DÉMONSTRA.TION DU THÉORÈME G

Cas OÙ ^ est décomposable ,

760. Théorème. — Soit L = r wn groupe construit par la méthode des n*** 697-699 : le groupe J défini comme à V énoncé du théorème C (715) sera primaire et indécomposable [et resterait tel, lors même que Von conviendrait de poser toujours e = o dans ledit énoncé ) .

Nous allons monlrer en effet qu'il n'est pas possible de trouver des systèmes de fonctions des indices tels, que toute substitution de J remplace ks fonctions de chaque système par des fonctions de celles d'un même système, et que, ces fonctions étant prises pour indices indépendants, les exposants d'échange des substitutions correspondantes à des indices de systèmes différents scient tous congrus à zéro. Le procédé de démonstration consistera à montrer que si le théorème était faux pour un groupe d'un certain degré, il serait faux pour un groupe d*un degré moindre; d'où cette conséquence absurde, qu'il existerait une infinité de groupes de degrés décroissants à partir de celui que Ton considère.

76 !• Premier cas. — T est de première catégorie. Ses indices forment deux systèmes conjoints, contenant chacun v séries, contenant chacune juL =:7r'7r'^... indices. (Nous supposons fi> i, pour plus de généralité.)

L'un des systèmes de /onctions cherchées contient une fonction dans laquelle n entrent que les indices d'une seule série. Soit en effet, parmi les fonctions

cherchées, 9 = 9^4- 96 -*-•••-+- fL' -+-?!' -*-••• une de celles dont les indices sont empruntés au moindre nombre de séries, et qui, subsidiairement, contiennent le moindre nombre d'indices; 9^, 9^,... représentant respectivement l'ensemble des termes de 9 qui contiennent les indices de la a 4- 1'^', de la 6-4- 1*^'"%... série du premier système S, et 9'^., 9'^, .. l'ensemble de ceux qui contiennent les indices de la a'-hi'^**', de la ô'-i-i'^'"*',... série du second système S". Transformons 9 par les diverses substitutions de F, premier faisceau de F (lequel est contenu dans J). Autant on aura de transformées non équivalentes, autant on aura de fonctions distinctes, dérivées de

Si les indices qui figurent dans 9 appartenaient à un seul système, mais à plusieurs s'éries, on déduirait de là, comme au n^ 730, la relation absurde

Supposons donc que dans 9 figurent des séries de chacun des deux systèmes. La substitution de F qui multiplie les indices de la première série du premier système par m transformera y en

Pour que deux semblables transformées obtenues en posant successivement m = mtf m = imt soient équivalentes, il faut qu'on ait

d*où

On a d'ailleurs kP'~'* ^ i; et par suite i^^^^iy ^ étant le plus grand commun diviseur de 6 — a, é' — a',... et de v. Soit maintenant a' — a^râ-h d (mod.v), e/ étant <(^; il viendra

Soit donc le plus grand commun diviseur de p^—i ei p'^-hi] on aura

i 7 ^i, ce qui donne ^- valeurs distinctes pour k. Les transformées

de © sont donc équivalentes ^ ""' à ^ ""'> et Ton aura g nr— transformées ' ^ q q p — ï

non équivalentes, toutes dérivées des fonctions 9^, 96^ ••• 91» 9b'*"- ^^"^ 1^ nombre ne peut dépasser y a» b,. .. appartenant à la suite a, a-hâ,.. .,

aH-(^ — I J ^ et a', b\... à la suite a', a'-H^,.... On aura donc

relation absurde si 9 > 2, (^ étant au plus égal à v.

Essayons la valeur q=\: p'^-^- \ devra être divisible par p^— 1; mais il ne peut être plus grand que /?^— i, rf étant < d\ on aura donc

p*— I = »*'-+- 1, ou p'fp*"*'— l) = 2, ou

/^ = 2, rf=l, 5 = 2, ou p = if rf = 0, 5=1.

Posant dans la relation (6) 9=1, p = 2, â = 2f il vient — ?— <v, d'où

V < /|; et comme v est un multiple de 5, v = 2. Posant au contraire p = 3, J = I , il viendrait < 2v, d'où v = i ou 2,

Essayons maintenant la valeur ^ = 2 : p^-^i étant un multiple de ^

et n'étant égal ni Supérieur à p^ — if sera égal a ^ On en déduit

p'^^p^^ -^2) = ^, d'où /? = 3, rf= I, 5= 2, ou /> = 5, rf=o, d= !• Dans l'un et l'autre cas, la relation (6^) donnera v = J.

On a d'ailleurs p^^ f\ (616). Les seuls cas qui échappent à la démonstration sont donc les suivants: /? = 3, y = 2;/? = 5, v= i, dont le premier est exclu (704). Nous examinerons l'autre tout à l'heure.

762. Soit donc ? == ?« une fonction des indices d'une seule série, laquelle fasse partie de l'un 2 des systèmes de fonctions cherchés. On verra, comme aux n^"* 731-733, que 1 contiendra les fonctians conjuguées de 9; que les svstëmes contiennent tous le même nombre de fonctions distinctes, et sont permutés transitivement par les substitutions de 6; que les substitutions de F laissent les systèmes immobiles, et que les doubles suites A|, B,,...; A'j, B'j,...; Ag. B'jj,...;... seront de deux espèces : i*^ celles dont toutes les substitutions laissent les systèmes immobiles; 2^ celles qui ne jouissent pas de cette propriété.

Supposons, pour fixer les idées, que toutes les doubles suites, sauf la première, appartiennent à la première espèce. On verra, comme au n^ 733, qu'il existe une substitution T de la forme /A^'B?'..., où l'un des exposants, «( par exemple, ne soit pas nul, et qui ne déplace pas les systèmes.

Cela posé, soient L le groupe auxiliaire correspondant à la double suite

les substitutions respectivement correspondantes à A|, B,,... et au faisceau desquelles ses substitutions sont permutables. Supposons, pour plus de généralité, que L soit décomposable : il résultera de la combinaison de deux groupes, dont l'un. A, permute les systèmes entre eux, l'autre, Ti, n'altérant que les indices d'un seul système, par rapport auquel il est primaire et indécomposable. Soient en général z^, Ur^... les indices du r*^'^^ système; Ca^» Ctt^»..- les substitutions correspondantes. On peut les considérer comme dérivées d'une double suite de substitutions 8,^. ©irf-. ^mrf ®„r» dont tons

les exposants d'échange mutuels soient nuls, sauf pour deux substitutions associées Cpr» Odpr» dont l'exposant d'échange sera i (293-300). Soit en général

Les substitutions du faisceau (x^ lO)!,...) étant dérivées de ceMes-là, celles du faisceau (F, A|, B,,...) le seront de la combinaison de F avec les substitutions Cp;. = A•'p'^BÎ'p^.., Dp^ = Aî'p''B^p^..,..., lesquelles seront échangeables entre elles, sauf deux substitutions associées, Cpr et Dp,, qui le seront

à 6 près. En particulier, T sera de la forme /Cî;'DÎ,"...CVD*;:'..., l'un au moins des exposants, tel que a,i, n'étant pas nul.

Soit maintenant !« le groupe qui est à F, ce que J est à F. La substitution Cf;'(£)?i',.. G2;'(£)f„7, jointe à ses transformées par les substitutions de J,, reproduira toutes les substitutions dérivées de Ci,, (Dh»".» 0,ni, (&,„«. En effet, s'il en était autrement, le faisceau résultant de ces transformées ne serait pas transitif. Le groupe {Qu* O^Hf.» ^mn (£>mM Ji)» dont les substitutions lui sont permutables, ne serait pas primitif (53), et J, ne serait pas primaire. Le théorème serait donc faux pour le groupe F,, de degré moindre que F.

Donc J, contient une substitution t> non échangeable à g'^o^jV... g^-; ok)^™'. F contiendra une substitution abélienne propre U qui ait pour première corrélative t) et pour ses autres corrélatives Funité, et ne déplace pas les séries, et qui par suite appartienne a J. La substitution T^'U-^TU ne déplace pas les systèmes S, S', et sera dérivée de (Cn» D, ,,..., C;;,,, D^i)» sans appartenir à F. Les transformées de cette substitution par celles des substitutions de J dont les premières corrélatives appartiennent à J, et dont les autres corrélatives se réduisent ^ l'unité, jointes aux substitutions de F, reproduisent^ évidemment tout le faisceau (F, C,,, DH,...,C;„4,D,ni). Donc les substitutions C|i,D,i,..., C;„o D,„^ laissent les systèmes immobiles.

Cela posé, le système 1 contiendra les transformées de <p par les substitutions Cu, D,,,..., Cmi* Dmtf A'}, B'j,..., parmi lesquelles il en est au moins 71*" tt'*^... de distinctes (732). Il contient en outre leurs conjuguées, soit en tout au moins vTr*";:'^'... fonctions distinctes. Le nombre des systèmes ne peut donc dépasser tt*^"*". Donc parmi les tt^^^-^î substitutions de la forme

CJt'Dfi'... CVDV..., il en est au moins une qui ne déplace pas les systèmes. Supposons que l'un des exposants a,2« &4 2f*» p^i* exemple, diffère de zéro. On verra, comme tout à l'heure, que C,a. D,,!-.» C^a» ^m2 ne déplacent pas

les systèmes, etc. Donc enfin aucune des substitutions Cp^, Dpr* et par suite aucune des substitutions de 6, ne déplace les systèmes. Donc tous les indices de S, qui résultent de la combinaison de f et de ses transformées par les substitutions de 6 avec leurs conjuguées, appartiendront à un même système 1. De même les indices de S' appartiendront tous à un même système 1\ lequel ne peut diflerer de 2, les exposants d'échange des substitutions correspondantes à leurs indices respectifs n'étant pas congrus à zéro. Donc il n'existe qu'un système 1, et J est indécomposable.

763. Considérons le cas d'exception oix p"* = 5. On doit supposer |x> i, sans quoi l'on tomberait dans l'un des cas exclus (705) : d'ailleurs fi, divisant/?"—i, sera une puissance de 2 telle que 2^2^ Soity = 2 une racine

primitive de la congruencey*^ 1 (mod. 5) : F, premier faisceau de T, sera formé des puissances de la substitution ^=y qui multiplie par y les indices du premier système et pary~* ceux du second. Quant à son second faisceau 6, il résultera de la combinaison de F avec certaines doubles suites C,, Df,..., C^,D\,... telles, que toutes les substitutions de F soient permutables à chacun dos faisceaux (C,, Do--.)» (^1» D\, ,..),... (705).

Le nombre des systèmes de fonctions cherchés ne pouvant dépasser 2ix, nombre total des indices, deux au moins, T, T des 2|x' substitutions

y^C''Dî'...Ci*' D'jP'... (où l'on prend s égal à o ou a i) remplaceront l'un 1 de ces systèmes par un même système 2,. La substitution T"*T' = U laissera 1 immobile. D'ailleurs elle est dérivée dey, C,, D,,..., C,, D',,... et ne se réduit évidemment pas à une puissance paire dey.

