Si ces relations sont identiques, h se réduira à

Groupons dans une même classe les indices correspondants à un même système de valeurs de s et de r, et considérons ceux d'une classe déterminée : h les altérera tous si l'on n'a pas m^y^^x (mod./i). Pour qu'il y en ait d'inaltérés, il faut donc que m^ se réduise à une puissance de ^, telle ^ue , et qu'on ait en outre

(i4) cp-4-rf^o (mod.in).

Or la fonction quadratique (p peut, comme on sait, se mettre sous la forme aXJ -f-iXj H-...-h Y, X,, Xj,... étant des fonctions linéaires de |,, £2,... distinctes les unes des autres, et Y une constante ou une fonction linéaire de £,, £2»---» distincte des précédentes.

Supposons d'abord que Y ne soit pas une constante. Si le nombre des fonctions X,, X2,..., Y est inférieur à celui n des indicateurs S,, S2f--» soient Z,... de nouvelles fonctions qui, jointes à celles-là, forment un système de n fonctions distinctes. A chaque système de valeurs de ces fonctions correspond un système de valeurs des indicateurs, et réciproquement. Or la «t'""' partie seulement des systèmes de valeurs que l'on peut donner à X,, Xa,..., Y, Z,...» satisfont a la relation (i/|). Car cette relation détermine Y lorsque X,, Xj,..., Z,... sont donnés. Donc h ne pourrait laisser invariable que la çr'^'"*" partie du nombre total des indices : résultat absurde, car elle doit en laisser plus de la moitié invariables.

Si Y est une constante, à chaque système de valeurs de X,,..., Z,... ré-

pondent au plus deux valeurs de X, satisfaisant à la relation (i4)- Donc h laisserait invariables tout au plus -M indices. On aurait donc

(.5; îl',:M-*if.-i),

relation absurde si rr> > '3.

806. D'autre part, si C7 = 3, on aura aussi 7r = 3. En effet, h multiplie les indices qu'elle altère par les diverses puissances de 6, racine primitive de la congruence ô^— i (mod./i). Mais, d'autre part, elle les multiplie par des puissances de 3. Donc Q est une puissance de 3 et a pour cube l'unité.

Soit doncTsr = 7r = 3 : les deux membres de la relation (i5) seront é^aux. Donc h devra laisser invariables les deux tiers des indices. Pour que cela ait lieu, il faut que la relation (i4) donne effectivement deux solutions pour X,, quelles que soient les valeurs qu'on assigne à X,,.... Mais cela n'a lieu que si b\\ -1-...4- Y -h r/ se réduit à a. Il faudrait donc que h se réduisît à la forme

Mais alors h multiplierait tous ceux des indices de la r-h i'''"' série qu'elle

altère par un même facteur &■*''''. Donc pour qu'elle multipliât deux indices par des facteurs différents, il faudrait que ces indices appartinssent à des séries différentes de 4^, autrement dit, fussent multipliés par des facteurs différents dans l'une au moins des substitutions de rf , et a fortiori dans l'une au moins des substitutions de F, premier faisceau de L, lequel contient i\ ou enfin, ce qui revient au même, dans l'une au moins des substitutions de Fq. Il faudrait donc qu'ils appartinssent à des séries différentes; résultat absurde : car la première série de L contient des indices que h multiplie par 6 et d'autres qu'elle multiplie par 6^. L'hypolbèse î:r>2 est donc inadmissible.

807. Second cas. — C7 = 2, /?''— i ==0 (mod.4). Soity une racine primitive de la congruence y ^E^i {moA.p) : § contiendra une substitution y

qui multiplie les indices de la r h- i'^'"* série par y'. Les substitutions €,, (D,,... ont chacune pour caractéristique une puissance de K^— i ou une puissance de K^-h i. On peut rejeter cette seconde hypothèse : car si c, y

r»28 LIVRE QUATRIÈME.

satisfaisait, on n'aurait qu*a la remplacer dans la double suite par la substitution y 8|, qui rentre dans la première hypothèse.

On aura, comme tout à l'heure, h = khQ\ k étant échangeable à 3,, Cj,... transformera cD, en une substitution de la formey^^'S^'C^, SÎ'3Î' Posons

X*, sera échangeable à C,,..., 3„, cO,; continuant, on aura enfin

s étant une constante ou une fonction linéaire de ^1, I2,..., et 9 une fonction quadratique ne contenant pas les carrés des variables.

