Second cas. — L indécomposable de première catégorie

Soient v' le nombre des séries de chaque système de L, /x' le nombre des indices de chacune d'elles. On aura fx. = 2fi'v\ ce qui montre que (jJ et v' sont des puissances de a.

Soient donc A,, Bf,...; A'^, B'^,. ...... les doubles suites qui, jointes à F,

premier faisceau de L, reproduisent son second faisceau G; deux substitutions d'un même couple seront échangeables, à la substitution 0 près, qui multiplie tous les indices par — i, et dont les puissances forment ^, premier faisceau de 4^. Le groupe 6 d'ordre [i'^{p^ ^ i) a ses substitutions abéliennes propres et échangeables entre elles aux puissances près de 6, et sera évidemment contenu dans J, et par suite dans ^. Mais ^ ne contient aucun groupe de ce genre dont l'ordre dépasse 2|ul^. D'où la relation

D'ailleurs/?''' > 4 (616); il est impair (659) et ne doit pas être supposé égal à 9 ni à 25 (704). On aura donc/i^= 7, 5 ou 3*.

823. Soit/>^=7. Supposons pour fixer les idées que ^, second faisceau de ^, s'obtienne en combinant à la substitution 0 deux doubles suites «Ao,, «ift),,..., ci)ç, iji»ç,..., jc'j, ofc'j,..., x'^ff 'ift>'ç'. L'ordre de G est égal à

6jx'^= -£" Mais d'autre part il est égal à OwO'o/.a, 0, w, 0', w' étant

définis comme au n^ 752; donc l'un des nombres Oco, O'co^ par exemple Oco, sera divisible par 3.

Cela posé, Oco est l'ordre d'un groupe K de substitutions échangeables entre elles, et contenu dans un groupe résoluble et primitif de degré 2^^

(752) (on a ici 77 = 2), et 0, ta sont les ordres des groupes partiels K,, K, respectivement formés par celles de ces substitutions qui sont linéaires sans termes constants, et par celles qui accroissent les indices de simples termes constants. Or co divise 2^S ordre du groupe formé par toutes les substitutions qui accroissent les indices de termes constants. Donc 0 est divisible par 3, et K, contient une substitution S d'ordre 3.

Ramenons cette substitution à sa forme canonique par un changement d'indices indépendants. Soit X| Tun des indices qu'elle altère; elle le multipliera par une racine primitive m de la congruence m'^i(mod.2}, laquelle dépend d'une congruence irréductible du second degré, 2' étant la première des puissances successives de 2 qui, étant diminuée de l'unilé»^ donne un multiple de 3.

Les substitutions de K, étant échangeables à S, s'obtiennent en combinant ses puissances à des substitutions qui laissent invariables X, et son conjugué Y,, et dont le nombre est au plus égal à 2'^'^. Car s'il dépassait ce nombre, ces substitutions, jointes à celles qui accroissent X,, ¥« de nombres constants sans altérer les autres indices, feraient un groupe de plus de 2^^ substitutions échangeables entre elles, ce qui est absurde. Donc Ocj sera au plus égal à 3.2'*^"'. D'autre part O'w' est au plus égal à 2*^', par

suite OwO'w'.a sera au plus égal à 6|x'.2~^. Mais il est égal à-—-; on aura donc

Cela posé, on voit, comme au n^ 758, que ces égalités ne peuvent avoir lieu qu'autant que les doubles suites A|, B,,...; A'^, B',,. ..;... appartiennent à g" : et l'on pourra considérer g comme dérivé de la combinaison de d. A,, B,,...; A\, B'i, ...;... avec un dernier couple Jio, ifb.

La substitution g d'ordre 6 dont les puissances reproduisent F, appartenant à ^, sera permutable a Ç; mais elle est échangeable à A,, B|,..., A',, B\,.... Donc elle est permutable au faisceau (<A>, ia>) formé par celles des substitutions de Ç qui sont échangeables aux précédentes. Elle transformera donc ai,, ift) en substitutions telles que ô',.i,*ift,P, 6'*i,^ift>*, [a, p, 7, 9 étant égaux à o ou à I, et satisfaisant à la relation a^ — jSy^i (niod. 2)]. Celte relation exige que l'un des nombres a, ^, 7, d, soit égal à zéro. Ce ne peut être ^ ni 7; car si l'on avait 7=0, par exempte, d'où â = 1, g* serait échangeable à x et à ia>, et par suite se réduirait à une puissance de d, ces puissances étant les seules substitutions abéliennes propres qui soient

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 6i3

échangeables a la fois à toutes les substitutions de ff. On aurait donc ^= t , résultat absurde, g étant d'ordre 6.

Soit donc pour fixer les idées ^ = o : a sera égal à i, sans quoi g^ serait encore échangeable à el, et à ift>. Cela posé, les transformées ô\Ml) et 0\k^ de ci. et de iii) par g doivent avoir même caractéristique que ^i, et aft>; il faut pour cela que \o et ub aient pour caractéristique une puissance de K^ -t- i .

Or la double suite A,, B,,...; A',, B',,...,f.., x^ ia> qui sert a la formation de ff doit contenir un nombre impair de couples qui aient pour caractéristique une puissance de K'-i-i (670). Donc le nombre DC des couples de la double suite A^ B|,..., A'^, B\,...,... qui jouissent de cette propriété est nul ou pair. Mais alors, pour éviter de tomber dans un cas exclu (707), il faut admettre que J contient une substitution qui multiplie les exposants d'échange par un non résidu de 7. Or ^ne contient aucune semblable substitution, 2 étant résidu de 7 (671 j. Donc 4^ae peut contenir J.