Si U est une puissance impaire dey, telle quey^, 2 contiendra une fonction des indices d'une seule série. Soit en effet © = y^ -+- 9'o ''ui^e des fonctions de 2, rpQ, 9^ étant les fonctions partielles formées par ceux des indices qui appartiennent respectivement aux deux séries de F : 2 contiendra y^?.)-l-y~^?'o» transformée de y par U, laquelle est distincte de 9, et qui, combinée avec 9, donnera les fonctions 90* ?o' ^^' appartiendront h 2.

Soit au contraire U=:yPQ'DJ'...Cj*' D'jP'..., les exposants a,, j3|,... par exemple n'étant pas tous nuls. Les transformées de U par les substitutions y, C,, D,,..., C, , D'j,... sont de la forme y '*U et laissent immobiles les systèmes que ces substitutions font respectivement succéder à 2. Mais y*', multipliant tous les indices par un même facteur =bi, laisse tous les systèmes immobiles : donc U laisse ces systèmes immobiles. D'ailleurs y, €«, D,,..., Cj, D'j,... permutent transitivement les systèmes : car, s'il n'en était pas ainsi, les transformées de 9 par ces substitutions, combinées entre elles,

ne reproduiraient que des fonctions dérivées de celles appartenant aux systèmes que ces substitutions permuteraient avec 1 : le nombre des fonctions distinctes dont elles dépendent serait donc inférieur à a/x. Mais ces transformées, combinées entre elles, donnent 9©» ?'o» Q^^» transformées par C,, D|,..., C^f D\, ....... fournissent chacune |jl fonctions distinctes.

Donc U ne déplace aucun système. Il en sera évidemment de même de ses transformées par toutes les substitutions de J. Or soit Y une substitution de J échangeable à C, , D', ,... et non échangeable a Q'Df'... aux F près : V~*UV==U| appartiendra au faisceau (C,, D, ,...). Ses transformées U,, U2»... par les substitutions de F, ou, ce qui revient au même, par les substitutions de J ('), jointes aux substitutions de F, reproduiront tout le faisceau (F, C|, D, ,...); les substitutions Uf, Ua,... reproduisent donc tout le faisceau (C,, D«,...). Cela posé, 90» transformée par les substitutions (F, C,, D,,...) donne 2^ fonctions distinctes (733). Les substitutions de F multipliant ces fonctions par de simples facteurs constants, la transformt)tion par U,, Uj,... suffira pour obtenir ces 2^ fonctions. A fortiori, on obtiendra au moins 2^ fonctions distinctes en transformant f = (pn'^9o V'^^ ^^' U2».... Toutes ces fonctions appartiennent à 2, que U,, U2,... ne déplacent pas.

Donc chaque système contient au moins 2"^ fonctions distinctes. Le nombre des systèmes sera donc au plus égal à 2.2'~^/x, et inférieur au nombre

2.2~^^/ji^ des substitulionsy*C,*'D',P'.... Raisonnant comme tout à l'heure, on voit que 1 n'est pas déplacé par les substitutions {C\, D'^,...) et contient une fonction y© des indices d'une seule série, ou contient au moins 2^.2''' fonctions distinctes. Continuant ainsi, on voit que si 1 ne contient pas ç, , il ne sera déplacé par aucune des substitutions (C|, D4,..., C^f D', ,...) et contiendra au moins fi fonctions. H n'y aura donc que deux systèmes, 2, 1\

764. Cela posé, si J contient deux substitutions Si' et C^ telles que Ton ait a' 6 = G Jl'y^ T étant impair, il existera une puissance impaire dey qui ne déplace pas les systèmes 2, 2\ En effet, si y les permutait entre eux, et que c^' les j)ermutàt aussi, A'j ne les déplacerait pas. Donc l'une des deux substitutions si\ ^'y, P^"* exemple Si'j\ ne les déplacerait pas. Sa transformée par G ne les déplacerait pas non plus; mais G""*/ 5=7"*=*; cette transformée se réduira donc à Jl'y^=^'. Donc (^'y)~' ^'y^* =y^-»=*=* ne déplacera pas les systèmes.

(*) r résulte do la combinaison de J = A avec une substitution W échangeable à C„ D,,... (GH)

59 i LIVRE QUATRIÈME.

Donc, dans ce cas, 1 contiendra une fonction f o des indices d'une seule série. Cela posé, la démonstration s'achèvera comme au cas général.

765. Il reste k établir l'existence des substitutions ê{.\ s. Chacune des doubles suites C,, D^,...; C,, D',, ...;... peut être modifiée de telle façon que chacun de ses couples ait pour caractéristique une puissance de K^~ i, sauf le premier, qui aura pour caractéristique une puissance de K^— i ou de K'^-f-i (570). Suivant que le premier ou le second cas se présentera, le groupe auxiliaire L correspondant à la doublé suite considérée sera contenu <lans le premier ou le second groupe hypoabélien (578).

Le nombre DC des groupes auxiliaires L, L',... contenus dans le second groupe hypoabélien est impair, sans quoi Ton tomberait dans un cas exclu (705). Donc il existe un nombre impair de doubles suites dont les premiers couples aient pour caractéristique une puissance de K^+ i. Soit C«, D«,... Tune d'elles. Les autres doubles suites pourront être fondues en une seule, qu'on modifiera, s'il y a lieu, de manière que tous ses couples aient pour caractéristique une puissance de K*— i. Soit Cj, D',,... cette double suile ainsi modifiée.

Cela posé, les indices indépendants [^(^^...y?!...]' peuvent être choisis de telle sorte, que les substitutions C,, D|,..., Ca* D^ prennent (en n'écrivant que les indices du premier système) la forrtie

C, — |[?,Ç2.. ./),...]• ye^' [$,?,... y),...]" |, 1), =:|[ÇiÇ,...y},...]' 7 [Si4-i, ?!,...,•/).....]• If

et les substitutions Cj, D'j,... la forme

C',= I [Hi$j...y),...j» 0'>«[Ç,Ç,.. .•/!,...]• |, D', = I [g,Ç,.. .•/},...]• [Il, Hi,..., Yî.-h i,.../|,

Cela posé, la construction de F dépendra de celle de deux groupes auxiliaires L, L', Tun primaire, l'autre complexe, respectivement correspondants aux deux doubles suites C,, D,,...; C,, D'i,.... La substitution abélienne propre

a pour chacune de ses corrélatives l'unité. Ces corrélatives étant contenues respectivement dans L, L\ A' le sera dans T, et par suite dans J.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 59r>

Soient maintenant T^ le groupe formé par l'ensemble des substitutions abéliennes propres qui sont permutables aux faisceaux F, (C|, D, ,...), (C, , D\ ,...). Leurs premières corrélatives formeront un groupe H bypoabélien de seconde espèce et de degré 2^^, L'une quelconque T de ces substitutions transformera A' en ^'y p, p étant un entier. En effet, JH' étant permutable à F et échangeable aux substitutions des faisceaux (C|, D,,...), (C, , D'j....), T~* a'T le sera, et sera de la forme A''^, i^étant une nouvelle substitution échangeable à ces mêmes substitutions, et qui ne déplace pas les séries, et qui par suite appartienne à F.

En particulier, F, contient la substitution

V=: I [^,g,. . .73,. . .]• [oÇj.. . y),. ..]•-+- M« [iÇ„... rî,...]' I

qui transforme A' en A'J^. Celles des substitutions de F, qui sont échangeables à si\ aux puissances près dey*, forment évidemment un groupe contenant la moitié de F, et permutable aux substitutions de F|. Leurs corrélatives formeront un groupe I contenu dans H, d'ordre moitié moindre, et permutable à ses substitutions.

Le groupe L n'est pas contenu dans I (674-685). D'ailleurs chacune de ses substitutions, étant abélienne propre, sera la corrélative d'une substitution de J (car on peut l'associer à la substitution i contenue dans L'). Donc J contient une substitution qui transforme Si' en A'j"^, t étant impair.

766. Second cas. — F est de seconde catégorie. Soient 2v le nombre des séries, /x celui des indices de chacune d'elles.

Vun des systèmes de fonctions cherchés contient une fonction des indices d'une seule série. Soit autrement 9 = ya-h y^-f-.*. celle de ces fonctions dans l'expression de laquelle figurent le moins de séries. Transformons-la par les substitutions de F, premier faisceau de F. Autant on aura de transformées non équivalentes, autant on aura de systèmes. Or ces transformées

sont de la forme /w'^^^^-h/w'^y^-h..., m étant une racine de la congruence

/w''''^*==i {mod.p). Posant successivement m = mi, m=^km^, on aura deux transformées équivalentes si l'on a

A /'-£=/,/=-..., d'où /r/""-'^...^i avec A^/''+' = i.

On en déduit k^'^' ' = 1 , puis k^^-^ ^ 1 , c^ étant le plus grand commun diviseur de b — a,..., 2v. Soit n le plus grand commun diviseur dep^^i et de p^— i; on aura Xr^sn i {(uod.p), ce qui donne n valeurs admissibles

5îm LIVRE QUATRIÈME.

pour k. Le nombre des transformées non équivalentes sera donc^--^ —

Or d, divisant av» est égal à (/ ou à 2^, d étant un diviseur de v moindre que V» Si <> = rf, /i*— I divise /i''— i : n divise donc/i''— i ei/i^-H i. et par suite leur difTérence a. Divisant d'ailleurs y»" -h 1, il se réduira à i si /> — a. Si au contraire J = arf, P^ — ^ = ip'' -^ ^) if^ - > - ^

car d ne divisanl pas v, par hvpotkëse, ^ sera impair. D*ailleurs p^ -^ i et

/)'*— I peuvent en outre avoir le facteur commun 2. On aorai donc n =^^4-1 ou af/)**4- §)•

l.cs diverses transformées de ^ ne dépendant que des fondions ç>«, fi,....

en nombre au plus ég^l à -j^ on aura

Si ^ ^ a«/, celle relalioii devient

et n'est admissible (^ étant impair) qoe si |»= x, v = 3, r^s f^YcIn f7M Si ^ =:i/, on aora

ce qui n'est possible qoe si Ton a J=:%. p=3^\= \ .

Cjo cas d'exoeplion pent se traiter par nue mé^ode identique à celle des n"^ T^S-76S> en reiiipb<«iil dans le nàsonneaM»! la sobsùnaîon .^' par la snKstitnlioii € ainsi définie

cl la snksiitQlion V par la snivanie

^ c5iaYit «ne rMne primitive de la cx>n|rmeiice ^* — i mod . 3

<^ doit Twmrqof^ q*t te mwjies farmé? jar te pfremiffTv^ tv^romte ou . coirélaiiff?

Le lemme ci-dessus étant établi, on obtiendra la démonstration comme au n° 762.

767. Troisième cas. — T est de troisième catégorie. Il n'y a qu'une série, et l'on raisonnera comme au n** 762.

768. Problême. — Soient L un groupe résoluble primaire ou complexe, de degré p^"^ contenu dans le groupe abélien [dans l'un des groupes hypoabéliens); J le groupe défini comme à V énoncé du théorème C. On demande de déterminer des systèmes de fonctions des indices S, s', ... tels : i® que toutes les

fonctions linéairement formées de celles d'un même système appartiennent également à ce système, et soient essentiellement distinctes de celles qui dérivent linéairement des fonctions des autres systèmes; 2° qu'elles dérivent d'un certain nombre de fonctions distinctes^ le même dans chaque système; 3*^ que ces fonctions distinctes, dont le nombre total sera égal à celui des indices, étant prises pour indices indépendants, les exposants d'échange des substitutions correspondantes à des indices de systèmes différents soient toujours congrus à zéro; 4*^ que chaque substitution de J remplace les fonctions de cha/]ue système par celles d'un même système.