Si les relations (i3) ne sont pas *iden tiques, on trouvera, comme au n"^ 804, que la limite A du nombre des indices inaltérés par h est égale à

— -{ ( I -\ • Ce nombre ne peut surpasser M — N h Mais ici , où

w = 2, il peut lui devenir égal, en supposant N = — » çr = 1 . Mais pour que

les relations (i3) reviennent à une seule a£, -f- j3S2-f- ...=^o(mod./ti), il faut qu'on ait identiquement

d'où

D'ailleurs on ne peut avoir aS'j -f-/3Ç2-h...^o pour toutes les valeurs de Ç', , ^2»---5 ^"» ^^ n"^ revient au même, pour toutes les valeurs de c,, ?2»- •• On aura donc

(i 4- rta -h 6^-4- .. .)^ I, d'où aE', H- (3f, -h . . . ^ açi -4- ^2, -h . . • , d'où

d'où 7r = 2, A= tM. Ce résultat est inadmissible, n étant impair, par hypothèse.

Si les relations (iS) étaient incompatibles, h ne pourrait laisser invariable plus de la moitié des indices; résultat absurde.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 6i9

808. Supposons enfin que ces relations soient identiques. Soit

et supposons qu'un des coeilicients a, 6,..., a par exemple^ dillëre de o (mod. 2). Comparons deux indices qui ne diflerent que par la valeur de |,; les facteurs par lesquels h les multiplie différeront par un facteur ±:y. Donc Tun au moins de ces deux indices sera altéré. Donc h allérera au moins la moitié des indices; résultat absurde.

Admettons donc que s se réduise à la constante S. Groupons dans une même classe les indices correspondants à un même système de valeurs de £, r, et considérons ceux d'une classe déterminée : h les altérera tous si /Wcy'^ ne se réduit pas à une puissance de &, telle que &*'.

La fonction 9 ne peut se réduire à l'unité, h n'étant pas échangeable à toutes les substitutions de la forme u. Si elle se réduit à une fonction du premier degré, Y, h allérera la moitié au moins des indices, résultat absurde. Au contraire, si ç contient un terme du second degré a^^in, on peut poser

9' étant indépendant de |,. Cela posé, pour chaque .système de valeurs de I,,... on pourra déterminer I2» ?i de telle sorte que l'on ait

«Ç, -h...^i, Ç, -h 9' -4- rf^ I (mod. 2).

Donc sur les quatre indices qui ne diffèrent que par les valeurs de Ë^, S,» h en altère au moins un, qu'elle multiplie par une puissance de 5. Donc

D'aulre part, la substitution h multiplie les indices qu'elle altère par & = — I. Mais elle doit les multiplier par une puissance de 6. Soit donc S = 6*; on aura a'^ = 5*"=i. Donc n est pair, et comme il est premier, il se réduirait à 2, contrairement à l'hypothèse.

809. Troisième cas. — sr = 2, />''— i ^2 (mod. 4j- Chacune des substitutions 8|, cô,,..., G;,, (D„ aura pour caractéristique une puissance de K-— i ou de K^ + i. On peut admettre que la suite 3,,..., C;, ne contient pas plus d'une substitution 9, qui ait pour caractéristique une puissance de K''^+ i. Car s'il y en avait deux, C|, C,, on pourrait, dans la formation de la suite

{y:iO LIVRE QUATRIEME.

c,,..., Cn remplacer O2 p^r a, a^t qui a pour caractérisiique une puissanie <le K- — I. En outre, si Cp a pour caracléristiquc une puissance de K*'— i, on peut admettre qu'il en est de même de (Dp, qu*on pourrait au besoin remplacer dans la double suite par CpCOp. Nous n'aurons donc que trois cas a distinguer.

i^ C,, cO,,..., 3,M (0;, ont toutes pour caractéristique une puissance de K^— I. On raisonnera comme au second cas, sauf que dans l'expression de //, on aura c, = o. De même pour ses analogues Ag, Par suite, dans l'expression de A, on aura 5 = 0.

-À^ G, et (D, ont pour caractéristique une puissance de K^4- 1. On pourra cboisir les indices indépendants de telle sorle que G, et cO, prennent les formes suivantes