824. Soit enfin/?"^ = 5. Les doubles suites A|, B|,...; A,, B',,. ..;... peuvent être remplacées dans la construction de L par d'autres doubles suites* C<, D|,...; C,, D', ,...;... telles, que chacun des groupes (C^ D|,.. .), (Cj, D'j, ...),... soit permutable à toutes les substitutions de L (705); et Ton pourra déterminer dans J une substitution ê^' qui soit échangeable à Cf, D|,...; C^, D'^, ...;... et qui transforme la substitution g^ dont les puissances reproduisent F, en Qg. Cette substitution, jointe à celles de G, donne un groupe H qui contient 0 et dont les substitutions sont abéliennes propres, et échangeables entre elles à Q près. Or supposons, pour fixer les idées, que ^ résulte de la combinaison de 0 avec deux doubles suites Ji>f, ift»!,..., ^i;, ift>;; o^l'^, ift)',,..., cAo'ç., Wç/. L'ordre 0 de H sera égal a 0«0'w'.2, 0, w, 0', co' étant définis comme précédemment. On a Ow^ a^S O'w'^a^*^', A'oùû^ajx^ Mais fi = a|x'^(/>^- l) = 2|J.^ Donc Ow = a^S 0'w'=a'«'; relations qui ne peuvent subsister que si w et w' sont > i (728). Donc l'une au moins des substitutions de H, autre que les puissances de ô, appartiendra au faisceau (<.Cj, ilb',,...).

Si g appartient à l'un des faisceaux (x^, ifbf,...), (<.C^, ifty^,...), on peut admettre, par raison de symétrie, que ce n'est pas au second. Cela posé, les

substitutions de H sont de la forme ^'Jl"Cî*Dj\..C/'' \i\^'...,s variant de o à 3, et t, 7,, cJ^i,..., 7j, cJ'i,... de o à i. SoitT une de ces substitutions, autre que les puissances de Q et qui appartienne au faisceau (x\, i^^^...). Les exposants 7,, cJ^<,..., 7,, cJ'i,... ne peuvent être tous nuls. En effet, s'ils l'étaient et que t le fût également, T se réduirait à une puissance de 0=g^,

64 i UVRE QUATRIÈME.

contre l'hypathëse, ou à une puissance de 6 multipliée par g\ et le faisceau (-A>'j, iib', ,...) contiendrait gy contre l'hypothèse. Si l'on avait au contraire / = I, d'où T = ^'a', nous avons vu (764-765) que J contient une substitution s qui transforme Si! en g^ Si!, r étant impair. Comme elle transforme d'ailleurs g en Q'^gy m étant égal à o ou à i, on aura

ttlS —

Or ç, appartenant k J et a fortiori à ^, sera permutable à chacun des deux faisceaux H et (,.1,'j, oib',,...). Donc T~*.cr*TG, et par suite g, sera commun a ces deux faisceaux, contre l'hypothèse.

Soit donc 7,, par exemple, ^o. Le groupe J étant évidemment permutable aux substitutions de L, l'une au moins U de ses substitutions sera échangeable à Cj, D'j,...; Cr,,.D' ,...;... sans être échangeable, aux puissances près de 9, à Q'Dj'... (la démonstration est toute semblable à celle du n° 733, on doit seulement changer les lettres M, A, B en J, C, D). •D'ailleurs U est permutable à H et à (9, <vi/,, ofb'j,...); la substitution T-M[-*TU = T|, laquelle se réduit à la forme g^'-CîDÎ... sera donc commune à ces deux faisceaux. Soit maintenant Y une autre substitution de J, qui ne soit pas échangeable à QD^.. aux puissances près de 9. Comme elle transforme ^ en ^ ou 6^, la substitution 17*V~'T, V appartiendra au faisceau (C,, D|,...). Cette substitution, et ses transformées par celles de J, lesquelles reproduisent tout le faisceau, seront communes aux deux faisceaux H et (-.Cj, ift>', ,...); et l'on pourra supposer la double suite d', , ift)', ,... choisie de telle sorte que ses o- premiers couples soient C,, D,,....

Poursuivant le raisonnement comme au n** 758, on voit que le faisceau (cC, , 1)1,', ,...) peut être considéré comme dérivé de la combinaison de 9 avec une ou plusieurs des doubles suites de G.

825. Supposons, pour fixer les idées, que G contienne trois doubles suites, dont la dernière appartienne seule au faisceau (.1/,, ift,', ,...). Le nombre «

étant >i, l'une au moins des substitutions ^^c-a^C*' Df'... C,^' D',^'... du faisceau 0 dérivé de ^, ^', C,, D,,..., C, , D', ,... (autre que les puissances de 5) aura pour première corrélative l'unité; et comme elle est échangeable à Cj, D' ,... = .C, , ift>'j,..., elle appartiendra au faisceau [-x^^y Jl,,...).

Nous allons maintenant prouver que chacune des substitutions g, ^', C,, D,,..., C,, D'j,... appartient au faisceau (^v,,, iJb<,...).

I® Supposons d'abord que le groupe ^ formé par les substitutions corn-

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. Ofô

munes aux faisceaux $ et (^i,,, Dli,...) contienne une substitution T, où l'exposant t ne s'annule pas. Soit, pour fixer les idées, T = ^*a'C;'. On voit, (ornmo au n'' 824, que parmi les substitutions de J qui sont échangeables à g, Cj, D'j ,..., il en est une au moins, U, qui n'est pas échangeable à Q' aux F près. La substitution T' = T~MJ*"' TU, appartenant à la fois à 4) et à (rA,, ul>,,...), appartiendra à Y, et se rédoira à une forme telle que g^ C] Df. . . . Soit de même V une substitution de^ J qui ne soit pas échangeable à T' aux F près. Le groupe 0 contiendra la substitution T'"*.V~*T' V = T", <'t ses transformées par les substitutions de J, lesquelles reproduiront tout le faisceau (C,, D, ,...). Ce groupe, contenant T et C,, contiendra g^A'. D'ailleurs J contient une substitution @ échangeable à ^ et qui transforme A' en A* g'^y T étant impair (765) : et <b contiendra [g^ S^!)"^ ^r^ g^ A' ^ = g'^ . Il contient d'ailleurs ^^ = Cr*D7*C< D| : donc il contiendra g; donc il contiendra g'\ g^ Si! ^= Si' .

Cela posé, on peut admettre que la double suite <.i>,, iibi,... ait été choisie de telle sorte que ses premiers couples soient formés par les substitutions c'a', gSi! , C< , D,,...; et l'on verra, comme au n"* 758, que le faisceau (a><, iJî),,...) contient les substitutions C,, D'^,... qui, jointes aux précédentes, termineront la double suite.