Supposons, pour fixer les idées, que L soit complexe, et résulte de la fusion de divers groupes primaires L', L",.... Soient J', J',... les groupes respectivement formés par les substitutions communes à J et à L', \J\

Choisissons les indices de manière à ramener L', L'",... à leur forme type. Ceux de L' se répartissent en général entre X' systèmes (ou couples de systèmes) 2o9 ^o'-M 6t \J se construira à l'aide de deux groupes résolubles : Tun D', dont les substitutions permutent les systèmes (couples de systèmes) d'un mouvement d'ensemble; l'autre To, dont les substitutions n'altèrent que les indices de l'un d'eux, 1^. Le groupe Jo» dont la relation au groupe To est celle indiquée entre L et J dans l'énoncé du théorème C, sera évidemment contenu dans J'.

Les indices de L",... se répartiront de même entre X",... systèmes (couples de systèmes) iy» ^y+i, ...;... qui pourront ne pas contenir le même nombre d'indices que ceux de L\

des substitutions de J contiennent toutes les substitutions des groupes fonnés par les corrélatives de celles de r. Soit en effet S une substitution quelconque de T; cette substitution, ou à son défaut la substitution g% laquelle a les mômes corrélatives, sera abélienne propre, et appartiendra à J.

598 UVRE QUATRIÈBŒ.

769. Proposition I. — Vun au moins des systèmes cherchés S contiendra

une fonction cp qui s'exprime à F aide des indices de 2©.

En efTet, si aucune des fonctions cherchées ne conlenait dans son expression les indices de 2o» ces fonctions se ramèneraient, contre Thypothëse, à un nombre de fonctions distinctes inférieur à celui des indices. Donc Tune au moins de ces fonctions 9 sera de la forme ^yo-^X» ^0 étant une fonction des indices de 2o» ^ui ne soit pas identiquement nulle, et ^ ^"^ fonction des autres indices.

Soient Wo-+-X» ^o"'"X»"- '^^ transformées dey par les substitutions de Jo: chacune d'elles appartiendra, par hypothèse, à l*un des aystèmes s, s',.... Si deux d'entre elles appartiennent au même système s, sans être identiques, s contiendra leur différence zso — ts'q, et notre proposition sera démontrée. Pour qu'elle fût en défaut, il faudrait donc que toutes les transformées non identiques appartinssent à des systèmes diflerents, et par suite fussent des fonctions distinctes.

i** Supposons d'abord F© de première catégorie. Soient F, G ses deux premiers faisceaux, v le nombre des séries de chaque système, jui le nombre d'indices de chacune d'elles. Soit enfin t^^ = ÇaH- y^H- ...-f-y'«.-h..,, 9^, 9^,... étant les fonctions partielles formées par ceux des termes de Oo qui contiennent les indices de la a -h i'^"'*^, de la 6 -h i'^"**,... série du premier système, et 9],.,... les fonctions formées par ceux de ces termes qui contiennent les diverses séries du système conjoint. Les transformées de 9^ par les substitutions dé G donneront jui fonctions distinctes 9^* ^a*---» que le» substitutions de F multiplieront chacune par/?"— i facteurs différents, nombre des transformées différentes de la fonction 9^, et a fortiori de 1 fonction ^^To -H x P^^ '^^ substitutions de F© sera donc au moins égal ^ [jAp'— i)- Ces transformées devraient être distinctes; d'ailleurs elles s*eîc^ priment toutes a l'aide des 2jjiv indices de Fo et de la fonction ;f; d'où l^^ relation

laquelle est absurde,/;' étant > /| (616).

2"" Si Tq est de seconde catégorie, soient 2v le nombre des séries, [x le nombre d'indices de chacune d'elles : on aura toujours, par les mêmes considérations,

relation absurde, à moins qu'on n'ait fj.= i et /? = 2 avec v = 1 ou 2. Nous examinerons tout à l'heure ers deux cas d'exception.

3** Si To est de troisième catégorie, il n'y a qu'une série, contenant /x indices : ell'on aura, par des considérations semblables aux précédentes,

relation absurde, car |x > i .

770. Proposition II. — Toute fonction formée avec les indices de 2o sera l'une des fonctions de S. Celle proposition se démontre comme au n*^ 739 (en changeant To en Jo).

771. Revenons à nos deux cas d'exception. Soient ç = Wo-'-^a^" ^6 ^-•• Tune des fonctions cherchées, dans l'expression de laquelle figurent les indices de lo\ Wo, zsa* Wô,... les fonctions partielles formées par ceux des termes de (p qui contiennent les indices des systèmes 2o, 2^, 2^,.... Supposons (p choisie de telle sorte que le nombre k des fonctions z^o» ^af ^à*-" soit minimum. Ce nombre ne pourra surpasser 2. En effet, supposons-le égal à 3, et transformons la fonction (p^ts^-h Wa+ ^b P^r '^s substitutions de Jo, puis par celles du groupe analogue J^ formé par celles des substitua tions de J qui n'altèrent que les indices de 2«. Le nombre des transformées

ainsi obtenues sera égal à /x(^''-hi)./x«(^^«— i), i^(/?''-Hi)-/Xtf(/>'''-M)' ^^ ex(/?''-i-i). 2jji«, suivant que le groupe r^ analogue à r© est de première, de seconde ou de troisième catégorie (fx^, v^ étant les nombres analogues à /ui, V et relatifs au groupe r^). Ce nombre sera toujours supérieur au nombre des fonctions distinctes dont ces transformées dépendent, lequel est évidemment égal, suivant le cas, à n-2|xv H- ^jx^Va, 1 -f- 2|xv-i- a/j-^Va, ou 1 + 2jULv + (x^Va. Donc ces transformées ne sont pas distinctes, et deux au moins d'entre elles, 9' = «r'^, -h w^ -f- w^, 9"= w^ 4- ty^ h- cr^, appartiendront à un même système s'. Leur différence 7s\^ — ts^-hTs^ — rs^ appartiendra à 8'. Si l'on n'a pas ts^^=^7s\^ celte fonction contiendra les indices de deux systèmes seulement, dont le système 2o : et 3 ne sera pas le minimum de k. Si rs^^=-7s\^ 7s^ —Ts^ appartiendra a S'. Donc toutes les fonctions formées avec les indices de 2^, et notamment ts^ , appartiennent à s' : ç' — 05 = ^y'^^ -»- w^ lui appartiendra également. Donc ici encore, 3 ne sera pas le minimum de k. Soit donc 9 = Wo-^^fl- Transformons cette fonction par les substitutions de J^. Si l'on n'a pas à la fois /? = 2, 1x^ = 1, Va = i ou 2, deux de ces transformées, 9'= ?3To4- tst', , (p"= Ts^-^Ts\ , appartiendront à un même système s' : leur différence ts^ — ts^^ et par suite les fonctions des indices de 2^, et notamment Ts^ , appartiendront à 8'; et Wo = y'— «^!, lui appartiendra. La proposition I se trouvera ainsi démontrée.

GOO LIVRE QUATRIÈME.-

Soit enfin /? =^ 2, jx = fx^ = i , v = i ou a, v^ = i ou 2. Supposons par exemple v = i, v<, = a. (Les trois autres combinaisons de valeurs de v, v^sc traiteraient de la même façon). Soient Xo, x^ et Vo, ji, ji» ^5 les indices de Jo et cLe J^. Les substitutions de ces deux groupes contiendront respectivement les suivantes

F=| r. g^^xr I, F.= Ln g^SVrl,

?^i^ et g'fl étant respectivement des racines primitives des congruences /?o = i» g^JÎ=i(mod.2).

Soit y = axç^ -h 607, -f- cy^ -h rfj« 4- cja -i-/j3 une des Fonctions cherchées, dans laquelle on n'ait pas a= 6 = 0. Cette fonction, transformée par les substitutions dérivées de F, F^, donnera 3.5 transformées différentes, qui ne peuvent être distinctes, car elles ne contiennent que six indices. Donc deux au moins de ces transformées, <p', 9", appartiendront à un même système s'. Ce système contiendra ^ = (p'-j-my", m étant une indéterminée dont on pourra profiter pour faire évanouir le coelficient de l'un des six indices, celui de V3 par exemple, dans l'expression de ^. Par un procédé analogue, on pourra obtenir une nouvelle fonction appartenant à l*un des systèmes cherchés et qui ne contienne plus ni j,, ni ja» etc. On obtiendra enfin une substitution de la forme a;ro + jSo;, appartenant à l'un des systèmes cherchés. Toutes les fonctions formées avec x^y x, appartiendront à ce système (770).

772. Les deux propositions précédentes montrent que chacun des sys* tèmes S, 8',... est formé par les fonctioifs dérivées des indices d*un ou plusieurs des systèmes 2o, 2|»....

Admettons maintenant, pour plus de généralité, que quelques-uns des groupes L', L",... soient décoipposables de première espèce. Supposons,

pour fixer les idées, que L', L' le soient, mais non \r Les indices deL'

forment deux hypersystèmes H'^^, H'^; et \J se construit à l'aide d'une substitution W <î|ui permute les deux hypersystèmes, et d'un groupe L'^^ dont les substitutions n'altèrent que les indices de H^; et le groupe J'^, qui est a L'^ ce ^w^ J est à L dans l'énoncé du théorème C, sera évidemment contenu dans L', et par suite dans L, et enfin dans J.

Le groupe L'^ est indécomposable ou décomposable de seconde espère (599). Supposons-le décomposable, pour plus de généralité. Les indices s'y répartiront en systèmes, et L^ se construira a l'aide de deux groupes : l'un VI ^, dont les substitutions permutent transitivement les systèmes : l'autre T,,,

dont les substitutions n*aUëreDt que les indices du premier de ces systèmes, 2o' Les substitutions de D'o appartiendront à L'^^, à L\ et enfin à J. Soient d'ailleurs Ao, A'^, A'^^,... les groupes primitifs qui servent à la construction de D'^; q, q\ q'\... leurs degrés successifs.

Les systèmes formés par les indices de U se partageront de même en deux bypersystèmes H^, H' . Quant aux systèmes formés par les indices de L*^, nous les considérerons comme formant un seul hypersystème H'^.

773. Cela posé, on voit, par les propositions I et II, que chacun des systèmes cherchés s, 8',... est formé par les fonctions linéaires des indices d'un ou plusieurs des systèmes 2o, 2,,...; 2x', ...;.... Deux cas seront ici à distinguer par rapport à chacun des systèmes s, s'

i^ Parmi ceux des systèmes 2of* dont 8 contient les indices, il en existé plusieurs ï^,, I^, 1\, 1'" appartenant à des bypersystèmes différents, tels que H',), Hq, H' , H*'. Dans ce cas, s contiendra tous les indices de ces bypersystèmes. En effet, tes substitutions de D'^, appartenant a J, remplaceront les fonctions de S par celles d'un même système. Mais elles laissent invariables ceux des indices de H'o qui sont contenus dans s; donc elles remplacent les unes par les autres les fonctions de s. Donc s contient les fonctions que les substitutions de Dq font succéder aux indices de 2!^, c'est-à-dire tous les indices de H'^,. De même $ contiendra tous les indices des autres bypersystèmes Hq, H' , H''.