(ô, — I [Ç. 2a.. .c]. \oL-^Ç^j^^x)[l,h. . .e]o |,

«, ^j satisfaisant à la congruence a^-+- j3^^— 1 (mod./^), cl Gj» (JO2,... conservant la même forme que dans le premier cas. Cela fait, on aura

et le reste comme au premier cas; d'où

Si les relations (i3) ne sont pas identiques, on trouvera comme précé-

demment A=yMet7r = 2 (807), résultat inadmissible. Dans le cas contraire, on aura c, ^-^o(mo(l. 2); car s'il était congru a i, groupons ensemble les deux indices qui ne différent que par la- valeur de ^,. Désignons par 9, ce que devient y en y changeant S, en |, -f- 1. Le rapport des facteurs par lesquels h multiplie ces deux indices sera égal à

expression qui diffère de l'unité. Donc h altérerait au moins l'un de ces deux

indices : elle altérerait donc au moins la moitié des indices, résultat ab-

surde. Soit donc c,^^o; on prouvera comme précédemment que A= 7M,

3° S,, (jD, ont respectwemcnt pour caractéristiques des puissances rfc K^ -h i

et de K^— i. Les substitutions S,(D,, (0,, Cj, cf).> ayant pour caraclé-

ristiquos des puissances de K*— i, pourront se mettre sous les formes

I [ixli- . . e]o s'» [?•?»• • • 0» I» I [?•?«• • •£]• [Hi -+-'»$»»•••> ê]« u

Posons

La substitution 9,, rapportée aux nouveaux indices ainsi définis, prendra la forme

la forme des substitutions cD|, €21 (D2,'.. n*étant pas changée. Cela posé, /r^, A,,..., et enfin A auront les mêmes formes que tout à l'heure, et la démonstraiion s'achèvera sans ditïiculté.

810. La démonstration du théorème est maintenant facile. On aura v' = nk'v ou {2k -h i) V [k étant un entier), suivant que r'y est de première ou de seconde catégorie. En effet, chacune des substitutions de Fo ou, ce qui revient au même, chaque substitution de F, et a/or/ion chaque substitution de .f y multiplie chaque indice par un facteur dont la puissance /^'''zt i est égale à l'unité. (On prendra le signe — ou le signe 4-, suivant que F',, est de première ou de seconde catégorie.)

La substitution g dont les puissances reproduisent J les multiplie par

des fadeurs tels que g'*^ où g est une racine primitive de la congruence

gP*-^^ =^i i^moA.p). Donc p^ ±l \ est un multiple de //-f-i. Mais soit v' = /wv-f-£, £ étant <v; il viendra

relation qui ne peut évidemment subsister qu'en posant £ = 0, m=2X:'si l'on prend le signe —, € = 0, /w = 2k' -\- 1 si Ton prend le signe h-.

Soit d'abord /?> 2; et admettons que Y\ soit de première catégorie. Soient A4, B,, ...;... les doubles suites qui jointes à Fo forment Go. Supposons les indices choisis de manière à ramener F',^ à sa forme type. Le nombre fx' étant une puissance de 2 (797), la substitution ^f, qui remplace chaque indice par son correspondant de la série suivante, transformera les substitutions A,, B, ,...;... en 6*A,, 6^8,,..., 0 étant la substitution qui mul-

g:î-2 livre quatrième.

liplie chaque indice par — i, et a, jS,... étant égaux à o ou à i, suivant que A,, B,,...;... ont pour caracléristiques des puissances de K-— i ou de K^-f-i. La substitution 9 a donc l'unité pour chacune de ses corrélatives: elle est (failleurs abélienne propre. Elle appartient donc à r'o, et à J.

Cela posé, la substitution ^est le produit de deux substitutions partielles dont Tune ^o altère les indices de Sq, et l'autre h les autres indices" La substitution ï* appartenant à J, et par suite a ^, la transformera en une de ses puissances; mais elle la transforme en ^^A, qui ne peut être une puissance de gi,h que si ^^ = ^n» ce qui est absurde, l'ordre de go* p^-^ ï» étant supérieur à/î.

Le raisonnement serait le même si T'q était dé seconde catégorie : désignant les indices par [2< £2...>3|...]^, on prendra

/étani choisi de telle sorleque * soit abélienne propre.

811. Soit maintenant/? = 2. Si T'q est de première catégorie, la substitution ^r appartiendra encore à J (672-674), et le raisonnement précédent sera applicable. Si T'q est de seconde catégorie, J contiendra $^, qui transforme ^" = ^0 A en gS*h, substitution qui doit être une puissance de g. Donc gff z=z g^, d'où p^— I ^o(mod. />''-+- 1), d'où v = i, v'= 2^-f-i. En outre, t/ est une puissance de 2, et d'autre part ses facteurs premiers divisent le nombre impair />"-+- i. Donc fx' se réduit à f.

De plus, les indices de L ne peuvent former plus de deux systèmes (couples de systèmes). Car si cela avait lieu, l'un au moins de ces systèmes S,, autre que So« contiendrait moins de la moitié des indices. Soit (!^, la substitution analogue à (T et relative aux indices de S,. Si aucune des deux substitutions a\ ^P, n'appartient à J, leur produit lui appartiendra Or g est le produit de trois substitutions g'o' ^1» A altérant respectivement les indices de So, de S, et des autres systèmes : (C'ï', la transformera en g'ig'lk, qui devrait se réduire à une puissance de g, résultat absurde.

