraient qu'un système; sMent y le nombre de ses séries, fi = 9^9'^... le nombre des indices de eka^ne série. Soient^, 5, 5',..., y des racines primitives des congruences

Désignons également par g^ ^, ^\...,y les substitutions qui multiplient les

indices de la r-Hi'^^ série par g^\ S'^, Sr''^,...,y'^. Le premier faisceau de 4^, ^y est formé des puissances de g\ son second faisceau Ç s\ibliendra en joignant âi .f* certaines doubles suites rV,, ifei,...; x\^ «t,....: — Enfin les substitutions de 4^ seront de la forme <I^ ^, <r étant la substitution qui rempbce chaque série par la suivante, et ^ une substitution qni ne déplace plus les séries.

752. Proposition I. — L'ordre ® d'un groupe ^ contenu dans ^ei dont leg substitutions sont échangeables entre elles, ne peut dépasser fji*'' (/?^ — i).

En effet, supposons, pour plus de généralitét que 5 contienne quelque substitution qui déplace les séries; il résultera de la combinaison d'une semblable substitution ^^, où $ est un diviseur de v, avec le groupe H formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent plus les séries (557);

et l'on aura ® = | û, ù étant Tordre de H.

Le groupe I formé par les premières corrélatives des substitutions de H est isomorphe à H. Soit 0 son ordre; on aura i} = Oû|, 1^, étant Tordre du groupe H| formé par celles des substitutions de H dont les premières corrélatives se réduisent à Tunité. Ces substitutions sont de la forme <.l>^1a>^... ^, 6 étant une substitution qui ne déplace pas les séries, et soit échangeable à X|, ia>i, — Celles de ces substitutions, i, ^,, c^2«-** qui se réduisent à la forme 6 forment un groupe H': soit Q! son ordre. Soient d'autre part U = A.t*ia>['... 6 une substitution quelconque de H4 : ce groupe contiendra évidemment û' substitutions, U, U^i, U62»'-* dans lesquelles «i, jSf,... ont les mêmes valeurs que dans (J. On aura donc 01= u)Ù\ ci) étant le nombre des systèmes de valeurs que peuvent prendre a^, ]3|,... dans les substitutions de H,.

Soit 0' Tordre du groupe V formé par les secondes corrélatives des substitutions de H'; on aura de mémeO'=0'iïi, Ù^ étant Tordre du groupe H'^ formé par celles d£S substitutions de H' qui ont pour seconde corrélative

Tunité. Ces substitutions seront de la forme «.C^** W|^'... G', &' étant une substitution qui ne déplace pas les séries, et soit échangeable à x,, ia>i,^.., x'j, ift»',,...; et Ton aura îî', = w'û", w' étant le nombre de systèmes de valeurs que prennent a\, p'^»... dans les substitutions de H'j, et Q." Tordre du groupe H" formé par celles des substitutions de H' qui se réduisent à la forme 6'.

Poursuivant ainsi, il viendra

O^'^' étant Tordre du groupe H^'^^ formé par celles des substitutions de H qui sont échangeables à X,, ift),,...; aCj, Wj,...;.... Ce dernier groupe est évidemment contenu dans §\ et ses substitutions, étant échangeables à $^^, se

réduiront aux puissances deg^/»*-*. Soit g ^*-* la moindre puissance de cette

58f LIVRÉ QUATRIÈME.

jy» I

substhution qui appartienne à H^''^ On aura évidemment 0^'"' = ^— -,

et ^0^^^ atteindra son maximum/)''— i en posant d= i, d = v.

D'autre part, les substitutions U,... étant échangeables à toutes celles (le H, les substitutions correspondantes

a*« &^' . . . = [ ^,, j„ . . . ^1 -h «1, j, -h (3„ . . . I , . . . le seront évidemment aux substitutions de I

! Xvt ri, ... rt', a:, -h c*^, 7-, -h . . . , ft', JT, -h rf', j, -f- . . . , . . . I

corrélatives de celles de H. Ces deux sortes de substitutions réunies ensemble formeront un groupe de substitutions échangeables entre elles contenu dans le groupe résoluble et primitif de degré zs^^ qui résulte de la combinaison dessubstitutionsa|,6|,...avecle groupe auxiliaire qui correspond à la double

suite ei>i, iA>i Son ordre Oco ne pourra par suite dépasser zs^^. On aura

demêmeO'w'^Tsr'^^'.elc., d'où «D^zy*«®'*«'..- (;i^- i) = /x*(;i"- i).

753. Si les substitutions de 5 n'étaient échangeables entre elles qu'aux i près, mais qu'elles fussent échangeables à celles de ê^ on trouverait de mime «D = OwO'a)'...O^^J5iUL'(/>"-i).