826. 2^ Supposons au contraire que l'on ait / = o dans toutes les substitutions de ^. Nous allons voir que cette hypothèse est inadmissible. Faisons correspondre aux substitutions X|, lil),,..., Ji^ç, iflç les suivantes

et soit Ho le groupe auxiliaire relatif à la double suite <.i),, Dl>i,.. ., et qui sert à la construction de ^: ses substitutions seront hypoabéliennes, et de la forme suivante

I :r„ y\, ... «', :r, -f- c, /, -4- . . . , 6', j;, -h rf', .>'. -4- . . . , . . . | ,

et jointes au groupe H| dérivé des substitutions a,, 6|,..., elles formeront un groupe H résoluble et primitif.

Le groupe h^ formé par les premières corrélatives des substitutions de *, joint au groupe A, formé par celles des substitutions du faisceau (ai, 6|,...) qui correspondent aux substitutions communes à 4> et à («i>i, Di>f ,...) formera un groupe h d'ordre 2^^ contenu dans H, et dont les substitutions sont échangeables entre elles.

m UVRE QUATRIÈME.

Ramenons le groupe Ho à la forme type par un choix convenable d'indices; et supposons que les nouveaux indices se répartissent en X systèmes (ou couples de systèmes) S,, S2»... contenant chacun 2v séries, contenant chacune jj. indices.

827. Le groupe h^ ne contient aucune substitution qui déplace les systèmes {couples de systèmes). Supposons en effet que ces substitutions permutent entre eux les m systèmes (ou couples) S,,..., S,;,. L'ordre 0 de A sera égal à mco, G) étant Tordre du groupe h! formé par celles des substitutions de h qui ne déplacent pas ces systèmes, et dont chacune sera de la forme V,...V,„W, Vp étant une substitution qui n'altère que les indices de Sp, et W une substitution qui n'altère que les indices des systèmes autres que S,,..., S,, (721).

Soient A: le groupe dérivé des premières substitutions partielles V|, Vj,...; Gi)| son ordre. Ces substitutions, jointes à celles de H, qui laissent invariables les indices de S,, forment un groupe de w,.!i*^~^^^ substitutions échangeables entre elles. Mais le nombre de ces substitutions ne peut dépasser 2^^ : donc w< est au plus égal à ^^J*". On a d'ailleurs évidemment (ù = tù^(3i^, w^ étant l'ordre du groupe y formé par celles des substitutions de h qui laissent invariables les indices de S|. Ces dernières substitutions, étant échangeables à celles de^o ^ui permutent ensemble S,,..., S,„, laisseront invariables les indices de tous ces systèmes, et se réduiront à la forme W. En les joignant à celles des substitutions de H| qui n'altèrent que les indices de S|,..., S^, on aura un groupe de substitutions échangeables entre elles, dont l'ordre 0)2.2^'"^'' ne peut dépasser 2^^; donc w2<2^'^*"^"'ï*^ et 0 = /nût),W2< W2^^~*^"*"'*^^'' sera < 2S contrairement à l'hypothèse.

828. Le groupe Hq ne peut être de première catégorie. En effet, on aurait 2''>4, d'où V >2 (616), et l'on verrait, par le raisonnement qui précède, que Ao ne contient aucune substitution qui permute les systèmes d'un même couple. S'il contenait des substitutions permutant les séries d'un même système, il existerait (722) ui> groupe de substitutions échangeables entre

elles, contenu dans H, et dont l'ordre 2""^ - 0 (î étant un diviseur de v)

serait >0=:2-S résultat absurde. Enfin s'il contenait une substitution altérant les indices d^un système sans déplacer les séries, il existerait (723-727) un groupe de substitutions échangeables entre elles, contenu dans U, et dont l'ordre 0.2^^-*^*^""^ serait >0, résultat absurde.

Si Ho est de seconde catégorie, on pourra raisonner de même, en remar-

quant seulement que ie nonobre des séries de chaque système n*est plus v, mais 2v : et l'on verra : i® que h^ ne peut contenir de substitution (autre que Tunité) qui déplace les séries que si l'on a v= i; 2° qu'il ne peut en aucun cas contenir de substitution qui altère les indices d'un système sans en déplacer les séries.

829. Soit maintenant! une substitution de Ao» différente de l'unité; son carré» ne déplaçant plus les séries d'aucun des systèmes S|,..., se réduira à l'unité. Soient d'ailleurs S, l'un des systèmes dont T déplace les séries; Xy x\.., les indices de la première série de S,; y, y\... les fonctions des indices de la seconde série que T leur fait succéder : T remplace réciproquement j,^'',... par a?, x\..,; et pour qu'une fonction des indices de S, reste inaltérée par cette substitution, il faut évidemment qu'elle soit de la forme a{x-\-y) -4-a'(a?'-f-j') H-.... Donc les fonctions qui jouissent de cette propriété se ramènent à /x fonctions distinctes.

Cela posé, la substitution T est le produit de deux substitutions partielles, dont Tune, T|, altère les indices de S,, l'autre (s altérant les autres indices. Remplaçons les indices de S| par d'autres indices indépendants X, Y, X', Y',... choisis de manière à ramener T| à sa forme canonique

et soient z, z\... les indices des autres systèmes. La substitution T prendra une forme telle que

I X, Y, X', Y',..., 2, 2',... X-t-Y, Y,X'-f-Y%Y',..., cp{z, -2',...), (p'(z, V, ...),... |.

Les substitutions de Ao résultent de la combinaison de T avec des substitutions qui laissent invariables les indices de S,. Car soit U Tune d'elles; Tune des deux substitutions U, T'* U, ne déplaçant pas les séries de S|, n'altérera pas les indices de ce système. Il résulte de là que les substitutions de h résultent de la combinaison de T avec des substitutions qui accroissent simplement X, Y, X', Y',. .. de termes constants. Ces dernières substitutions, étant échangeables à T, se réduiront à la forme

I ^9 '9 ^> » >•••> Zy s y,,» \-f-a, Y, X -l-a, Y >...,/( 2, z ,...), j \z, z ,...),... j,

et les coefficients a, a',... étant en nombre /x, l'ordre 0 de A sera au plus égal à 2.2^i2, il étant l'ordre du groupe formé par celles de ses substitutions qui n'altèrent pas les indices de S4. Or ces dernières substitutions, jointes à

celles de H, qui n'altèrent que les indices de S|, donnent un groupe de substitutions échangeables entre elles, et d'ordre 2^^ (2. Cet ordre ne pouvant être supérieur à 0, on aura [i= i.