Cela posé, So ne peut contenir la moitié des indices. Car on aurait M=2]UL = 4v', et [J. serait pair, ce qui [est absurde, car il ne peut avoir pour facteurs premiers que des diviseurs de /?"-!- i = 3. En outre, on aura v'= I. En effet, v' est impair; s'il avait un facteur premier q, J, et par

suite ^ contiendrait la substitution h = 9*' qui, ramenée à sa forme canonique, laisse invariables tous les indices des systèmes autres que So, c'est-

à-dire plus de la moitié* plus la q'^'"^ partie de ceux de So; résultat absurde (800).

812. Soit donc v'== i. Les substitutions du premier faisceau de r'^ appartiennent à J et n'altèrent que les indices de V^; or, d'après ce qu'on a vu plus haut, ^, et par suite J, ne contient aucune substitution qui, ramenée à la forme canonique, déplace moins du tiers des indices. Donc les deux indices que contient F'q forment au moins le tiers du nombre total. Donc 4^ contient six indices; donc jul= 3. Les quatre indices restants devraient former un seul système (couple de systèmes) S,; résultat absurde. En effet, soit r*, le groupe analogue à r'^ et relatif à S,. Il n'existe aucun groupe de première catégorie et de degré 2* : donc T\ sera de seconde catégorie. Soit 2v" le nombre de séries formées par les indices de S|, |x" le nombre d'indices de chacune d'elles. On aurait 2jul"v" = 4» résultat absurde, y" étant un nombre impair 2^'+i, ainsi que fx'', dont les facteurs premiers divisent le nombre impair 2^'-f- 1.

813. Second cas. — L est primaire et indécomposable, i® Supposons-le de première catégorie et soient v' = 2Â:v le nombre de séries de chaque système, |x'= -^ = ^ le nombre d'indices de chaque série. On obtiendra, comme aux n^' 757 et 794, la relation

Mais juL= 2X:|i.' étant divisifble par 2, /i^-t-i le sera. Donc/? est impair. Sous le bénéfice de cette observation, la relation (17) ne pourra subsister que si A= i,/?'' = 3 ou 5, d'où/?'^ = 3* ou 5*. Mais ces deux cas sont exclus (704).

2® Si L est de seconde catégorie, on aura v'= (2A:-hi)v, u! = -^ — et

(18) |ut'»(p^'-+-i)^]tA»(/?*-hi), ou p(^'>'¥-i = {ik-+'i)(p''-hi).

D'ailleurs 2A-H1 divisant jui, ses facteurs premiers diviseront /?"-}- f. Sous le bénéfice de cette observation, la relation (18) ne pourra subsister que si k= jf p^= 2, d'où/>'^= 2*, cas exclu (708), ou si k=o, d'où v' = v. Dans ce dernier cas, les groupes ^ et L auront même premier faisceau; et l'on verra, comme aux n^' 758-759, qu'ils ont même second faisceau, et enfin qu'ils sont pareils.

814. Théorème. — Le théorème C est vrai si J^esi indécomposable et de troisième catégorie.

Premier cas. — L complexe ou décomposable.

Soient So, S|,..., S^ les systèmes (couples de systèmes) entre lesquels se répartissent les indices de L. Ces systèmes se réduiront à deux^ contenant chacun la moitié des indices.

Supposons en effet qu'il en fût autrement. Chacun de ces systèmes, à l'exception d'un seul, So, contiendra moins de la moitié des indices. Soient respectivement 2v^ le nombre des séries entre lesquelles se répartissent les indices de Sp, /Xp le nombre d'indices de chacune d'elles.

Chacun des systèmes (couples de systèmes) Sp contiendra au moins le quart des indices. Car J, et par suite 4^, contient des substitutions qui n'altèrent que les indices de Sp et qui, élevées à une puissance convenable, donneront une substitution d'ordre premier : d'autre part, on voit, comme aux n°' 797-809, que toute substitution d'ordre premier, contenue dans 4^, étant ramenée à sa forme canonique, altère au moins le quart des indices. En outre, pour qu'elle en altère moins de la moitié, il faut qu'elle soit d'ordre 2 (le nombre rs de l'endroit cité se réduisant ici à 2).

