Proposition II. — L ne peut être décomposable

Supposons en effet X'> i. Le groupe dérivé des substitutions F^, A,,..., Aff, A\,... et de leurs transformées par les substitutions de D a évidemment pour ordre (J-'^'ip^ — i)^\ et ses substitutions sont échangeables entre elles. Étant contenu dans L, il le sera dans ^: d'où la relation (752)

D'ailleurs on a X'/x'v' = juiv, chacun de ces deux nombres exprimant le nombre des indices. D'autre part, la substitution g est contenue dans ^et par suite dans F; donc son ordre/?"— i divisera p^' — i (751); donc v divise v'. Soit v' = ^v, d'où ii = kViL' : il viendra

relation évidemment absurde, sauf pour de très-petites valeurs de k, W p^-^ En faisant quelques essais et remarquant d'ailleurs que/?""— i doit éln > I (555) et divisible par tous les facteurs premiers de fx, on trouvera qa

DE LÀ RÉSOLUnON PAR RADICAUX. 583

cette relation n'est possible que dans les quatre cas suivants :

1** ei 2

V = 2, /r = I , />* = 3 ou 5 ; X' = 3, /r=i, p'^i, fA'=i; X' = 4, /f=:i, /i^ = 3, a'=i.

755. Considérons d*abord le troisième cas : L et 4^ ont respectivement pour ordre 1.2. 3(2. 3)' et 3.3*(3^— 1) (3'— 3). Donc Tordre de L ne divise pas celui de 4^; donc L ne peut être contenu dans 4^.

Dans le quatrième cas, L a pour ordre i.2.3.4(3-3)\ Quant à ^, son ordre sera égal à 2.2* q, pétant Tordre d'un groupe auxiliaire primaire ou complexe, de degré 2\ Ce dernier groupe étant contenu dans le groupe linéaire, son ordre divisera (2*— 1) (2*— 2) (2* — 2*) (2*— 2*). Ici encore Tordre de L ne divisant pas celui de ^, L ne pourra être contenu dans 4^.

756. Soit enfin )/ = 2, * = i et // — 3 ou S, d'où v = v' = 1 . Les facteurs premiers cr, w',..., tt, n',..., divisant/?— i, se réduiront à 2; elles groupes auxiliaires correspondants aux doubles suites ei>|, ifl)!,..., eV\, ifi'^, ...;... pourront être fondus en un seul groupe complexe (712). Cela posé, la substitution 9o est d'ordre 2 et appartient à ^; et sa corrélative

I x,y Xi* • • • û', ^. -f- 1*', Ji -^ •.-,*', Jr, H- rf', 7, -+-...,.. . I

étant d'ordre 2, pourra par un changement d'indices convenable se mettre sous une forme telle que

et sera échangeable aux substitutions dérivées des substitutions C^» Cy»...» Cz, C|„... correspondantes aux indices X, Y,..., Z, U,.... Soient a,, &(,..., les substitutions respectivement correspondantes à or, , y, , . . . , et soit

Cx = flî''ftî'..., C^=a]'b\'..., Il est clair que les substitutions du groupe R

dérivé de ^et de «i,J'i)l)J'..., <^v,î*ift,^...,... seront échangeables à ô© aux puis- sauces près de 3. Or le nombre des indices X, Y,..., Z, U,... est au moins la moitié du nombre total. Donc le nombre des substitutions de R sera au moins égal à rx(/7 — i). Si toutes ces substitutions ne sont pas échangeables à do* ^llcs dériveront de la combinaison de Tune d'elles, qui transforme Qa en iÔof avec un groupe R' de substitutions échangeables à 0^, et d'ordre

égal ou supérieur à - /x (/> — i).

58i UVRE QUATRIÈME.

Si $0 appartenait à ç, sa corrélative se réduirait à Tunité; R et R' auraient alors pour ordre i^^ip— i) et- ii^{p— \).

Soient d*autre part 2of ^i l^s deux systèmes d'indices de L : la substitution $0 multipliant par — ^ i les indices de Zq ^^i^^ altérer ceux de 2,, les substitutions U,... du groupe R', qui lui sont échangeables, seront chacune le produit de deux substitutions partielles Uo» U|,... altérant respectivement les indices de 2o et ceux de 2|.

Soit maintenant V une substitution quelconque de Y^\ elle sera échangeable à U aux puissances près de do- I^" efTet, V, appartenant à ^, sera permutable à Ç; donc U~' V~* UV=Ui"' V"-' Uo V appartiendra à ç. Or chaque substitution de g", ramenée à la forme canonique, multiplie la moitié des indices par I et l'autre par — i, ou la moitié pary et l'autre par —y, à moins qu*elle n'appartienne à ^, et ne multiplie tous les indices par un même facteur. Mais U^' V~* UoV laisse invariables tous les indices de I,; donc elle multiplie les autres par un même facteur =b i , et se réduit à une puissance de $«.

La substitution Uq, étant échangeable aux puissances près de d^ à A,, R,,..., A\, R\,..., appartiendra au faisceau Gq. Elle appartiendra à F^; sans quoi ses transformées par les substitutions de Fo, combinées avec Fq, reproduiraient Go (733); elle ne serait donc pas échangeable à toutes les substitutions de Fo aux puissances près de do-

Le groupe isonjorphe à R' formé par les substitutions partielles Lo»... sera donc contenu dans Fo; et son ordre ^' divisera p — i^ Celui de R' sera égal à a>'ci>'\ ot)'' étant l'ordre du graupe R" formé par celles de ses substitutions qui laissent invariables les indices de 2o; ces substitutions, appartenant à g", multiplieront les autres indices par un même facteur + i . Donc R* ne contiendra que la substitution i , seule ou jointe à la substitution 0, = à 9». Dans le premier cas, on aura

Dans le second cas, R', contenant ^ et 9,, contiendra 6q, et l'on aura

2(/> j- l)^(o'(ù''^ - [/.^(p — l), d'où fXz^ 9., t/ z=z I.

Mais en supposant p^z=^ ou 5, ]W.' = i, )/=2, on tomberait sur un cas exclu (702).

Il faut donc nécessairement admettre )/=i, ce qui établit la proposi-

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 5a*i

lion II, Cela posé, nous pourrons écrire F, G, g\ 0, Ô',... à la place de Fo,