Chacun des systèmes S|, S2,... contiendra donc deux indices. On pourra remplacer dans chacun d'eux les indices imaginaires par deux indices réels tels, que les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes soient congrus à i ainsi que leurs caractères, et l'on peut admettre que ces nouveaux indices se confondent respectivement avec a?,, ji; 072,^2;... (658;.

830. Les substitutions de h^ résultant, d'après ce qui précède, de la combinaison de T avec le groupe h'^ formé par celles de ses substitutions qui n'altèrent pas les indices de S|, son ordre &> sera égal à 2c«>% co' étant l'ordre de h^. Soit 83 un système dont les substitutions de h'^ permutent les séries; on aura de même ci)' = 2w", w" étant l'ordre du groupe A'^ formé par les substitutions de h^ qui n'altèrent pas les indices de S, ni de Sj. Continuant ainsi, on voit que w est au plus égal 32^= 2^= a^"*"^**"*. Or les substitutions

de la forme ^'a''Cï»DÎ'...Cj''D'/'..., où t est égal à o ou à i, sont en nombre 2^*^^^^'*"'. Donc parmi ces substitutions, il en est au moins 2*'^^'*"*, 1, 2',... ayant une même corrélative; les 2^-^*^* substitutions i, Z""*2',..., qui sont de la même forme, auront pour corrélative l'unité; donc, par hypothèse, l'exposant t y sera nul (826).

Ces substitutions seront de la forme $^'<>f x^a..., en posant pour abréger

t;;, =,i.;'xn>î', t?2 = ai>;« ifi)5s Soient donc 6Pt?^t?jj.. . , ô^Vj tpg. ...... ces

substitutions. Chacune des substitutions partielles t?,, tPj,..., "Ç^'j, "C^gf. .•♦.-• sera dérivée rfe ^, C,, D,,..., C^, D'j,.... En eflet, ces substitutions partielles, étant échangeables entre elles à 0 près, forment avec Q un groupe résoluble K. De plus, ce groupe est permutable aux substitutions de J. En effet, soit t) l'une quelconque de ces dernières substitutions : elle est permutable, d'une part au faisceau (<^o iibi,...) (car elle appartient à ^), d'autre part au faisceau {g, C|, D,,..., Cj, D'^,...). Elle transforme donc les unes dans les autres les substitutions 9Pt?<t?2..., Q^'Q\'Q\.,.y.,. communes à ces deux faisceaux. Soit par exemple

1) est échangeable à 6; d'ailleurs, soit S, le système auquel sa première corrélative U fait succéder le système S;. : t) transformera évidemment les substitutions dérivées de ^^ry '^r^ en substitutions dérivées de Ji»,, ifi,. Supposons

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. <i49

en particulier que U fasse succéder S| à S, : ia relation (23) donnera

relation dont le premier mennbre est dérivé de ci,2, ofej» et le second membre

de ai|, ia>,» <A>3« aa>3, Ils ne peuvent donc être égaux que s'ils se réduisent

tous deux à une puissance de 6. On aura donc une égalité telle que

'^\-'V-"<>,'0=6\ d'où t)-'\'),t)=i e^t/j.

Donc la transformée de Tune quelconque tp, des substitutions de K p:ir u appartient à K.

Le groupe DC dérivé de la combinaison de K avec J sera résoluble (527J. Son premier faisceau y contient F. En effet, F a ses substitutions écbangeables entre elles, et il est permutable aux substitutions de J. Il Test de plus à celles de K. Soit en effet t> une substitution de F; elle ne déplace aucun des systèmes S,, Sj,...; de plus, elle est échangeable à ôPtp,'^)^.... On en déduil, par le raisonnement qui précède.

Donc v^ est échangeable à lo aux puissances près de 0. De même v^**--

Cela posé, soit A un groupe résoluble et géuéral parmi ceux dont les substitutions sont abéliennes, qui contiennent DC et dont le premier faisceau contient ^. Il sera de première ou de seconde catégorie, et contiendra J; donc il se réduit à L (760-813); et DC, ayant ses substitutions abéliennes propres, sera contenu dans J. Donc J contient ■<?,, "^a,..., <>\, 'ç\,...y.... Ces substitutions font partie de son second faisceau. En efTet, nous avons vu qu'elles sont échangeables aux puissances près de 6 aux substitutions de F. On verrait de même qu'elles le sont à C,, D,,..., C,,D'j,.... Quant à C* , D", ,... = cC, , ifb'i,..., elles leur sont échangeables. Donc ti^f, par exemple, est

de la forme g^* a'' C/»Dλ...C/'D'i^'.... D'ailleurs /=o, par hypothèse (826).

831. L'un au moins des exposants 71, ^|,..., 7^, (^|,... diffère de zéro dans l'une tp, des substitutions (autres que les puissances de Q) communes aux faisceaux (x,, ift),,...) et {g^ C,, D\,..., Cj, D'j,...); car ces substitutions sont en nombre a^-»-^^*, supérieur à celui 2* des substitutions de la forme g\ Soit par exemple 7, ^o. On voit, comme aux n^ 733 ou 824, que parmi les substitutions tie J qui sont échangeables a g, C^^ D'^,..., il en existe une au moins U qui ne soit pas échangeable à Ci^^Df'.... La substilu-

«50 LIVTIE QUATRIÈME.

lion \V'U~*V>|U appartiendra a la fois aux deux faisceaux (*i.,, ifc<,..-) et (C,, D|,...h et ses transformées par les substitutions de J appartiendront également à (x,, tii,,...), et d'autre part elles reproduiront tout le faisceau C|, D|,...). Donc les substitutions de ce faisceau sont contenues dans le groupe M^= (ô, -Çt, ■v?2»««-» 'V'^'i» tp'a»- ••»•••)• ®^ ^^ groupe contiendra au moins une substitution D, qui ne soit pas échangeable à V^. Celles des substitutions de ce groupe qui sont échangeables a toutes les autres se réduisentdonc à des puissances de g, et seront des puissances d'une seule d'entre elles.