Soient maintenant / le groupe complexe formé à l'aide des groupes primaires L'o» L", L*^; y le groupe qui est à / ce que J est à L dans l'énoncé du théorème C; / Tune de ses substitutions; z'^^, /", r les trois substitutions partielles, appartenant respectivement aux groupes L'^, L'', Vf dont t est le produit : J contiendra une substitution T qui fait subir aux indices de s l'altération /. En effet, si e = o (voir l'énoncé du théorème C), ce qui est le cas général, la substitution / est abélienne propre, et sera contenue dans J. Dans le cas exceptionnel où £ est un entier impair, on aura d = i, sans quoi le groupe L tomberait dans un cas exclu (707 et 711). Donc chacun des groupes L', L", L\ L**^... a pour exposant l'unité. Soit donc g^^ le facteur par lequel / multiplie les exposants d'échange des substitutions correspondantes aux indices de S; les groupes V*\... contiendront respectivement des substitutions t^*\... qui multiplient les exposants d'échange parce même facteur; et J contiendra la substitution T = t'^^t\ /"/"'/^*^.., où t\ est la substitution qui altère les indices de H',, comme t'^ altère ceux de ff^.

2^ Tous les systèmes dont s contient les indices appartiennent à un même

liypersystème, tel que H'^,. Soit 2o l'un de ces systèmes. On verra, comme au n° 740, que s est formé par les indices des systèmes qui sont permutés avec 2o psi* les substitutions de Tun des groupes successifs (A^», A'ot A'„,...),

(A'o, A^,...), (Ay,...) I, par exemple par les substitutions de (A'„,...).

Cela posé, les indices de H'^ formeront qq' systèmes s, s',... que les substitutions (Ao, Aq) permuteront entre eux.

Soient d'ailleurs / le groupe dérivé de la combinaison de (A"!),.-*) avec l^^; j le groupe qui est à / ce que J est à L : on voit, comme tout à l'heure, que / étant une quelconque de ses substitutions, J contiendra une substitution T qui fait subir aux indices de s Taltération /.

774. Théorj^me. — Le théorème C est vrai si Ji^est décomposable.

* Parmi les diverses manières de grouper les indices de 4^ en systèmes, choisissons l'une de celles où le nombre des systèmes est minimum. Le groupe 4^ se construira h l'aide de deux groupes : l'un (D, permutant les systèmes d'un mouvement d'ensemble et d'une manière primitive; l'autre T n'altérant que les indices du premier système s.

Le groupe J étant supposé contenu dans ^, chacune de ses substitutions remplacera les fonctions linéaires des indices de chacun des systèmes s, s',... par les fonctions linéaires des indices d'un même système.

Désignons par / et / les mêmes groupes qu'au n^ 773 : L étant contenu dans 4^, J le sera évidemment dans F. Mais les groupes /, y, T étant de degré moindre que L, J, 4^, le théorème C leur est applicable, par hypothèse. Donc / et r sont des groupes pareils; donc / est primaire comme T. Donc ceux des indices de L dont s est formé appartiennent exclusivement à un seul des groupes L', L", L\....

Ainsi, chacun des systèmes 8, s',... est formé de tout ou partie des indices de l'un des groupes L', L", L'^,... (et de leurs fonctions linéaires); et ces groupes pourront en général se partager en deux sortes : 1" ceux dont tous les indices appartiennent à un seul de ces systèmes; 2° ceux dont les indices forment plusieurs systèmes.

Ji ne peut exister plus d'un fjroupe de première sorte. Car s'il y en avait deux, L', L", ces deux groupes étant pareils à T, le seraient entre eux, et Ton tomberait sqr un cas exclu (713).

775. Parmi les groupes de seconde sorte, il nen existe aucun qui soit décomposable de première espèce. En effet, si l'un d'eux L' Tétait, ses indices se partageraient en deux hypersystèmes H'^,, H',, dont chacun serait formé

par les indices d'un ou plusieurs des systèmes s, s\ Soient Xo, jo»--- et

a?i, j,,... les indices de ces hypersystèmes : L' se construira au moyen de la substitution

et d'un groupe L'^, dont les substitutions n'allèrent que les indices de H'^. Ce groupe se construira lui-même à Kaide de deux groupes D'^, = (A©, A'^, A',,...) et V^. Parmi les systèmes qu4 sont contenus dans H'j,, il en existe un s tel, que le groupe / qui lui correspond soit dérivé de la combinaison de r'„ avec (A'jj,...) par exemple.

Soient maintenant L', , D', = (A,, A',, A" ,...), r', les groupes transformés de \1q, D'„, T\^ par W : L' pourra être considéré comme construit à l'aide de W et de L', ; et parmi les systèmes qui sont contenus dans H'j, il en existe un s' tel, que le groupe correspondant /' soit dérivé de la combinaison de T\ avec un des groupes (A,, A',, A' ,...), (A'^, A',,...), (A' ,...),.... D'ailleurs .s et 8' contiennent le même nombre d'indices. Donc /' dérivera de la combinaison de Y\ avec (A", ,...). Mais / et /' devraient être pareils, ce qui n'est pas, bien gu'ils aient la même forme; car ils ont 2 pour exposant et sont rapportés respectivement aux indices a?©, jof« ^t aux indices a^i, ji,... qui correspondent à des substitutions dont les exposants d'échange sont g fois plus grands.

776. Chacun des groupes de seconde sorte déplace la moitié au moins des systèmes [davantage s'il n'y en a pas juste quatre). Cela est clair s'il n'y a que deux systèmes. S'il y en a davantage, le groupe (D étant primitif, le nombre des systèmes est une puissance d'un nombre premier, telle que/?" (*) (533); et si l'on caractérise les systèmes par n indicateurs a?, y,..., variables de o à /> -^ I , leurs déplacements par les substitutions de (D seront de la forme

. \ X, jTf. , . ax -^ by -\- . , . -^ oLy a' X -^ V y -h . . . -f- a', . . . |.

Le nombre des systèmes déplacés par chaque substitution de (D (l'unité exceptée) sera au minimum /?"— /^"*, nombre égal à - /?" si />" = 4» supérieur

dans tous les autres cas (718).

Soient d'autre part L' un groupe de seconde sorte; D=(A, A', A",...) et r' les groupes qui servent à le construire; s l'un des systèmes qu'il con-

( ^ ) Nous changeons ici le sens des lettres /?, /?.

(ÎOI LIVRE QUATRIÈME.

lient; (A",..., V) le groupe /correspondant. Les substitutions (A, A') permutent entre eux les qq' systèmes que contient L\ sans déplacer les autres. D'ailleurs elles appartiennent à J et par suite à ^, et enfin à (D. Donc les systèmes qu'elles déplacent, et que contient L\ forment au moins la moitié du nombre total (davantage, si p<4)-

777. Les propositions précédentes montrent que trois hypothèses seulement sont possibles relativement aux |proupes h\ L'',....

1*^ // existe deux groupes L', L" de ieconde sorte ^ contenant chacun précisément la moitié des systèmes; p'^^=^h' Ces groupes contiennent chacun deux systèmes : ils sont évidemment semblables entre eux, et nous tombons ainsi sur un cas exclu (713).

2® // existe un groupe de seconde sorte^ L', et un de première^ L". Les déplacements que L' fait subir aux /^— i systèmes qu'il permute entre eux forment un groupe primitif A; sans quoi l'une des substitutions de V

déplacerait tout au plus ^- systèmes, résultat absurde. On aura donc

/?"— 1 =7:'", 71 étant premier; et le premier faisceau de A, 9, contiendra n"* substitutions d'ordre n, échangeables entre elles. «

Or si l'on admet, ce qui est permis, que le système que les substitutions (le A n'altèrent pas est celui dont les indicateurs sont tous nuls, les substitutions de f prendront la forme linéaire sans termes constants

(7 ) \ X, y\. . . ax H- 6/ -4- . . . , û'-^ -+- b'y -h ...... .

Ces substitutions étant d'ordre premier à p, et échangeables entre elles, pourront être ramenées sifnultanément par un changement d'indices à la forme canonique monôme. Les nouveaux indices Xq, X,,... se partageant en systèmes contenant respectivement jxv, fji'v',... indices, respectivement répartis en v, v',... séries; et Tordre de 9 divisera (/>"— i) (y''^— 0...» /jLV-4- jx'v' -h... étant égal à n (186). Pour que cet ordre soit égal à/i^— i, il faut évidemment qu'il n'y ait qu'un système, et qu'une série. Mais alors les/^— I substitutions de ç seront les puissances d'une seule d'entre elles, de la forme

où i est une racine primitive de la congruence 1''"""*^ i {mod.p). Mais cela

* ne peut avoir lieu que si m = 1 , d'où p"— i =n. Dans ce cas, A contiendra

7r(7r— i) substitutions, toutes permutables à (p, et sera contenu dans le

groupe K formé par celles des substitutions de la Forme (7) qui sont permutables à 9. Mais en prenant pour indices indépendants Xq, X,,..., on voit immédiatement que K se réduit aux w (/^— 1) substitutions de la forme

Donc 7r(7r— i) = (y:i"— I )(/?"— 2) divisera n{p"—i), résultat absurde si />" >4. Mais si /^<4» d'où 71^3, on tombe sur un cas exclu (714).

3** // n existe qu'un groupe de seconde sorte, L'. Lé groupe A formé par les déplacements que V fait subir aux systèmes est un groupe transitif contenu dans le groupe primitif (D. x\ppliquant à ces deux groupes le théorème A, supposé vrai pour les degrés inférieurs a/>^, on voit que ces deux groupes sont pareils; / étant d'ailleurs pareil à r, L = L' le sera à 4^, contrairement à l'hypothèse.

Cas ou i^est indécomposable. ^

778. Théorème. — Les groupes 4^, L, J étant définis comme au théorème C, supposons que s^ soit indécomposable et contienne J ; son premier faisceau .f sera contenu dans F, premier faisceau de L.

La démonstration est fondée sur le lemme suivant :

Lemme I. — Soient C, E deux substitutions quelconques de J : C""' E~* CE sera échangeable aux substitutions de §. En effet, si 4^ est de première calégorie, par exemple, les substitutions G et E qui y sont contenues seront de la forme a^$P^, ^ et $ étant définies comme au n°618 et .^ étant une substitution qui ne déplace pas les séries. La substitution G~*E~*CE, se réduisant évidemment à la forme ^, sera échangeable à celles de §.

Si donc C est échangeable aux substitutions de ^F, E"* CE le sera.

Le groupe L étant supposé complexe, pour plus de généralité, soient L', L"",... les groupes primaires dont il est formé. Les indices de U se répartiront en général entre X' systèmes (couples de systèmes) S, S|,..., et L' sera formé au moyen de deux groupes D' et r'o, l'un permutant les systèmes, l'autre n'altérant que les indices d'un seul système (couple de systèmes) S.