On conclut de là jjLp = i pour toute valeur de p supérieure à o. En effet, si juip avait un diviseur impair, soit Fp le groupe résoluble primaire et indécomposable, contenu dans le groupe abélien de degré p^^^"*?. qui sert à la construction de L, et correspond au système (couple de systèmes) Sp. Si /Xp avait un diviseur impair tt, Fp contiendrait dans son second faisceau une substitution d'ordre 7:, laquelle appartiendrait à J, et a fortiori à 4^, quoique altérant moins de la moitié des indices, ce qui est absurde. D'autre part, si fjL était une puissance de 2, la construction de Fp dépendrait de celles de groupes auxiliaires Lp, L^,... ayant pour degrés des puissances de 2. Le premier faisceau de Lp sera formé par les puissances d'une sqi)stitution J d'ordre impair a. Cela posé, Fp contient une substitution d ayant pour première corrélative ô et pour ses autres corrélatives l'unité.

Soient r le facteur par lequel d multiplie les exposants d échange, et r^ la substitution qui multiplie tous les indices de Sp par r. La substitution r^W est abélienne propre, et appartient à Fp-, elle appartiendra donc à J, et par suite à 4^. D'ailleurs son ordre est divisible par le nombre impair a, car pour que sa puissance /3 se réduise à l'unité, il h\M a fortiori que sa corrélative (?^P se réduise à l'unité, d'où j3^o(mod.a). Donc, en l'élevant à une puissance convenable, on aurait une substitution d'ordre premier m-

pair contenue dans ^et n'altérant que les indices de Sp, qui forment moins de la moitié du nombre total, résultat absurde.

Le nombre fXp se réduisant à i, le groupe Tp sera de première ou de seconde catégorie. Son premier faisceau Fp aura donc pour ordre (ùç,=p^9± i. D'autre part, le second faisceau de Fq contient un groupe $ de substitutions abéliennes propres échangeables entre elles, dont Tordre Wo est égal à ip'**— i)fXo» à (/^''•-f- i)fJto ou à 2juio» suivant que F© est de première, seconde ou troisième catégorie. Le groupe ($,..., Fp,...), ||^rdre Wq... &)p..., est contenu dans J, et a fortiori dans ^. De plus, ses substitutions sont abéliennes propres et échangeables entre elles. Mais on voit, comme au n^ 752, que Tordre d*un groupe contenu dans 4^ et jouissant de cette propriété ne peut dépasser 2/x^. On aura donc

(19) 2|UL*^ W». . . Wp. . . = «0 (/?"' itl l). . . ip^^àz l).

Si Fo est de première catégorie, on doit avoir />''•> 4. Sous le bénéfice de

cette observation, on aura toujours ci>o> 2j^oVo> t* Substituant cette limite

dans la relation (19)* remplaçant en outre fx par sa limite 8V| et supprimant les facteurs />^« ±: i,... au second membre de cette relation, il viendra

(20) 64vi^/?''=t I,

ce qui ne peut avoir lieu que pour de petites valeurs de p et de V|. D'ailleurs V, et />^» ±: I doivent être des puissances de 2. En effet, parmi les substitutions de F, qui sont abéliennes propres, et par suite appartiennent à J, se trouvent une substitution d'ordre ^''' ih 1, formant le premier faisceau de F|, et une substitution d'ordre V| ou 2V|, permutant les séries. Si Tune ou l'autre de ces deux substitutions avait son ordre divisible par un nombre premier impair tt, il suffirait de l'élever à une puissance convenable pour obtenir une substitution d'ordre tt, qui serait contenue dans ^, et n'altérerait que les indices de S|, résultat absurde.

On remarquera enfin qu'on tomberait dans des cas exclus en supposant F4 de première catégorie avec />''« = 3, 5, ou 3% ou F, de seconde catégorie, avec p^« = 3.

En tenant compte de ces observations, on voit que la relation (20) ne pourra être satisfaite qu'en supposant /'= 17 ou 3i, avec v, = i, d'où /i.<8. D'ailleurs jul est une puissance de 2, supérieure par hypothèse à 4l^iVi; donc jx = 8. .

Supposons maintenant /^ = 1 7» ce qui est l'hypothèse la plus défavorable :

/>^»— I,..., />"? — I se réduisant chacun k 16, la relation (19) deviendra (21) 2.8'^wo.i6^

et sera absurde si y> 1. Soit d'autre part y= i : le système So contiendra six indices. Ce nonobre n*étant pas une puissance de 2, Tq sera de première ou de seconde calégorie, et coo sera égal à (17'''' it 1) fx^, ajutoV© étant égal à 6. La relation (21) sera encore absurde.