832. Cela posé, supposons que les substitutions v>p, \/ ,..., par exemple, ne se réduisent pas toutes à l'unité, p étant un entier constant arbitraire. Elles sont de la forme x^?la>^^ Si elles ne sont pas toutes identiques à v>p« leur combinaison reproduira le faisceau (Xp, iJlp), lequel se trouvera par suite contenu dans M'. Dans le cas contraire, ^?p sera échangeable h toutes les substitutions de W et se réduira à une puissance de g. Soit maintenant r un entier autre que js. Si -Çt diffère de l'unité, V^p et t?<ç, n'étant pas les puissances d'une même substitution, ne peuvent être échangeables à la fois aux substitutions de M'. Donc Tune au moins des substitutions V,,... difTere (le tp^; et par suite M' contiendra .i>x} \)1>t- Donc les substitutions de W résultent dans tous les cas d'un certain nombre de couples x^, tftiT»--- de la double suite -x^^ , Dl>i; Xs, \)l>3;«.., seuls, ou joints à une puissance de ^, telle que t^»p. Cela posé, 4^ contiendra toutes les substitutions des deux doubles suites C,, D,,..., C^, D'j,.... Supposons en effet qu'il contint seulement celles de la double suite C^, D,,.... Le groupe W s'obtient d'une part en combinant une puissance de ^ avec les substitutions C|, D«,...; d'autre part en combinant cette même puissance de g avec certains couples •W-4-a» i'V-f-2»--; ^\y A* Donc les substitutions dérivées de ces couples reproduisent,

aux puissances près de g, chacune des substitutions C, , D,, Soient

^r'^'C,, g'^'D,,... les substitutions qui résultent ainsi tie la combinaison de V-h2» ^o'+2f-» M* ^\^ et qui réciproquement, combinées entre elles, reproduiront ces dernières substitutions.

Soit*' le faisceau dérivé des substitutions g, ^J^, D^j,..., ài" = A'Cf Df'...: ses substitutions, en nombre 2^^"^^ sont échangeables entre elles, et aux substitutions eW^-a, ^Vh-2»---» -^t A* Leurs premières corrélatives seront donc échangeables entre elles, et laisseront invariables les indices x^^^* .>V+2.---> ^ç» Jç- L'ordre du groupe qu'elles forment est au plus égal a 2^^' f830). Donc 0' a 2"'^'^ substitutions au moins contenues dans le faisceau (*!.,, ^, ,..., av4-i» va>^+i). Ces- substitutions sont toutes de la forme

5^'c^"'CJ'D',^•..,=^^'^''C?•'Df'^..CJ^•D',2^.., OU comme / = o. par hypothèse, de la forme g^^'C/- 1)',^».... Dans Tune au moins d'enlrc elles, un des exposants 7,, $,,... sera ^o; et le faisceau (ju,, iibo..., «.v^,, iii>a'+f) contiendra toute la double suite C, , D'^,..., contrairement à l'hypothèse.

833. Cela posé, on voit, comme au numéro précédent: i"" que tous les couples cl,,, ift,,,..., .1»;, iftiç, sauf le premier, sont dérivés de substitutions

des formes g^'^'C,, ^^«Di,..., g'^'C^^ g^^'D'j,...; 2® que le groupe V d'ordre

a^ dérivé de g et de c^^ = ,a'C?' D{'»...C,^''D'/''... a 2- substitutions communes avec le faisceau [x^^ 'wb,). Ces substitutions se réduiront aux puissances de ^; réciproquement g et ses puissances, au nombre de quatre, appartiendront à W.

Ce point établi, le groupe (e-i.,, ift),,...) résulte de la combinaison de g, Co D|,..., C, , D', ,... avec une nouvelle substitution échangeable à C4, D,,..., Cj, D'j,..., et qui transforme ^ en Bg, Cette substitution est égale à Sc^', s étant une substitution abélienne propre, échangeable à ^, C,, D|, .. . , C^, D'j,..., et par suite se réduisant à une puissance de g, telle que g^. Donc M^ contiendra contre l'hypothèse (826) la substitution g^Si!.

834. Faisons maintenant correspondre aux substitutions^, Jl', C|,D|,..., Cj, D',,... dont le faisceau (a»,, aft>i,...) est dérivé, les suivantes :

(la '-^^ j ^o> Xay • • • > •^o-t-o'» Va-^-v' ^» ~^ ' » J^'«» • • ' > ^v-^^y X^-i-o' \ i

puis à chaque substitution de 4^, qui transforme g^ Jl',... .en ô^g*" ,^'^ . . ., ô^^"^'"'».. .,..., donnons pour corrélative la suivante :

L'ensemble de ces corrélatives formera un groupe, que nous désignerons

par 4^0-

En particulier, les substitutions de L étant permutables au faisceau (C,,.D|,..., Cj, D',,,..) et échangeables à g^, leurs corrélatives se réduiront à la forme

Xoj y% x^ -¥■ c^y^y j'o

jr,, /,,... a\ Xx -+- c\xx 4- . . . , 6', ^1 -4- rf',;^-, -+- . . . , . . .

Elles forment ^'ailleurs un groupe Lo contenu dans ^o- Si dans l'expression

des substitutions de L© on effaçait le premier couple d'indices ^'©fjo» on obtiendrait un nouveau groupe L'^, d'ordre 2^^^, lequel se confondrait évidemment avec le groupe complexe qui résulte de la fusion en un seul des deux groupes auxiliaires primaires A l' qui servent à la construction de L, et correspondent respectivement aux deux doubles suites C,, D,,...; C,, I)'

Soit J'o le groupe qui est à L'^, ce que J est à L dans la fin de l'énoncé du tbéorëme C (715). Ce groupe est contenu dans le groupe I^, analogue au groupe I du n^ 765. Celles des substitutions de J qui correspondent à celles de J'j^, seront donc échangeables à ^', aux puissances près dey ^ = 9 (765). Elles ont donc pour coVrélatives-dans 4^0 des substitutions pour lesquelles r„ = o, et qui formeront un groupe, que nous appellerons Jo.