779. Lemme IL — Toute substitution de S remplace les indices de S par des fonctions de ces seuls indices. En effet, ces indices se partagent en séries. Si

chacune d'elles contient plusieurs indices, Go, second faisceau 4^ F'o» ^'^^^ tiendra en adjoignant à son premier faisceau Fo certaines doubles suites A,,

B,,...;... dont les substitutions, étant abéliennes propres, appartiendront à J. Prenant C=: A,, K = B,, il vient C~* E"*CE = 9, substitution qui allère tous les indices de S sans altérer les autres. Les substitutions de § lui étant échangeables, remplaceront les indices de S par des fonctions de ces mêmes indices.

Si chaque série ne contient qu*un indice, on obtiendra le même résultat. Et d'abord r'^ sera de première ou de seconde catégorie.

1^ S'il est de première catégorie, soit V le nombre des séries de chaque système. Si v'> i, T^, et par suite J, contiendront les substitutions

^ — j . . . , Xn • • • , X f.y > ^'^ «^r» • • • , § ^ «^/-j

*A - — I • • • , Xry • • • , ■* ^, • • . • • • f •2'r+ I » • • • > */.»f.i > • • • 1 1

OÙ ^est une racine primitive de la congruence g^^'^*E^i (mod./>). Posant Çi = gt E = *, il vient C~' E~*CE = g^''~', substitution qui altère tous les indices de S sans altérer les autres.

Si v'= I, d'où />>3 (616), r^,, et par suite J, contiendra les substitutions abéliennes propres

Posant C = g^, E = a, il vient C"' E~* CE = g'^, substitution qui altère tous les indices de S [p^ étant >3) sans altérer les autres.

a*' Si r'o est de seconde catégorie, soit 2v' le nombre des séries : T^ contiendra les substitutions

«J — — I . • • , X f^ • • • t • • y i% X fy « • • I , M —— I • .- • , Xff « • . « • • , C/' <X>r^|, ... I ,

OÙ 5*081 une racine primitive de la congruence gP*-^^^i (mod./>) et e une

racine de la congruence e^'"***=^ — i. Ces substitutions, étant abéliennes propres, seront contenues dans J si /?>2. Posant alors C = g', E = $, il vient C"* E"* CE = g''"'*, substitution qui altère tous les indices de S sans altérer les autres.

Si p = 2, J ne contiendra pas ^i (678); mais il contiendra *^; et Ton

pourra poser C=g^, E = ^F, d'où C~' E~* CE = ^'''~* , substitution qui altère tous les indices de S (sans altérer les autres), pourvu que l'on ait v'> i.

Soit /? = 2, v' = I . Si X' > I , D' contient une substitution T qui remplace S par un aiUre système S|. Cette substitution appartient à J (675); posant C=T, E=g^, et désignant par y, y, les indices de S,, la substitution

fr' E~' CE muliipliera x et/, par g~^ =g'^, y et x^ par g^ et n'aliérera pas les autres indices. Les substitutions de ^, qui lui sont échangeables, remplaceront donc X et y, par des fonctions de ces seuls indices. Soit

/— I x,)\,. . . Ix '\- my\, V X -\- m\r\,. . . |

Tune d'elles. Sa transformée par g, appartenant a #, lui sera échangeable, d'où les relations

grm^g-'l'm, {g- i)m(/- m') = (^-' - i)i'(/- ni')~o (mod./)),

d'où l'on déduit, comme au n® 748, l'^^m^^o. On voit de même que/ multipliera a;,, y par de simples facteurs constants.

Resterait enfin le cas où/>= 2, v'= i, X'= i. Considérons dans ce cas les l^roupes L",... qui concourent avec V à la formation de L. Si l'un d'eux 1/ était de seconde catégorie et que les nombres v'\ )/' respectivement analogues à v', X' se réduisissent à i, il serait semblable à L', et l'on tomberait dans un cas exclu (713). Dans le cas contraire, l'analyse précédente montre qu'il existe une substitution qui altère les indices de l'un quelconque des systèmes (couples de systèmes) de L", sans altérer ceux de L', et à laquelle les substitutions de § soient échangeables. Les fonctions par lesquelles ces dernières substitutions remplacent les indices de \J ne peuvent donc contenir les indices de L".

780. Lemme m. — Soit x l'un quelconque des indices de S. Jl ne figure quun seul indice de chaque série de S dans les fi>nciions que les substitutions de S font succéder à X . Cela serait évident si chaque série ne contenait qu'un indice. Admettons donc qu'elle en contienne plusieurs; et soient A,, B,,...; A'|, B\, ...;... les doubles suites qui, combinées à Fo, reproduisent Gq.

i*^ Si To ®st de première catégorie, il contient une substitution abélienne propre T qui ne déplace pas les séries et ne soit pas échangeable <à A4 aux F près (733). Cette substitution appartiendra à J; et si l'on pose C = A|, E=rT, C'^E-'CE sera delà forme/Ar'BJ'...,/étant une substitution de Fo. Les substitutions de .? sont échangeables à cette substitution et à ses transformées par les substitutions abéliennes propres T, T,,... que contient T^^. Mais les transformées de/A''BJ'... par ces dernières substitutions, étant jointes à F©, reproduiront tout le faisceau (F©, A,, B, ,...). Donc ces transformées, combinées entre elles, reproduiront une substitution de la forme

/Aî'BÎ*..., quels que soient les exposants y,, c^i En particulier, elles

reproduiront des substitutions telles que/, A,,/2 A„ —

On verra de même que parmi les sabstituiioDS auxquelles celles de i doivent être échangeables, il en existe de chacune des formes// Â'^.. .;....

Cela posé, les substitutions/, A,, /sAj»...; /' A\, ...;... multipliant tous les indices par des facteurs constants, les substitutions de ^, qui leur sont échangeables, remplaceront chaque indice par une fonction de ceux-là seu* lement que chacune de ces substitutions multiplie par un même facteur. Deux indices quelconques [Ç, Ç2««-*3i---]r ^t \%^^^...'i{^...\r d*une même série sont multipliés par un facteur différent dans Tune aii moins des sub* stitutions ci-dessus; car si«|,, par exemple, diffère de ?,,/, A, ne les multipliera pas par le même facteur.

781 . 2** Si Y\ est de seconde catégorie, il contiendra encore une substitution T qui ne déplace pas les séries et ne soit pas échangeable à A, aux F près. Si T n'était pas abélienne propre, mais multipliait les exposants d'échange par un facteur^, r'^^ contiendrait la substitution

OÙ le facteur h est une racine de la congruence A''""^* ^^(mod.^), et la substitution abélienne propre A~~* T, qui transforme A, de la même manière que T. On pourra poser C = A, E = A~*T; et C"*E~*CE sera de la forme /A'Bî'.... Les transformées de cette substitution par les substitutions T, T|,... du groupe r'^, ou, ce qui revient au même, par les substitutions abéliennes propres A~*T, A^^T,,..., lesqijelles appartiennent à J, combinées entre elles, reproduiront des substitutions de chacune des formes /A*, / A3 Cela posé, on achèvera le raisonnement comme tout à l'heure.

782. 3** Si r^ est de troisième catégorie, sa construction dépend de groupes auxiliaires /, /',... de première ou de seconde catégorie, et respectivement correspondants aux doubles suites A,, B,,...; A',, B'j,. ..;.... Considérons en particulier le groupe /; et posons

-l."' ll\>^ ... m: I a:,, Vi, . . . ^1 4- «1, Vi -h P,, . . . I .

Les substitutions de / seront de la forme

I ^,, j\, ... «', T, -h c, r. -K . . . , ^', Xi -h rf', j, -f- ...... . I ..

Supposons, pour plus de généralité, que / soit décomposable; il s formé à l'aide de deux groupes : l'un, (J", permutant les^systèmes (couples

systèmes) d'un mouvement d'ensemble; Tautre» 70» n'altérant que les indices du premier système (couple de systèmes). Soient 9 le premier faisceau de 7o'» ^1» ^1»..-; û',, 6',,...;... les doubles suites qui, jointes a 9, formeront son second faisceau. Ces substitutions, ainsi que celles de â et de 9, seront les corrélatives de certaines substitutions de r'^,, telles que T, T,,..., qui multiplieront tes exposants d'échange par des résidus quadratiques de^ (671-677). On peut admettre que ces résidus quadratiques se réduisent à l'unité : car, si T, par exemple, nnuttiplie les exposants d'échange par P, soit k la substitution de T^ qui multiplie tous les indices par k: T'^ contiendra la substitution A:"'T, qui est abélienne propre et a la même corrélative que T.

783. Supposons maintenant en premier lieu que 7© soit de première catégorie. Remplaçons les indices a?,, ji, ar^, ja,... par d'autres indices indépendants, choisis de telle sorte que le groupe / prenne sa forme type; soient [Çi §2* •• >?!•••]?• [?i?2--->3i---rr ceux de ces indices qui forment respectivement le premier et le second système de 70, Q,ç,...^,...;.o, Cç,ç,...„....;., les substitutions correspondantes. Soient v le nombre des séries de chaque système, jui le nombre d'indices de chacune d'elles; les /xv indices imaginaires Q.ç,...ïi,...ro dépendent d'un nombre égal de fonctions réelles ûo\^..., x'^^. Les indices des premiers systèmes de chacun des autres couples dépendront de même de fonctions analogues a?^^j,...: et l'on peut admettre, sans nuire à la généralité, que 0;'^,..., a?J,^, ^'nv+it... se confondent respectivement avec ^M...» ^ptv» ^piv+if« (638). Cela posé, les substitutions cl,|,..., x^^^y correspondantes aux indices â?|,..., x^„, seront dérivées des substitutions Cç.ç,...r,....ro» et réciproquement.

Soit par exemple ei,, =CJ, 0 . w-Q.^,. .tj,. ro-»'» et soit h une racine primitive de la congruence A* ~* ^ i (mod./?). La substitution h d'ordre 2"— i

dont les puissances reproduisent 9, transforme Ji., en C^.o . oo*'Q!i,. ii» ^o---» laquelle diffère évidemment de x^. Donc XT^hr^x^h ne se réduit pas à l'unité. Cette substitution est d ailleurs évidemment dérivée de <A>|, a\>a,...^

'i.|xv; supposons-la donc égale à A>*'...x*r* Soit maintenant H la substitution abélienne propre contenue dans T'^ et qui a h pour corrélative; on aura, en posant C = A,, E=:H, C"* E"^* CE =/Aî'...A*r (/ étant une substitution de Fo), et les substitutions de ^ seront échangeables à cette substitution, et à ses transformées par les substitutions de J.

Les transformées de la substitution *i,J' . . . «.ly^ par les substitutions

(A, a,, 6,,..., a'j, 6'j,...), combinées entre elles, reproduiront toutes les substitutions {«,1,1,..., Xp^v)- Car celles qu'elles reproduisent forment évidemment un groupe permutable à A, â|, 64,..., a^, b\,.... Si ce groupe ne contenait qu'une partie des substitutions (x,»..., «^v)» 1^ groupe (A, a,, 6|,..., a'j, b\,...) serait non primaire. On pourrait donc déterminer des fonctions réelles des indices en nombre inférieur à fjiv, et que chacune de ses substitutions remplacerait par des fonctions linéaires les unes des autres; résultat absurde» car d'une fonciion quelconque jointe à ses transformées par A, a,, 6,,..., a, , 6'j,..., on déduit fxv fonctions distinctes, ainsi que nous l'avons vu.