Cela posé, soit 6 la substitution qui multiplie tous les indices par — 1 : Ç, second faisceau de ^, résultera de la combinaison de 9 avec certaines doubles suites que Ton pourra fondre en une seule x^f oHi,..., x^, 1^9- Soient F© le premier faisceau de To, t celle de ses substitutions qui multiplie tous les indices de S© par — i : Ç contiendra un groupe U formé de 2^ substitutions au moins échangeables à t; il en contiendra même 2*^ si t appanieni à Ç. En effet, / appartient évidemment à J, et par suite à ^. Si elle appartient a Çy toutes les substitutions de Ç lui sont échangeables à 6 près. Donc les substitutions de ff» en nombre 2^^^\ résulteront de la combinaison d'une substitution T qui transforme t en 6t, avec des substitutions échangeables à ^ en nombre 2^^. Supposons au contraire que t n'appartienne pas à {? ; sa corrélative

I j:,, 7,, . . . a', Xt -4- c, 7, -f- . . . , //, ^, -4- rf', j, -h . . . , . . . I

sera d'ordre 2. Ramenée à la forme canonique, elle deviendra donc

j XyA.,Y|i,...|Z, U,... X. -f- X.,X., Y-f-Y , Y ,.>*,Zy U,... |,

et sera échangeable aux substitutions dérivées des substitutions Qtt Cy»...» Cz, Cu,... correspondantes aux indices X, Y,..., Z, U,.... Soienfa,, fr,,..., a^y, bfj les substitutions respectivement correspondantes à a:,, j,,..., x^^ y^^ et soit Cx = <'6J'..., CY=aî'6î* Il est clair que les substitutions dérivées de xj* aft)f • . . . , xî'ift)?'...,... et de 6 seront échangeables k / aux puissances.près de 6. Or le nombre des indices X, Y,..., Z, U... est au moins la moitié (7 du nombre total. Donc le groupe dérivé des substitutions ci-dessus sera au moins d'ordre 2^*^*. Si toutes ses substitutions ne sont pas échangeables à /, elles dériveront de la combinaison de l'une d'elles T, qui trans-

forme t en ^^ avec un groupe de substitutions échangeables à 7 et d'ordre égal ou supérieur k a^.

Soient U, U\... les substitutions échangeables à / dont nous venons d'établir l'existence. Elles remplaceront les indices de So» que / altère, par des fonctions de ces mêmes indices; de même pour les indices de S,, que / n'altère pas : elles seront donc chacune le produit de deux substitutions partielles Uo, U,; Uy, U', ;... altérant respectivement les indices de So et ceux de S,.

816. Soit maintenant V une quelconque des substitutions abéliennes propres que contient Tq : elle sera échangeable à t prés à l'une quelconque U des substitutions U, U',.... En effet, V appartiendra à J, et par suite à ^ : donc elle sera permutable à ç, et U~* V~* UV = U^* V"* UoV appartiendra à ce faisceau. Mais chaque substitution de ff, ramenée à sa forme canonique, multiplie la moitié des indices par i et l'autre par — i, ou la moitié par y et l'autre par —y, suivant qu'elle a pour caractéristique une puissance de K^— I ou de K'*-}- i; à moins toutefois qu'elle ne se réduise à une puissance de 6f auquel cas elle multiplie tous les indices par le même facteur it I . Or U7* V""* UqV laisse invariables tous les indices de S, : donc elle multiplie les autres par un même facteur ±: i, et se réduit ainsi à une puissance de /.

817. Supposons d'abord que T© soit de première catégorie. Soient Fo, Go ses deux premiers faisceaux, Â,, B|,..., A\, B\, ...;... les doubles suites qui, jointes à Vq, reproduisent Gq. Les substitutions U©, U'o,... seront permutables à ¥q, et par suite de la forme SC^'^^ ^ et $ étant définies comme au n^ 618, et :^ne déplaçant pas les séries. D'ailleurs, les substitutions U, U', ... appartenant à ç, leurs carrés se réduiront à d ou à i; ceux de Uo, U'o, ... se réduiront donc à ^ ou à i. Si donc le nombre Vo des

séries de chacun des deux systèmes de So est pair, on aura p == o ou = -^

si Vo est impair, p = o.

Soit d le nombre des systèmes de valeurs que les exposants r, p peuvent prendre dans les substitutions de H. L'ordre il de ce groupe sera égal à dQ\ iV étant l'ordre du groupe H' formé par celles de ses substitutions dont le premier facteur se réduit à la forme ^: car en multipliant une substitution de H dont le premier facteur soit égal à Ji^'Ç^^par les û' substitutions de H', on obtiendra iî' substitutions ayant leur premier facteur de la forme ii*^*^'^, et qui toutes appartiendront à H.