835. Cela posé, admettons pour plus de généralité, que 4^0 soit décomposable. Si Ton changeait d'indices de manière à ramener 4^0 ^ sa forme type, les nouveaux indices se partageraient en systèmes (couples de systèmes) tels, que les fonctions linéaires des indices de l'un quelconque d'entre eux fussent remplacées par les fonctions linéaires des indices de Tun d'eux dans chacune des substitutions de ^0» et a fortiori dans chacune de celles de !«.

Nous allons maintenant établir que Vun des systèmes s, s',... de jonctions linéaires dont il s'agit est formé des indices Xq, Yq , seuls, ou joints à a?, , y, , . . . , ^'1. 7<j» à Xç^t , y^j^i , . . . , Xç^^, y^^fjf ou à tous ces indices à la fois.

Remplaçons les indices ^,, ji,..., a?ey, y^j par d'autres indices indépendants, choisis de manière à ramener /à sa forme type. Ces nouveaux indices se répartissent en général entre X systèmes (couples de systèmes) 1q,..., 2x,, contenant chacun iv séries, contenant chacune jx indices, X/xv étant égal à 0-. On peut de même remplacer les indices it?<,^.,,y<y^,,... par d'autres indices choisis de manière k ramener /' à sa forme type, et qui se répartissent entre X' systèmes (couples de systèmes), 2x,. . ., 2x+x'-i» contenant chacun 2v' séries, contenant chacune p! indices. Ces préliminaires posés, on voit, comme aux n*** 769-771, que l'un au moins des systèmes 8, 8',... contient une fonction 9 qui s'exprime à l'aide des indices a?o, J'o» et des indices d'un seul système tel que S^, arbitrairement choisi parmi ceux de la suite 2^, 2,,..., ^x+v-,.

Soit (p = Wo ■+- X' ^0 étant une fonction des indices de 2of et x une fonction de Xq, y^. Transformons ç par celles des substitutions de J^ qui ne déplacent pas le système 1q, On obtiendra |j.(2''— 1) ou |j.(2''-f-i) transformées différentes (769), suivant que /sera de première ^ou de seconde

catégorie. Opérant ensuite sur ces transformées les substitutions de Jo qui permutent les systèmes 2o»..., 2x i, on obtiendra un total de X|j.(2''d2i) transformées différentes, dont chacune appartiendra à Tun des systèmes de fonctions cherchés. Or ces fonctions dépendent de x et des aXfJiv indices de ^of*» 2>~i> dont le nombre est inférieur au leur (à moins qu*on n*ait X = |x = I et V = i ou a, cas d'exception sur lequel nous reviendrons tout à l'heure) : donc elles ne peuvent être distinctes. Donc deux au moins d'entre elles appartiennent à un même systèmes; ce système contiendra leur difTérence» laquelle ne contient plus que les indices de 2o-

836. Cela posé, on verra comme aux n*^ 739-740 que les indices de chacun des systèmes 2o,..., 2x», appartiendront à l'un des systèmes 8, §',.... Supposons, pour fixer les idées,, qu'ils appartiennent tous à l'un des deux systèmes s, s\ Il pourra se faire qu'étant combinés ensemble, ils fournissent la totalité des fonctions de ces systèmes. Admettons l'hypothèse contraire, et supposons que s contienne une fonction de la forme w -h tj;, w étant une fonction des indices de lo^** ^^ ^ une fonction des autres indices. Supposons que zs ne se réduise pas à "Zéro, mais contieraie ks indices d'un système lo. Soit s, le système qui contient ces indices (lequel sera égal à $ ou à s') : Jo contient une substitution qui ne déplace pas 2o, et qui change rs en une fonction différente w'. Soit s" le système qu'elle fait succéder à s. La fonction cr'-t- ^, qui appartient au système 8", serait la somme des deux fonctions rs -^ ^, ts' — ts, appartenant à 8 et 8, : résultat absurde, si les trois systèmes 8, s,, h" ne se confondent pas en un seul.

Donc tous les indices que contient la fonction ts appartiennent à s. Donc v{/ lui appartient. Admettons que ^ contienne quelqu'un des indices des systèmes l\;...y 2)+v-|. Celles des substitutions de J© qui n'altèrent pas cette fonction ne déplacent pas le système S; mais elles permutent entre eux tous les systèmes 2o,..., 2>|. Donc tous ces systèmes appartiennent à ^. De plus les substitutions de Jo, remplaçant ces systèmes les uns par les autres, laisseront le système s immobile. Les fonctions i|;, ^',... qu'elles font succéder à ^appartiennent donc àâ; 8 contiendra donc les différences vp — i{/',... et leurs transformées par les substitutions de Jq, lesquelles reproduisent par leur combinaison tous les indices de 2>,..., 2uv-i-

Donc si s contient une fonction où figurent ces indices, il les contiendra tous. Enfin il peut contenir une fonction 9 où figurent les indices :ro, 70. Il contiendra dans ce cas la fonction -^ formée par ceux des termes de 9 qui contiennent ces deux indices. Mais il contient un nombre pair de fonctions

dislinctes : donc il conûendra une autre fonction de ir„, y„, et par suite ces deux indices eux-mêmes.