Les substitutions (ei.,,..., ^^v)» ainsi dérivées de c^i, • . . . ei'^ et de ses transformées, étant à leur tour transformées par celles de â, fourniront toute la suite des substitutions «^.v,,..., <.^v» »Vv-»-i>****

Cela posé, il est clair qu'en transformant /A?*... A*r par les substitutions nbéliennes propres qui ont pour corrélatives A, «i, 6,,..., a\, b\,.,.^ combinant ces transformées entre elles, et transformant les résultats obtenus par les substitutions abéliennes propres qui ont pour corrélatives celles de d, on obtiendra aux Fo près toutes les substitutions de la suite A|,..., A{iv» A^v4.M.... D'ailleurs les transformantes appartiennent à r^, et par suite à J. Les substitutions obtenues et qui sont respectivement des formes/ A|,

/2 A2,... seront donc échangeables à celles de ^. Cela posé, on achèvera la démonstration comme aux deux premiers cas.

Remarque. — En considérant les seconds systèmes de chacun des couples entre lesquels se répartissent les indices de 4^, on démontrerait, d'une manière analogue à la précédente, qu'il existe des substitutions des formes

/j Bn/2 Ba,... échangeables aux substitutions de ^,

784. Si 7o est de seconde catégorie, la démonstration est la même, sauf la simplification résultant de ce que les indices de y© ne forment qu'un système, ce qui permettra de démontrer du même coup la proposition relative aux substitutions /, A,, /a Ajj,..., et celle relative aux substitutions/; B,,

785. Lemme IV. — Les fonctions des indices de S que les substitutions de ri font succéder à x ne contiennent aucun indice appartenant à une autre série que X. Trois cas sont à distinguer :

I** Vq est de première catégorie, Soient g la substitution d'ordre p"*— i dont les puissances reproduisent Fo, a et $ deux substitutions définies

comme au n*^ 618; r'^^ contiendra une substitution abélienne propre de Tune des deux formes ^^, ^$^, ^ ne déplaçant pas les séries (*). Suivant que l'un ou l'autre de ces cas se présentera, nous prendrons C = g, E = ^^t d'où C-*E-'CE = g-\ ou C = g, E = ^Ç^, d'où C-'E-*CE = ^-^''-*'*^ Les substitutions de rf seront échangeables suivant le cas à la substitution g~^ ou à la substiti>tion g-^P-^^^; elles remplaceront donc chaque indice par une fonction de ceux-là seulement que ces substitutions (qui sont canoniques monômes) multiplient par un même facteur constant.

Soit d'abord C"'E"*CE = g'~*. Supposons, ce qui est permis, que x soil de la première série; g~^ multipliera les indices x^, jp,... de la pn-i*^"»^ série du premier système par g~^''\ et les indices x^, y',. »••• d® ^^ ^-^ •'^'"'^ série du second système par g^'''.

Pour que les fonctions que les substitutions de ^ font succéder à x continssent l'un des indices a?p, /p,..., il faudrait qu'on eût

g-^ziTzg-^p^ [mo^.p), d*où 2(pp— 1)^0 (mod.p^—i),

ce qui est absurde, p étant < v.

Pour que ces fonctions continssent l'un des indices x\., y\., il faudrait qu'on eut

g~^:E^g^p'^ [moô.p), d'où 2{p' -h i)^o (mod.^*— i).

Posons donc

(8) 2{p'-h i)=zk{p'— i), d'où p'(kp^' — 7.) = k-{'2\

on aura a fortiori^ p" étant au moins égal à i eip""'' à 2,

aA* — 2 = /r -h 2, d'où A* ^4»

Posant successivement ^'= i, :i, 3, 4 dans la relation (8), et remarquant que /?">/! (616), et ne doit pas être égal à y, ce qui serait un cas exclu (704), on ne trouvera qu'une solution, A= i, r = o, /?"= 5.

Cette dernière hypothèse ferait elle-même tomber dans un cas exclu si chaque série ne contenait qu'un indice, ou si le nombre DC du n'^TOS était

(*) En effet, les groupes auxiliaires qui servent à la construction doT', contiennent chacun une substitution qui multiplie chaque indice par p ; ces substitutions sont les corrélatives d'une substitution de r,, de la forme 9^'^, laquelle, combinée à la substitution de forme c'R.î^^quc 1; contient nécessairement (636), donnera une substitution de la forme ^^ou de la forme S{9? .

pair. S*il est impair, T^ contiendra deux substitutions abéliennes propres A\ 6, telles que l'on ait a'-* 6"* a' 6 = g^, t étant impair (763-765) (*). Les substitutions de # étant échangeables à g'^, qui multiplie x par g"^ et or', v',... par un autre facteur g^"*^, feront succéder à x des. fonctions qui ne contiennent pas od ^y\ —

786. Soit maintenant C"* E-' CE = g^-^''"^*^ Cette substitution multiplier par^-(i>H-o^ a?p,7p,... par g^-^'^'J^, x^y,,... pur g^P^'^^.

Pour que les fonctions que les suMtiiutions de ^ font succéder à x contiennent a7p, 7p»...» il faut qu'on ait

^-(/»+.) = gr-(f-f-i)/»p (mod.p), d'où (p-M)(pp— i) = o rmod.p*— i),

relation où p est au moins égal à i et moindre que v. Si p <v — i, elle est impossible, car on aurait

Soit donc p = v — i; il vient

p^ -\' p*-^ — p— 1^0 (mod.p^— i), d'où p"-^ — p^o;

d'où enfin v = 2, p t= i, p restant arbitraire.

Pour que ces fonctions continssent les indices x^^ j'r'---» î' faudrait qu'on eût

(9) g-(''+') = gr(/»+i)f'' (mod.p), d'où (p'hi){p''hi) = o (mod.p^— i),

relation impossible si v>4. Car soit dans cette hypothèse r=v — i; le reste/?''"* -h/?-t-2 de la division de (/?H-i)(/?'^-h 1) par/?^— 1 sera </?"— i et >o. Soit au contraire r<v— i; on aura

(/? 'hl){p'--hl)=p'+' -^p'-^p-^ I </>^' -}-p^-»-4-...-hp-f-i<^ <P'— »

. Si V = 4 et r= 3, il vient la relation absurde

o^p^-i-p^-hp-hi^p^-hp-hT, ( mod. p*— I ).

(*) La substitulioD g n'est autre que la substitution y de l'endroit cité.

<il4 LIVRE QUATRIÈME.

geahle, d'où les relations

g'-^p' V m^ g-^'^p'W m, d'où ( gr2( •+/»') i)/'/w = o, ( g'^''' — I ) m ( / — m' ) = o, (g^-f "*-''^ — I )/'(/- m') = o.

Mais 2(1 -f-/?*), et a fortiori db(i +/?^) ne sont pas des multiples de/?* — i; donc g'**'*^'''^— I, g'^^^^P'^ — i ne se réduisent pas à zéro. On aura donc ici encore

/'m = /??(/-m') = /'(/-/n') = o, d'où /' = m = o (748), ce qui démontre noire proposition.

788. 2*^ T'q est de seconde catégorie. Soient 2v le nombre de séries, g la substitution d'ordre/?^ -h i dont les puissances reproduisent Fo-Le groupe r*^ résulte de la combinaison de substitutions de la forme ^avec une substitution de la forme a^^, 5 étant égal k i ou à 2 (590). On peut la supposer abélienne propre, car si elle multipliait les exposants d'échange par k, r'„ contiendrait la substitution ^^hr-\ qui est abélienne propre, et de la forme $^^(la substitution A étant définie comme au n*^781).

Supposons d*abord v>i, et posons C = g^, E = ^\\ la substitution

C~' E~* CE = gP ~* sera échangeable à toutes les substitutions de §. Or celte

substitution multiplie x par g^"^ etajp, jp,... par ^^'^ ■"*^''^ Pour que les fonctions que les substitutions de § font succéder à x continssent Tun des indices x^, y^, il faudrait qu'on eût

(10) gp^~^ = gip^-^)p\ d*où (p«— !)(/;?— i) = o (mod.p^H-i).

Dans cette relation p peut varier de 1 à 2v — i. Mais soit p = v-hr; on a p^ ^-^ — p'' [moA. p" -+- 1); de sorte que la relation (10) revient à l'une des deux suivantes :

(il) [p^^l){p'<^\) = 0 (mod.p^-hl), pi:^ I.;.., y— I,

(12; (p«— i)(pr^,)^o (mod./?*-M), rtz=o, I,.. ., V— I.

Étudions les moyens de satisfaire à ces deux relations, en supposant d = 2, ce qui est évidemment le cas le plus favorable. Commençons par la relation (1 1).

Si /5< V— I, on a (/?^— 1) [p^—- i)<.p^'^^-^ i </^''-+- 1- Donc la relation est impossible. Si p = v — i, elle donne

p^+i — p^* — p2 ^ I ^ __ ^v-i ^1 p ^ , ^ o (mod. p" -h 1).

Si V > 3, cette dernière relation est impossible, car —p^^—p^—p-^i est négatif, et nooindre en valeur absolue que p"'^ -h ... h- ^-i- i = f-——, et a fortiori moindre que p"-^ i. Si v = 3, elle devient

TLp^ -^ p— I ^o (moû. p^ H- 1),

et ne serait satisfaite que pour p= 2; mais ce cas est exclu (708). Enfin, si V = 2, elle devient

o^p^ -h 'ip ~ I ^ ?.(/? — i) (mod. p' -f- i),

ce qui est absurde.

Passons à la relation (12). Elle est impossible si r<v — 2; car on aurait

Soit /-= V — 2 : il viendra

o^(p»— ^){p"~^ -^ i) = — p'-»4-/i'-~ 2 (mod. />*-+- 1).

Si v>3, — p"*-^ -^ p^ — 7, sera négatif, et moindre en valeur absolue que p"^^ -4- 2 et a fortiori que/?" H- 1 . La relation est donc impossible. Si v = 3, on n'aurait de solution que \}our p= 2; mais ce cas est exclu (708). Si v=3, —/?""■' 4-/?'* — 2 se réduit k p^ — 'i, quantité positive, et inférieure à/?*-f- 1. Donc la relation est impossible. Soit enfin r = v — 1 : il viendra

o ^ (p« — I ) (^^' -f- 1 ) s — p^-' -+- p' — /? — I ( mod. /?*-♦- I .

Si v> 2, —/?"-• -!-/?'—/> — I est négatif, et moindre que />"-*- 1 : la relation est donc absurde. Si v = 2, il vient (/?— i)^^o(mod./?^-i- i), ce qui est absurde.

789. 11 reste à considérer le cas où v = i. Supposons que J contînt une substitution 9 qui remplaçât x par une fonction telle que /a?-hmyi, où figure un indice de la seconde série. Il est clair que 9 remplacerait réciproquement j» par une fonction de la forme /'a?-4-/n'y<. Cela posé, la transformée de o par g appartiendra à J, et par suite sera échangeable h 9; d'où les conditions

g'-Ptm^f^p-' l'm, ou {g'(P"^^i)l'ni^o (mod./>), {g'-P- i)m(/'*- m) = o, fgC/'-O- !)/'(/'- m) = 0,

6iG LIVRE QUATRIÈME.

d'où, si /><3, auquel cas 2{p — t) n'est pas divisible par /?H-i, rm~m{l-m')^l'{l'-m') = o, et enfin /'=/n=o (748).