Or soit g la substitution d'ordre />^« —• i dont les puissances reproduisent Fo; la substitution sC<S^^ la transforme en ^f-*>^^ qui n'est égal à g aux

puissances près de / = ^ * que si (— i)^/>p— i est congru à un multiple (le c suivant le module »''•— i, d'où la condition

(22) 2 [(— i)^pe— i]^o (mod./>^« — i).

Le nombre /?''« est > /|, et différent de 3^; s'il est > 5, on ne pourra satisfaire à la congruence qu'en posant p = o, t = o. Soit au contraire />^* = 5, on pourra poser p = o et t = o ou 1 ; donc dans aucun cas d ofie pourra dépasser 2. Soient d'autre part ^U,, ^'U'j,... les substitutions de H'. Les substitutions partielles ^, ^f- étant échangeables à celles de Fo, et échangeables à / près à toutes celles de Fo, appartiendront à Fo. D'ailleurs leurs quatrièmes puissances se réduisent à l'unité. Ce sont donc des puissances de

Vq-I / vi>-l \

j = g * v'^y^ = ^ = g * si Vo— I est impairement pairj. Soient respectivementy*, y*',... les substitutions^, ^'••••;

le plus grand commun diviseur de a, a%..., et de 4; ^» a\... des entiers tels que l'on ait aa -+- a'a'-h . .. = c^. Posant (^U|)''(^'U'J'*'... = o, on aura ^U| =x)'"t),, ^'U'j = i!)'"'t9',,..., XD,, t)'j,... étant les substitutions de H dont le premier facteur se réduit à l'unilé. Soient H" le groupe formé par ces dernières substitutions, iî" son ordre; on aura évidemment 12'= âiï\ D'ailleurs les substitutions t9,, t)'j,... appartenant à Ç, comme toutes les substitutions de H, et laissant la moitié des indices invariables, multiplie*ront tous les autres indices par un même facteur ili i . On aura donc iî" = 1 si la substitution /,, qui multiplie par — i tous les indices deS| sans altérer ceux de So, n'appartient pas k H; dans le cas contraire on pourra avoir il"= 2.

Donc îî = d8iï' ne pourra dépasser 8, à moins que /, n'a-|)partienne à H, auquel cas on pourra avoir fl =■ 16. Ces chiffres devront être réduits de moitié si l'on n'a pas/?^« = 5.

En supposant Fo de seconde catégorie, on trouvera de même 12 = dâQ!\ é/ étant égal à i dans tous les cas, sauf pour p^*= 3, auquel cas il pourra être égal a 2, d étant au plus égal à 4» et 12'' égal à i ou à 3 si /, appartient à H, à I dans le cas contraire.

Si To était de troisième catégorie, on trouverait de même û =: to", 5 et il" étant au plus égaux k 2 ; donc û < 4-

818. Cela posé, si Tune des substitutions /, /« appartient à H, on peut admettre à cause de la symétrie qui existe entre elles que c'est t. On aura alors iî = 2*% et comme û ne peut dépasser 16, 3^^4« Si au contraire t et ^, n'appartiennent pas à H, on aura 2^= Û<8 si /?''• étant égal à 5, To, Ff sont tous deux de première catégorie, ou si p^^ étant égal à 3, To, Fi sont de seconde catégorie. Dans tous les autres cas, on aura 2'' = û < 4-

Donc 4^ ne peut contenir plus de 8 indices. D'ailleurs le nombre de ces indices est une puissance de 2; de plus il est le double du nombre des indices de Fo, qui est pair. Donc 4^contient précisément 8 ou 4 indices.

819. Supposons d'abord que ^contienne 8 indices. On aura />""= 5, et Fq, F, de première catégorie, ou />''»= 3, et Fq, F, de seconde catégorie. Dans l'un et l'autre cas, Fo et F, auront pour ordre {p — 1)48, et contiendront chacun 48 substitutions abéliennes propres. Ces substitutions, jointes ensemble^, formeront un groupe K d'ordre 4^^ qui sera contenu dans J, et a fortiori dans ^, et par suite dans le groupe A, formé par celles des substitulions de 4^qui sont abéliennes propres. Cela posé, désignons en général par Oaw l'ordre d'un groupe résoluble et général, contenu dans le groupe abélien de degré 2^'" : on aura, suivant le mode de conslruction du groupe dont il s'agit,