Si 8 contient Xq, 70» notre proposition est établie. Dans le cas contraire, il contiendra tous les indices de 2o,..., ly-^-x'-i- H existe un autre système, -s,, contenant une fonction 9 dans laquelle figurent les indices Xq^Vq. Soit ç) = nr-f-/, X étant une fonction de ces deux indices, eizs une fonction des indices de 8. Si js différait de zéro, Jo contiendrait une substitution qui l'altère; soit zs'-^yh transformée de 9 par cette substitution, S2 le système auquel elle appartient. La fonction ^-+- ;(; serait la somme des deux fonctions ç et Ts' — zsy qui appartiennent respectivement à s, ^,; résultat absurde, les trois systèmes 8, s,. Sa ne se réduisant pas à un seul. Donc 9 ne peut contenir que Xq, joî et comme 8, contient au moins deux fonctions dislinctes ç, 9', il contiendra a?o» jo-

837. Supposons maintenant que les indices de lof-* ^x-i» combinés ensemble, reproduisent en entier un ou plusieurs des systèmes de fonctions s, s',.... Soient 8,, 82,... les autres systèmes de fonctions, 9 = 57 4- ^ une des fonctions de 8,«t7 étant une fonction des indices de lo^-..» 2x~i« et^ une fonction des autres indices. Si rs ne se réduisait pas à zéro, elle contiendrait par exemple dans son expression les indices de 2o, appartenant pour fixer les idées au système 8. Parmi celles des substitutions de J^ qui n'allèrent que les indices de 2o» il en est une au moins qui altère ts en la transformant en une autre fonction ts'. La différence ttt'— z?, étant entièrement formée avec les indices de 2o, appartiendra à s. D'autre part, la transformée de 9, tsr'-i- ^ appartiendra à un système 82, et sera la somme des deux fonctions 9 etz?' — tjr, qui appartiennent respectivement à §, et à 8, résultat absurde, s, 8|, $2» n'étant pas identiques. Donc ^ = 0.

Cela posé, l'un au moins des systèmes 8|, Ss»--- contiendra une fonction 9 de la forme v!\ -+- /, 7S\ étant une fonction des indices de 2x, et / une fonction de a?o, jo« Transformons 9 par celles des substitutions de J© qui n'altèrent pas les indices de 8; on obtiendra \'ii'{2*' ± i) transformées différenles. Ces fonctions, dépendant de i-+- 2X'|x'v' fonctions dislinctes seulement, ne pourront être distinctes, à moins qu'on n'ait X'ja'= 1, et v'= 1 ou 2. Donc deux d'entre elles appartiendront à un même système de la

suite §1, §2» On obtient le même résultat en supposant X'fjL'= i, v'= 1

ou 1, Car cbacun de ces systèmes contenant au moins deux fonctions distinctes, leur nombre sera au plus égal à la moitié v'-4- 1 du nombre des indices avec lesquels ces fonctions sont formées. Il sera donc inférieur à 2"'-+- 1 ,

nombre des transformées de 9. Ce point établi, on continuera le raisonnement comme précédemment.

838. Reprenons maintenant le cas oii Ton aurait XfJL= 1 et v = i ou 2. Il faut supposer en outre X'fJL' = i et v'= i ou 2, car tout est symétrique dans nos raisonnements par rapport à X, fx, v, et X', /x', v'. En outre, on ne peut avoir v = v'; car les deux groupes /, /' seraient semblables, et Ton tomberait ainsi sur un cas exclu. On peut donc supposer v= 2, v'= i. Cela posé, la fonction f =:tSo -h x ^ura X|x(2''4- 1) = 5 transformées différentes; quant aux nombre des systèmes s, 8',..., il ne peut dépasser v -h v' -h f =1 4» moitié du nombre total des indices. Donc deux transformées appartiendront nécessairement à un même système, et Ton pourra continuer le raisonnement comme tout a l'heure.

839. Notre proposition étant ainsi établie, supposons, pour fixer le^ idées, que le système s qui contient les indices x^, y^ contienne en outre

j?,, V,, . . . , a?ey, v<x, mais ne contienne pas a?^+i, j^+m Soient F et y les

groupes respectivement formés par celles des substitutions de 4^0 et de J„, qui n'altèrent que les indices de 8; T devra contenir 7..

Supposons d*abord Xv > i. On verra comme au n^779 que chaque substitution deO, premier faisceau de T, remplace les indices de chaque système/te / par des fonctions de ces seuls indices, et les indices ^0, j© ps^ï' des fonctions a© x^ 4- ^0 Jo» ^0 ^0 -J- ^0/0 de ces seuls indices.

8i0. La démonstration ne serait plus applicable au cas où, X et v se réduisant tous deux àTunité, .s ne contiendrait que quatre indices r^, Vo, «r,, V,. Mais soit dans ce cas

Jc,, y\ fl. j;. -\- c, r» 4- a, jc, -\- Ctj\, 6. x^ -f d^y» -h 6, ^1 4- ^/,^*i x», y a\x9 4- c\y^ -f- a\x^ -f- c\y\, b\x, -+- d\)\ 4- b\xy -r- d\)\

une substitution de 4>. Jg contient la substitution

h ~ I JTo, y^, jr,, j, ar„ y\, hx,, h'y, |,

oii h est une racine primitive de la congruence A^i^i (mod. 2). Cette substitution, appartenant à 4^^,, sera permutable à 0; donc A~* SA appartiendra à 4», et par suite sera échangeable à S, ce qui fournira les 16 conditions

miy LIVRE QUATRIÈME.

suivantes (après suppression de facteurs constants)

a , r/p — c, 6'jS^ «0 «i -H ^'o ^1 — «1 «, ^^ «I c\ — Cl d\^ a^ c^ -^ c^d^ — c, d\^ o, dx d\ — bx c\-^ (/« dx -i- b^Ci — rf, d\^dx b\ — &, d^^=d^ &, -h A, «, — 6, a',^ o,

/ / * Jl / II. Il I .IL I i.1 f . I J ••

«,6-, — r,a,^a,fl» -h c^b^ — a^a^^a^a^-k- c^b^ — c^b^^a^c^ -f- c^d. — ci.r-.E^o, d\b\- b\a\==d\d, -f- b\c, - d\d'=d\di ^ b'.c, - A'.c, E=r/>o -+- *>. - d\ b\~o.

En outre, S est abélienne propre, et d'ordre premier à 2. Il est aisé de vérifier que ce système de conditions ne peut être satisfait que si a^, fr|, c,, rf,, à^^, Aq, Cq, d\ sont tous nuls. On simplifiera cette vérification en remarquant que Ton peut profiter de l'arbitraire qui reste dans le choix des deux indices ^j,,jo pour faire en sorte que l'on ait a /^nonrf'o = o.