Soit enfin ^ = 3, v = i . Si chaque série ne contient qu'un indice, ou si le nombre DC (709) est pair, on tombera dans un cas d'exclusion. Si dc est impair, il existera dans r'o deux substitutions 9\ G, telles que Ton ait (P'-» çf--< (p'(r = grT^ ^ étant impair (766). Les substitutions de ^ étant échangeables à g"^, qui multiplie x par ^'^ et les indices a?,, j«,... de la seconde série par un autre facteur g'^^^ feront succéder à x des fonctions qui ne contiennent pas a?,, ji,

790. il résulte des propositions précédentes qw'une substitution qi£tlconque ç prise dans i multiplie chaque indice de S par un facteur constant; car la fonction par laquelle elle le remplace ne contient que cet indice.

Si chaque série de S contient plusieurs indices^ 9 les multipliera par un même facteur. Car cela est nécessaire pour qu'elle soit échangeable à des substitutions de chacune des formes/,' Bi,/^ 82,...^

D'ailleurs 9 est réelle et abélienne propre. Elle multipliera donc les séries conjuguées ou conjointes par des facteurs conjugués ou réciproques. 11 est clair par là que 9 appartiendra à F.

791. Corollaire I. —Si l'un des groupes L', L",... est de seconde catégorie^ Jasera de seconde ou de troisième catégorie. En effet, si L', par exemple, est de seconde catégorie, soient x, x\... elj, j',... deux séries conjointes de L'. Chaque substitution de F' ou de F, ce qui revient au même, et a fortiori civique substitution de .t, les multipliera respectivement par des facteurs égaux ou conjugués. Donc ces deux séries feront partie d'un même système dans 4^, et ce groupe sera de seconde ou de troisième catégorie.

Corollaire II. — Si l'un des groupes L\ L",... est de troisième catégorie, X^sera de troisième catégorie. En effet, soit x, a?',... une série de L', qui soit sa propre conjointe. Chaque substitution de F, et a fortiori chaque substitution de S, multipliera x, x\... par ±: 1. Cette série sera donc sa propre conjointe dans ^.

792. Théorème. — Le théorème C est vrai si ^ est indécomposable et de première catégorie.

Soient v le nombre des séries de chaque système; /ji = Br^Br'^... le nombre des indices de chaque série; ^ le premier faisceau de j^\ g la substitutioi d'ordre/?"— i dont les puissances reproduisent éff el>,, ift>,,..., k\, ift>',,... h

sance de g qu'en admettant la relation absurde

p'— I ^o (mod.p*— i).

794. Proposition III. — j^etL ont le même premier faisceau. En effet, soient v' le nombre des séries de chacun des systèmes de L, juL' = ;r^7r'^... le nombre d'indices de chacun d'eux. Chaque substitution de F, et a fortiori chaque substitution de ^, multiplie ces indices par des facteurs dont la puissance/?"^— I se réduit à l'unité. Mais § est formé par les puissances d'une

substitution g qui multiplie chacun d'eux par un facteur tel que^'^, g étant

racine primitive de la congruence g^'^^ ^ i [moA.p). On aura donc

gr/»(p-i)^, (mod./?), d'où ;>^— i=o (mod. /;*—!).

Donc v' est un multiple de v, tel que kv. D'ailleurs le nombre des indices est

égal à 2|ULv et à i/Ji'v'. On en déduit /jl = ^ — = ^/x'.

Soient maintenant A4, B,,...; A\, B'|, ...;... les doubles suites qui, jointes à F, reproduisent G, second faisceau de L; et posons, comme d'habitude, 6 = Ar'Br*A,B4. ô' = A','-*B'i"* A', B',,.... Les puissances de 0 appartiendront à cf. En effet, fx' divisant jtx, tt, ;r',... le diviseront; donc chacun d'eux sera égal à quelqu'un des facteurs bt, îst',.... Soit par exemple 7r = Br. Les deux substitutions Q et S = .i,r*'^î>7*«^^i ^^i sont d'ordre n et appartiennent à F. Donc les puissances de B et celles de d sont identiques, et se confondent

avec les puissances de ^' "" , g' étant la substitution dont les puissances reproduisent F.

Cela posé, les jui'^ [p'' — i) substitutions de G seront abéliennes propres et échangeables entre elles aux ê près et appartiendront à J. En outre, elles ne déplacent pas les deux systèmes de'^. En effet, elles remplacent un indice quelconque x par une fonction des indices a?, y,... qui appartiennent au même système dans le groupe L; qui, par suite, sont multipliés par le même facteur que x, ou par un facteur conjugué, dans chacune des substilutions de F, et a fortiori y dans chacune des substitutions de ê\ qui, par suite, appartiennent au même système dans ^. On aura donc la relation

d'où l'on déduit, comme aux n^ 757-758, la preuve de notre proposition. Cela posé, le théorème se démontrera comme aux n*^ 758-759.

795. Théohkme. — Le théorème C est vrai^ si 4^ est indécomposable et de seconde catégorie.

Premier cas. — L est complexe ou décomposable .

Supposons que le théorème soit en défaut, et choisissons les indices indépendants [^,Ç2-««>?i--«]r d^ manière à ramener ^à sa forme type : soient M= 2ULV le nombre de ces indices, 2v le nombre de séries entre lesquelles ils se répartissent, jui = w^bt"^'... le nombre d'indices de chaque série; J le premier faisceau de ^, g la substitution d'ordre /?"-+- 1 des puissances de laquelle il est formé, «loi, iA>,,...; x\, ifi/^, ...;... les doubles suites qui, jointes à .f, forment son second faisceau Ç : les substitutions de 4^ seront de la forme <£^ss\.., $ étant la substitution

OÙ / est suivant le cas égal à i ou à une racine de la congruence

lP'-^^=: e^*-* [tnod.p), e'*'"* étant lui-même congru à — i, et 5, 8',... des substitutions qui ne déplacent pas les séries, et sont respectivement échangeables à toutes les doubles suites, sauf à la première, à la seconde, etc.

D'autre part, supposons L complexe et formé à l'aide de groupes primaires L\ L'',.... Si l'on choisissait ces indices de manière à ramener ces groupes à la-forme type, ceux de V par exemple se répartiraient entre X' systèmes (ou couples de systèmes) S©, S,,... contenant chacun 2v' séries» contenant chacune fx' indices; et V serait formé à l'aide de deux groupes, dont l'un D permute les systèmes, l'autre F'^ n'altérant que les indices du premier système Sq. Soient Fo, Go les premier et second faisceaux de F'^,.

Nous admettrons que parmi tous les systèmes entre lesquels se répartissent ainsi les indices de L, So est l'un de ceux qui en contiennent Ir

moindre nombre N. On aura évidemment N^ — •

796. Les substitutions de T'^^ se réduisent à la /orme S S'. . . .

Soit en effet k = <S^èè\.. une quelconque de ces substitutions : elle transforme g en gP^ Mais prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent L à sa forme type ; g étant contenu dans J, et par suite dans F (778) conservera sa forme canonique. Soient maintenant 00 un indice quelconque

appartenant aux systèmes S^,...; ^''^ le facteur par lequel la substitution g le multiplie : il est clair que k^* gk eig^^ le multiplient respectivement par gf"^ et par g''"*'\ facteurs qui ne peuvent être égaux que si p^o (mod.v).

797. Nous allons prouver maintenant que fx' ria aucun dwiseur impair. Si jui' avait un diviseur premier impair ;r, Tune au moins des doubles suites

qui servent à construire Go serait formée de substitutions d'ordre tt, ayant pour caractéristique une puissance de i — K'^. Soit h une quelconque de ces substitutions : elle laisse invariables, outre 1q3 M — N indices des systèmes autres que So, la tt'^'"* partie de ceux de So- Cola posé, nous allons voir que h ne peut appartenir à ^.

798. Proposition \. — La substitution h ne peut appartenir à Ç.

En efTet, h laisse invariables plus de la moitié des indices. Soit au contraire/uu'... une substitution quelconque de ff, /désignant une substitu-. tion de ^f, v une substitution de la forme x^ liV)!*...» v' une substitution de la forme ^J/^ ^Si>'/'...f etc. Si u, u',... se réduisaient à Tunité, /yu'... appartiendrait à ^, et par suite à F; elle ne pourrait donc se confondre avec h. Soit donc u^ i; et supposons que la première des puissances de/u qui appartient à ^ soit la zs^^'"^. Prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent/u à sa forme canonique; et considérons spécialement ceux de ces indices qui appartiennent à une même série, la première par exemple; ils se partagent en rs classes également nombreuses; et si /u multiplie les indices de Tune de ces classes par m, elle multipliera ceux des autres classes par mS,..., m5^''\ 3 étant une racine de la congruence S'^^i {moà.p). Cela posé, la substitution u'... remplace les indices de chaque classe par des fonctions de ces indices, fonctions qui ne varient pas d'une classe à Tautrc. On peut donc la ramener à la forme canonique par une transformation d'indices qui n'altère pas/i> ; et si u'. . . multiplie par n l'un des nouveaux indices, elle multipliera par le même facteur les indices analogues (les autres classes.

Soient donc x, y,... des indices quelconques que/y etu'... multiplient par m et par n; il existera des indices en nombre égal que ces substitutions multiplient par m&P et /i, quel que soit p. Si mn = i, on aura m^n = Sr^. Donc à chaque indice inaltéré par/uu'... correspondent t:^ — i indices respectivement multipliés par S,..., &''"*; et le nombre des indices de la première série qui restent inaltérés est au plus égal au rs'^'"^ du nombre total; de même dans chacune des autres séries. Il est donc impossible que plus de la moitié des indices restent inaltérés.

799. Proposition II. — On peut déterminer parmi les substitutions de Tune

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. Crl\

des /ormes fv y /v\ . . , un faisceau plus général que rf, permutable à h, et dont les substitutions soient échangeables entre elles.

La substitution h étant échangeable à celles de ^, et non contenue dans \i, ce dernier faisceau contient au moins une substitution T de Tune des Formes u, u',..., de la forme v par exemple, à laquelle h ne soit pas échangeable aux ^ près. Prenons pour indices indépendants ceux qui donnent à A sa forme canonique. Soient a?, x\... les indices, en nombre P, que h n'altère pas; j,... les autres, en nombre Q, qu'elle multiplie par des facteurs constants m,.... Soit enfin

/, OLX 4- ^x'-\' . . .H- yj-h. . . ,

Soient respectivement m,... les fonctions queT~* fait succéder à^,.... La substitution T"* hr' TA = To se réduit à

y = (/n — i)cw H-..., (f\... étant des fonctions des Q variables w, Ces

fonctions, en nombre P>Q, ne peuvent être toutes distinctes. Soit par

exemple r94-r'y'H-...=^o: To laissera invariable la fonction rx-\-r'x'-\-

Mais h laisse cette fonction invariable; donc T,, T2,...» transformées de To par h et ses puissances, jouiront de la même propriété.

Le faisceau dérivé de (rf, T©, T,, Ta,...)^ évidemment contenu dans le faisceau (^, :;), est plus général que S et permutable à A; de plus, ses substitutions sont échangeables entre elles. En effet, choisissons les indices indépendants de manière à ramener T» à sa forme canonique; et considérons spécialement ceux des nouveaux indices qui appartiennent à la première série. Ils se partagent en ts classes telles, que To multiplie les indices des diverses classes respectivement par les facteurs i,..., &^,...» S''"*.