Oc= '2.3.(2^— l), (2 -M)3'.2.2'.2(2 4- 1}, OU 1 . 2 . 3 [ 2( 2 -h I )]' ; O,=:4(2'-t-0» OU I.2[2(2-h l)]*; 0;=2(24-l),

et suivant que dans la formation du groupe 4^ il faudra employer un, deux ou trois groupes auxiliaires primaires, l'ordre de ^sera égal à (/? — i)2®0ô, [p — 1)2*0402 ou [p — i)i,^i)^0^0^. D'ailleurs 2 est non résidu quadratique de/i; donc ^ a pour exposant i, et l'ordre de A sera simplement 2*08, 2*0402, ou 2*02 0a02, Soit d'ailleurs w l'ordre du groupe formé par les corrélatives des substitutions de A; l'ordre de A sera égal à u, multiplié par l'ordre 2' du groupe ? formé par celles de ses substitutions qui ont pour corrélative l'unité. De méiAe l'ordre de K sera égal à cof 0, a>i étant l'ordre du groupe formé par les corrélatives des substitutions qu'il contient, lequel divise évidemment co, et o Tordre du groupe formé par celles des substitutions de K qui appartiennent à ?.

Or il résulte des valeurs données pour les ordres de K et de A que l'or-

cire (le K est divisible par 2^^ et que celui de A n'est pas divisible par uue puissance de ql supérieure à 2*®. Donc le rapport de ces ordres, et a fortiori

chacun des deux entiers —-y — dont ce rapport est le produit, contient 2 à

la seconde puissance tout au plus. Donc o est au moins égal à 2'. Mais soient U = UoU,, U'= UqU',,... les substitutions de Ç qui appartiennent à K, et dont chacune est évidemment le produit de deux substitutions partielles appartenant respectivement à T© et àr,. Nous avons vu (816-818) que le nombre o de ces substitutions ne peut dépasser 16; il ne peut donc être égal ou supérieur à 32.

820. Supposons maintenant que 4^ contienne quatre indices. Son second faisceau se construira en ajoutant à son premier faisceau quatre substitutions formant une ou deux doubles suites. Si elles n*en forment qu'une, son premier couple aura pour caractéristique une puissance de K*+ 1 (670); ce qui ne peut avoir lieu comme on Ta vu que si le groupe auxiliaire qui sert à construire ^est de seconde catégorie, et tel, que le nombre des indices de chaque série, multiplié par celui des systèmes» est impair. Le nombre total des indices dans ce groupe auxiliaire étant 4» ils formeront un seul système, contenant 4 séries; Tordre O4 de ce groupe auxiliaire sera 4(2^-1-1) et celui de^sera (/? — i).4(2*-+- 1).

Il reste à considérer le cas où ces quatre substitutions considérées formeraient deux doubles suites. Mais il est impossible. En effet, les deux groupes auxiliaires dont dépend ^, étant d'ordre 2*, seraient de seconde catégorie : et dans chacun d'eux, ces deux indices ne pourraient former qu'un système, contenant deux séries, contenant chacune un seul indice. Le produit du nombre des systèmes par le nombre des indices de chaque système serait donc égal pour chacun de ces groupes au nombre impair i. Donc chacun des deux couples x,, ife,: x\, ift)', qui forment les deux doubles suites aurait pour caractéristique une puissance de K* H-i, résultat absurde; car le nombre des couples de cette espèce devrait être pair (670).

821. L'ordre du groupe A formé par celles des substitutions de ^(\u\ sont abéliennes propres sera donc égal à ^(a'-h i)t, x étant égal à 1 ou à 2 suivant que 4^a pour exposant i ou 2, c'est-à-dire suivant que 2 sera ou non résidu quadratique de p. Or r© contient ^{p — 1) substitutions abéliennes propres s'il est de première catégorie; 2(/? -h i) s'il est de seconde; 24 T s'il est de troisième. Le groupe formé par ces substitutions est contenu

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 6il

dans A; donc son ordre divise celui de A, et ne peut élre divisible par 3. Donc Fo est de première ou de seconde catégorie; de noémc pour Fi.

Or si Fo est de première catégorie, on aura />> 7, sans quoi on tomberait dans un des cas exclus; d'où p — i >6. Si F© est de seconde catégorie, on aura par la même raison />> 5, d*o\xp -h i> 6. Les premiers faisceaux de F© et de F, combinés ensemble donneront donc un groupe contenant au moins 6.6 substitutions abéliennes propres échangeables entre elles; lequel groupe sera contenu dans^ç^; résultat absurde; on voit en effet comme au n® 752, que Tordre maximum d'un groupe contenu dans j^ei formé Je substitutions échangeables entre elles est 2fi^ = 32.