Proposition III. — k se réduit à V unité

Le nombre jui' divisant /x, les facteurs premiers tt, tt',... qui le divisent font partie de la suite des facteurs premiers xs, rs\... qui divisent /x. Soit par exemple ti = vs. Les puissances de la substitution Q se confondront avec celles de la substitution d. En effet, les unes et les autres sont des substitutions d'ordre tt, contenues dans F, et par suite seront les puissances de la

substitution g "" . Donc les puissances de 6 appartiennent à :l\ de même pour les puissances de 0\....

Cela posé, G contient ix'^{p'' — i), substitutions échangeables à celles de F, et a fortiori à celles de ^, et échangeables entre elles aux puissances près de 6, 6',..., d'où la relation

absurde si A:> i, a moins qu'on n'ait k= 2, p* = '5. Mais ce cas est exclu (703). Donc *=!.

758. Proposition IV. ~ Les faisceaux F et G se confondent respectivement ai^ec ^ et ç.

En premier lien, rf étant contenu dans F, et ayant le même ordre />'^—i, se confond avec F.

Cela posé, les substitutions de G, en nombre jul'*(/>^'—i) sont échangeables à celles de F, et échangeables entre elles aux F près. Elles appartiendront donc toutes à la forme i^; et par suite, l'ordre ® de G se réduira à OwO'ck)'...0^''^ nombre qui ne pourra être égal à ii'^{p'^ — 1)= 11^ {p'^—i) que si 0«, O'w',..., 0^'^^ atteignent leurs maxima respectifs w*S w'^^,..., /?"—!.

Supposons, pour fixer les idées, qu'on aiU simplement ]ui = w^o'*^, d'où ® =OwO'w'0". Le nombre 0' étant moindre quetar'^^ (728), OV ne pourra atteindre ce maximum que si a)'> 1. Donc l'une au moins T des substitutions du faisceau [S, aCj, W, ,...) appartiendra à G, et sera de la forme

/AJ»BÎ'... A'/'B'i*'..., /étant une substitution de F, et les exposants a,, 6«,..., «j, 6\,...,... n'étant pas tous nuls.

Supposons que l'un des exposants a'j , &',,... par exemple diffère de zéro : L contient une substitution U, échangeable à A|, B,,...;... et qui ne soit pas échangeable aux F près à A^Bf-... (733). La substitution T-*.U-*TU

586 UYRE QUÂTRIËME.

appartiendra au faisceau G, = (F, Â'^, Ki»...) sans appartenir a F; et cornbiuée à F et à ses transformées par les substitutions de L. elle reproduira tout le faisceau G|. D*autre part, T et ses transformées par les substitutions de 4^, et en particulier par celles de L, et par suite T-MJ~' TU et ses transformées, appartiendront au faisceau ?«•= (^, x\, W|,...). Donc ce faisceau contient G|.

Si Ci contient de^ substitutions autres que celles de G^ il résultera de la conibinaison de G| avec des substitutions A'^^i^ B^^,,..., Â^r, Vç»^ échangeables aux précédentes, et échangeables entre elles, sauf pour deux substitutions A'^ , B'^ d'un même couple, qui seront échangeables à 6 près (559-561). On peut d'ailleurs choisir ces substitutions de telle sorte que leurs caractéristiques soient des puissances de i —K*^, si u' est impair, et des puissances de K^-— i, si «?" = 2, à moins qu'on n'ait en même temps y^^^Sfmod./i), auquel cas A'^^.,, B'^^.i pourront avoir pour caractéristique une puissance de K*-4- 1 (567-570).

On peut admettre que la double suite A',, B',,..., A^, B^, AV+,» B'^^,,... se confond terme à terme avec la double suite x\, ui>\,... pourvu qu'en formant cette dernière double suite, on renonce si s'astreindre à la condition qu'elle ne contienne pas plus d'un couple ayant pour caractéristique une puissance de K*-h i '^lorsque z^ = 2 et/>''^3(mod.4)j.