Les substitutions T,,... sont toutes échangeables à To aux puissances près de 3. Soii donc Tr^ToT, = S*To. On aura T, = C«D, C étant la substitution qui remplace les indices de la classe p par ceux de la classe p -\- a, et D une substitution échangeable à To et qui par suite remplace les indices de chaque classe par des fonctions de ces mêmes indices. Mais T,, laissant invariables des indices que To n'altère pas, ne déplacera pas la classe correspondante; donc a= o, et T, sera échangeable à T©.

O'iS LIVRE QUATRIÈME.

800. Proposition III. — La substitution h ne peut appartenir à ^.

Soit $ un faisceau contenu dans (^, v) qui satisfasse aux conditions de la proposition précédente, et qui ne soit contenu dans aucun faisceau plus général jouissant des mêmes propriétés. Il résultera de la combinaison de ^

avec un certain nombre de substitutions c, = '^^i»r''^î'---» €2=ci.î'i&î' , 8^

telles, qu'aucune d'elles ne dérive de la combinaison des précédentes avec ^.

On peut déterminer une substitution Ji.,f-'vi^'... qui transforme e,, ej»... en &*^'Go &^'C2»--«» ^o ^2»««« étant des entiers arbitraires, car il suffit pour cela de résoudre les congruences

qui ne pourraient être incompatibles que si quelqu'une des substitutions e, , Cs»--' résultait de la combinaison des autres avec J*. Soit donc cDp une substitution qui transforme Gp en 3Gp, et soit échangeable à C,,---. Gp,, Cp+i,.... Le faisceau (^, u) résultera de la combinaison de G,, (D,,..., G„, (Q„ avec d'autres substitutions échangeables a celles-là. Si ces dernières substitutions ne se réduisent pas à celles de #, soient G;,+, l'une d'elles, qui soit (le la forme v; (Q„+i une substitution de même forme, échangeable à Gi, rô|,..., e„, (S>n et qui transforme G„+< en 3G„+<; etc. Le faisceau (?♦ v) résultera de la combinaison de ^ avec la double suite G,, (Df,..., G», cDm, On-^t* ^^/î-t-i >• • • •

801. Cela posé, h étant permutable au groupe (^, G|,..., G;,) transforme les substitutions Qn-^i* d^n-^i».* échangeables aux substitutions de ce groupe en substitutions jouissant de la même propriété. D'ailleurs ces transformées appartiennent à (^f, v); elles prendront donc la forme suivante

/,,/2,... étant des substitutions de ^. Donc h est permutable au groupe (.f, G,,..., G,,, G,i+,, Od„+i,...); d'ailleurs les transformées des substitutions de ce groupe par A, combinées ensemble, doivent reproduire tout le groupe; il faut évidemment pour cela que le déterminant des quantités ««^.^ |3„+,,...; V«+i» 5«+i »...;... ne soit pas congru à o{mod.ty).

La transformée de (D| par h sera, aux ^ près, de la forme

En efTei, (£)| est assujettie à la seule condition d'être échangeable à c^...., Qn et de transformer g, en &a,. La substitution ^, =(D, G^^, (î>ï^, . . . satisferait aux mêmes conditions, quels que fussent â:, y D'ailleurs la transformée de C, par h se réduira a la forme /3î'''i^î'...G^"cî)^ si Ton a

(a«4.,~5,)a:4-yn-».iJ-4-...-l-r,^.,^o, p«4.,j:H-(d«+,— 5,)/-f-...-i- 5«h.,=^o,... (mod.cj),

système de congruences dont le déterminant n'est pas congru à o si 5,=o, ainsi que nous Tavons vu. Il ne Test pas davantage si ^4 ^o. Car s'il Tétait, on pourrait déterminer les rapports de ^, j,... de manière à satisfaire aux relations

Cela posé, la transformée de G^^, (d;;^, . . . serait dérivée de ^, G,,..., £,„ Gi^^j (ôj^., . . . . Le faisceau dérivé de ces substitutions serait donc permutable à A; d'ailleurs ses substitutions sont échangeables entre elles; il serait enfin plus général que (^, Gi,..., G„), ce qu'on suppose impossible.

On voit de même qu'on peut choisir oD^,..., c£)„ de telle sorte que G,,^.,, cib)„+i,... ne figurent pas dans l'expression de leurs transformées. Cela fait, h sera permutable au faisceau (cf, G,, (v),,..., Q„f (0„) : elle le sera de même au faisceau (;f, G»^.,, (î)„+,,...) formé par celles des substitutions de (.^', v] qui sont échangeables aux précédentes.

802. Les résultats qui précèdent permettent d'assigner à la substitution /i la forme générale qu'elle doit avoir. Trois cas seront ici à distinguer.

803. Premier cas. — zs premier impair. Les substitutions C, , cô, , . . . , c„, cO,, auront pour caractéristique une puissance de i— K''(568), et pourront, par un choix convenable d'indices indépendants, se mettre sous la forme

3,== I [$,E,...e]t ^^'[Ç, Çt...c]o U (0, = 1 [?, Hj.-.c]. [?i-f- 1, £»»..., £\|,....

Soient /, G?' gJ'..., /aGj'Gj*...,... les transformées de G,, Ga»... par //. Pour qu'elles aient aussi pour caractéristique une puissance de 1 --K", il faudra que/i,/,,... se réduisent à des puissances de d, telles que &'s Posons maintenant

£', ^ rt, 5, H- é, $, -4- . . . -f- 5,, ^3 :^ «2 E. H- éi Ç2 -H . . . -T- 5,, ....

A# =: I [El $2. .. £]« [?, H'j. . . e]o |, // — /i7/„;

La nouvelle substitution X* sera échangeable h G,, C^,....

im LIVTIE QUATRIÈME.

La suiistitution (D|, qui transforme ces substitutions en d€«, 82». •• sera transformée par i en une substitution qui jouira des mêmes propriétés, et qui par suite se réduira k la forme 3'«(©| CJ*GÎ'.... Posant

[5«Ha...e]. 5 [?i^î...€],

X'i sera échangeable à e,, C2,..., (£)«. Elle transformera donc Œ>2 ^n une substitution de la forme ^''CDa^i'---; et on pourra la décomposer de même en deux autres substitutions, dont l'une soit de forme analogue à celle de A«, l'autre étant échangeable à Ci, €3,..., Q,, (D2. Poursuivant ainsi, on aura h = knl, l=hn..,h^hQ étant une substitution de la forme

où 9 est une fonction du second degré en §,, |2*-*m 6t kn une substitution échangeable h G,, G2*-*-9 ^i« CD29***» ainsi qu'aux substitutions de #, et qui par suite se réduira à la forme :

OÙ les coefficients éP sont indépendants de |<, Ç2f--

La substitution /ne peut se réduire à l'unité. Car si cela avait lieu, h serait échangeable à G|, (Di,..., G;,, (£)„. Mais elle n'est pas échangeable aux .f près à toutes les substitutions u (799). Donc parmi les substitutions dérivées de G„4.|, (£)„+,,... il en est une T à laquelle h n'est pas échangeable aux i près. La substitution T~*A~' TA==To et ses transformées T,,... parles puissances de h formeront avec J un faisceau de substitutions échangeables entre elles, permutable à h. D'ailleurs To, T,,... étant dérivées de J, g^^i-m (Ç),,^,,... sont échangeables à G,,..., G^,. Le faisceau (cT, G|,..., G„, To,T,,...) aurait donc ses substitutions échangeables entre elles, et serait permutable a h, quoique plus général que (.f, G^,..., G„), ce que nous supposons impossible.

Quant à la substitution k^, elle est échangeable à /, et pourra être ramenée à la forme canonique par une transformation d'indices qui n'altère pas cette dernière. Cette forme canonique sera monôme; sans quoi k^^ et par suite h auraient leur ordre divisible par/>, ce qui est contraire à la nature

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 62fi

de h. Supposons celle transformation effectuée : on aura

kn = I [Ç, Çj. . . e]o We[Ç, ^2. . . e], |, les facteurs /Wg étant indépendants de 2,, Ça»---- 804. Les indices pourront être de deux sortes; ceux pour lesquels

('3) S'i^Çi» r, = ?j,... (mod.cj),

et ceux pour lesquels ces relations oe sont pas satisfaites. Supposons d*abord que ces relations ne soient ni identiques ni incompatibles, mais se réduisent à q relations disti^ictes; elles détermineront q indicateurs en fonction des autres, qui resteront arbitraires. Le nombre des indices de la première sorle sera donc le r?^'^'"*^ du nombre total M.

Soit maintenant [|,|3...£];. un indice de seconde sorte que h remplace

parmf''3^'^[^, |'2...£]^; elle remplacera [?i S'a.-.E];. par mf''9^'^[Ç', f2...£;^, ?» ?i9 Ta»"- étant des fonctions construites avec ^, , Ij,... comme 9, S',, ^2,... Tétaient avec I,, I2»---; ^ remplace de même [^^^^...î]r par un nouvel indice [^ ^...e]^ multiplié par un facteur constant. Continuant ainsi, on retombera à la fin sur un indice [B[^^è^^K., î]^ qui se confonde avec [ÇiSs-'-ê,/; à partir de celui-là, ils se reproduiront périodiquement.

La substitution h^ fait succéder à l'indice [Ç<£2...£]r l'indice [SI'^^S!f...i r -multiplié par un facteur constant; mais elle se réduit a l'unité : donc ;: est un multiple de p; et comme il est premier, n=^ p.

Si donc on groupe dans une même classe ceux des indices de la seconde sorte que h permute circulairement à un facteur constant près, ils s'assembleront n à n; et h sera le produit d'une substitution qui multiplie par des facteurs constants les indices de la première sorte par d'autres substitutions partielles altérant chacune les indices d'une seule classe. Pour canoniser /i, il suffira de canoniser séparément ces dernières substitutions.

Soit S = I a?T ^t^T+i I une de ces dernières substitutions, en désignant pour abréger par ^o»---> ^i:-« 'es indices qu'elle permute. Si on la canonise par un changement d'indices convenal)lc, parmi les n nouveaux indices il ne peut en exister plus d'un qu'elle laisse invariable; car pour que S laisse invariable une fonction Coa?o-t- ... -f-c^aj^-f-..., il faut qu'on ait en général a^c^ = c^^^. Les rapports des quantités c©,..., c^,... sont donc déterminés; et par suite la fonction le sera à un facteur constant près.

En admettant donc le cas le plus favorable, où h n'altérerait aucun indice

de la première sorte, le nombre des indices que h, ramené a la forme canonique laissera inaltérés, ne peut dépasser —H — f i —\ exprès-

sion dont le maximum ^M, correspond à r7 = 3, 71=2, ^=1. Mais d'autre part ce nombre est égal à M — Nh — ; et comme N est au plus égal à ~»

il sera au moins égal à M — — ( i — 'y nombre évidemment supérieur au

précédent. Celte contradiction prouve Tabsurdité de rbypotbësc.

Si.les relations (r3) sont incompatibles, il n'y aura pas d'indices de première sorte, et la contradiction subsistera a fortiori.