841 . Donc chaque substitution S de $ transformera les substitutions C^^, C>^ correspondantes à x^ et ày^, en Cî;C^;, Ci;C^;, transformées qui devront avoir le même caractère que les substitutions C^,, C^^. Or la substitution g ayant pour carré 5, sa correspondante C^r. » pour caractère 1. D'ailleurs le cas où l'on a DC^o(mod. 2) est exclu (705). Soit doncDC^ i. Les deux substitutions Si! et gê{! ont pour carré l'unité; les substitutions correspondantes ^o' Cu-,Çyo ont donc zéro pour caractère. Donc pour que CJ;C*; ait le même caractère que C^^, il faudra qu'on ait a<,^i, 60^0, d'où d^^i (mod. 2), le déterminant a^ d^ — b^c^, qui divise le déterminant de S, ne pouvant s'annuler. Donc les substitutions de $ laisseront invariable l'indice j^- Donc r ne pourra être primaire; car ses substitutions remplaceront évidemment les indices tels que jo» que les substitutions de 0 n'altèrent pas, par des fonctions de ces seuls indices.

L'absurdité de ce résultat démontre notre théorème.

842. En dernier lieu, soit ^"^ = 3*. Soient «i,,, iib,,... la double suite simple ou complexe dont fi' est dérivé,

les substitutions correspondantes, dont le faisceau est permutable au groupe liuxiliaire A, formé par les corrélatives des substitutions de ^. S(*ient d'autre part ^ la substitution d'ordre 80 dont les puissances reproduisent F, premier faisceau de L; A|, Bi,.,., A<y, B^; A,, B'j, ...;... les doubles suites qui, jointes à g, forment son second faisceau G. Les substitutions de G

seront de la forme ^PAi'Bj'... Ai-'B^'Aj^' B'j^'...; et si l'une de ces substi-

tutions, dans laquelle Tun des exposants y^, d'i»... par exemple ne soit pas QuI, appartient à Ç, on verra, par un raisonnement que nous avons déjà reproduit plusieurs fois, que les substitutions du faisceau (A\, B'^,...) appartiendront toutes à ç.

Supposons, pour fixer les idées, que A,, B|,..., A^, B<y n'appartiennent pas à §*, mais que les substitutions des autres doubles suites A'^, B',,. ..;... appartiennent a ce faisceau. On pourra admettre que la double suite X|, •Obi,... ail été formée de telle sorte, que e^<y+4, ift)<y+4,... se confondent respectivement avec A'j, B'j,...;

Cela posé, les substitutions g^, A|, B|,... étant échangeables à A'^, B'j,...;..., et ayant pour ordre une puissance de 2, les substitutions de A qui sont leurs corrélatives seront échangeables a a„+^, 6<,^4,.... Étant d'ailleurs abéliennes, elles se réduiront à la forme

•^«-♦-3» Xs-i-i Jv+i \^if X** ' ' ' f '^o-i-it Va+i )y 9<»-»-3 ( "^1» ^"1» • • • » «^ff-l-S» ^"ff+S )

^9-^ij X^+* <^ff-+4» ^Vff-f-i

Enfin elles ont pour ordre une puissance de 2. Donc il existe une substitution / = a*'6î'... dérivée de «i, 6|,..., a^+a, 6^+3» qtii leur soit échangeable k toutes (186).

La substitution T= o)i>**aft)f*... sera évidemment échangeable à chacune des substitutions g^, A|, B«,... aux puissances près de 6; et l'on aura T = T| Aî'BJ'..., T| étant échangeable a A», B,,... et transformant g* en g^ ou en Og^=g^^.

Cela posé, L, et par suite J, contient la substitution 9 qui remplace chaque indice de L par son correspondant de la série suivante, laquelle est abélienne propre et échangeable à A,, B^,...;..., et transforme g en g^. Si T, transforme g^ en g*^, on aura T, =/r^T2, T^ étant abélienne propre et échangeable à g-', A|, B^,..., et, par suite, se réduisant à une puissance àeg. Cela posé, T appartenant à ff, auquel les substitutions de 4^, et en particulier gf sont permutables, il en sera de même de g~* T^ g = g'^^ '- résultat absurde, car g"^ est d'ordre 10, tandis que les substitutions de ç ont pour ordres des diviseurs de 4*

Donc T| est échangeable à g*, et par suite se réduit à une puissance de g, telle que g^. On aura donc T = g^PAî'B^...; mais T appartenant à Ç, cette

<i58 LIVRE QUATRIÈME.

relation ne peut avoir lieu, par hypothèse, que si y, =c?, = ... = o, d'où T = gP. D'ailleurs! a pour ordre un diviseur de 4. ©t ne se réduit pas à une puissance de d=g*^; donc T=g^^ ou ^•°; et ff, contenant les deux substitutions T et ÔT, contiendra g^^.

On peut évidemment supposer que la double suite X|, t)b,,... ait été choisie de telle sorte que la première de ses substitutions, X|, ne soit autre que g^^. Les substitutions g^*, A,, B,,... lui étant échangeables, leurs corrélatives seront de la forme

Elles ont d'ailleurs pour ordres des puissances de 2. A fortiori, les substitutions qu'on en déduirait en supprimant les fonctions/, (j,,..., ^aa+st ^2^+3; dont elles accroissent Xt jouiront de cette propriété* Donc parmi les substitutions dérivées de b^,..., «2^+3» ^2ff+3» il en existe une au moins u échangeable à ces dernières substitutions. Les corrélatives de g^. A,* B,,... seront évidemment échangeables à u aux puissances près de a,. Soil U la substitution formée avec oft),,... comme u Test avec 6|,...; g^. A,, B,,... seront échangeables à U, aux puissances près de ^\ot=g^^. D'ailleurs U~*^'U =^*'*^'^®S U"* A,U = A,g^^*^^',... doivent avoir même caractéristiques que g^*. A,,...; ce qui exige que s, e',... soient pairs. Donc U est échangeable à g^. A,, B,,..., aux puissances près de g*^ = 6.

Ce point établi, on verra que U, comme tout à l'heure T, doit se réduire

à une puissance de g^^ : résultat absurde, car U, dérivée de uî>, ne peut

être une puissance de g^^ = .1.1.