Cela posé, le groupe G2 = (F, A,, B,,...; A",, B' ,...;.. .) a pour ordre fjL*T5'-*^(/>^— i) = Oa)0'w'or'-*^(/>^— 1). Or toutes les substitutions de G„ et en particulier celles qui sont échangeables à v,, vi>,,..., sont échangeables k A'j, B',,..., A'^, B'^ : leurs secondes corrélatives seront donc échangeables aux substitutions

elles seront donc de la forme

et l'ordre 0' du groupe qu'elles forment sera moindre que or'*^-*^ (728). Mai pour que OwO'w ... soit égal à fi*(/?'— i), il faut que O'w soit égal à zs'^ Donc w'ar'"*^> i, et par suite Tune des substitutions de G, (autre que cell'

de F) appartiendra à ç,. Soit/A^'B^... Ai'^Bj^'... cette substitution. Si par exemple n'est pas nul» on verra, comme tout à Theure, que la dou!

suite A', B'j,... appartiendra à ff,, et l'on pourra supposer A'=A',.^,, B' =3'^^!. Poursuivant ce raisonnement, on obtiendra le résultat suivant :

Le faisceau (F, J^'j, iJl>'j,...) résulte de la combinaison de F avec quelquesunes des doubles suites A|, B,,...; A',, B', ,...;..., dont la réunion formera la double suite ,A,\ \ ii^\ , . . . .

On peut, par raison de symétrie, énoncer un résultat analogue pour la double suite ei>,, lO»,, Par suite, le faisceau Ç se confondra avec 6.

759. Supposons maintenant, pour fixer les idées, que G contienne trois doubles suites A,, B|,...; A',, B'i,...; A* , B%..., dont la première soit contenue dans le faisceau (F, cA>(, ia>,,...) et les deux aulres dans le faisceau (F, Jl,'j, ifV',»--0- 0" ^"•*^ ï:7^ = 7r^, Ts'^ = 7r"^7r"^', d'où n' = n'\ Cela posé, la construction de 4;;^dépend évidemment de celle de deux groupes auxiliaires •Co* -C'o* respectivement correspondants aux deux doubles suites <.i>,, iA>i,...; ^C,, ift)'j, De même celle de L dépendra de celle de deux groupes auxiliaires Lo, Lq, Tun primaire et correspondant à la double suite A,, Bf,..., Tautre complexe, et correspondant à la double suite complexe A'^, B\,..., A" B"

Soient d, 5' les groupes respectivement formés par celles des substitutions de .^of ^0» fl"* s^°^ l^s corrélatives des substitutions de ^; I, T les groupes formés par celles des substitutions de Lq, L'o qui sont les corrélatives des substitutions de L. Pour que ^^contienne L, il faut évidemment que d, d', et a fortiori ^^ et 4^^, contiennent respectivement 1, V. D'ailleurs toute substitution abélienne propre S contenue dans Lo, par exemple, étant associée à la substitution i que contient L^» on pourra déterminer une substitution de L qui ait ces deux-là pour corrélatives. Donc S appartient à I. En outre, dans le cas particulier où quelqu'un des groupes primaires et indécomposables qui servent à la construction de L© serait de degré 7*'", où m est une

puissance de 2, et correspondrait à une décomposition m = V| nî*7r\*^«... où Ton eût V, = 1, I contiendra une substitution qui multiplie les exposants d^échange par un non résidu de 7, sans quoi on tomberait dans un cas exclu (707 et 711).

Soit donc Jo le groupe qui est à Lo ce que J était à Ldans l'énoncé du théorème G (715); I contiendra J^. Ce théorème étant vrai par hypothèse pour les groupes ^o> Lo, Jo qui sont de moindre degré que ^, L, le groupe Jo, et a fortiori le groupe I, ne pourra être contenu dans 4^0 que si ^0 6t Lo sont pareils. On voit de même que Ji^ç, et L'^ doivent être pareils. Mais alori^ 4^et L seraient eux-mêmes pareils.