LIVRE DEUXKHB

systèmes telle, que l'un des nomeaux sysfemes son contenu dans T et contienne U;

Etc.. jusqu'à ladernière répartition X, X',..., dans laquelle chaque système ne contiendra plus qu'une lettre.

Soit X le nombre des systèmes S. S',.... que nous ilésigoeroiis mainteiianl par S,,---. Sy : chacun d'eux est formé de la réunion des lettres d'un certain nombre de systèmes de la suite T, T',... (49). Désignons en général par Tjj,..., T,n ceux des systèmes T. T',... qui sont contenus dans Sj. : cliacun d'eux, tel que T^,^, sera formé de la réunion des lettres d'un certain nombre de systèmes pris dans la suite V, U',..., et que l'on peut désigner parU^,^, U^,^,,.

Cela posé, s' il existe quelque autre répartition des lettres en systèmes s, a'

tels, que chaque substitution de G remplace tes lettres d'un système par celles d'un même système, on pourra déterminer une nouvelle suite de répartitions Jouissant des mêmes propriétés que la suite S, S',.,,; T, T',.,. ; U, U'....; .... el parmi lesquelles se trouve la nouvelle répartition s, s',....

En effet, soit s celui des systèmes s, s',... qui contient ta lettre qui forme à elle seule le système X : cette lettre lui sera commune avec chacun des

systèmes successifs E, S, T, U X. E contient évidemment toutes les

lettres de .s; X n'en contient plus qu'une. Soit donc, pour lîxer les idées, S le premier système de la suite E, S, T, U,..., X qui cesse de contenir toutes les lettres de- 8. D'autre part, s contient toutes les lettres de X (qui se réduisent à une seule) et une partie seulement de celles de E : soit, pour fixer

les idées, f le premier système de la suite E. S, T, U X dont s contienne

toutes les lettres.

-S résultera de la réunion d'un certain nombre de systèmes de la suite

Ui,,., \ix.y,tf-- Soit G le système résultant de la réunion de ceux de

CCS systèmes qui sont communs à 8 et à S : il existera (49) une nouvelle répartition en systèmes ^, C,... dans laquelle l'un des systèmes soit précisément E.

Cela posé, la suite des répartitions

jouira des propriétés voulues.

Soient en elîet Ui,p,f . U,,p'.y,..., ceux des systèmes de la suite U, U'. . . . qui sont contenus dans E : les indices {i, JS',... seront tous différents.

En etTet, supposons que C contint les deux systèmes U,,p, -y et Ui^Y' ■'

contient en outre, par construction, le système II=^U,,,,,. Soient a une lettre de ce dernier système, b une lettre du système Ui,^,^; G contient une substitution g qui remplace h par a : cette substitution remplacera U«,^,^ par U,,,., t et Ui.p.y' par un autre système U;r,r»* ^^^^ '^^ lettres feront partie de s que g ne déplace pas; mais b ei a appartenant respectivement aux systèmes T,^p et T,,, , g remplace ces deux systèmes l'un par l'autre : donc Ux,>'.« est contenu dans T,,4; donc a?=i, j=i; donc 6 contiendra, outre le système Ui,,,,, un autre système au moins de la suite U«, «,!,..., U«,,,v: il ne peut pas les contenir tous, car il contiendrait T,,4 =T, et à fortiori T serait contenu dans s, contrairement a notre hypothèse. Mais, d'autre pari, s'il n'en contient que quelques-uns, U,. ,,,,..., Ui,,,»» on peut opérer une nouvelle répartition en systèmes dans laquelle l'un des nouveaux systèmes soit formé de la réunion de ces systèmes U,,,,i,..., Ui,,,^ communs à 6 et à T : ce uouveau système contiendrait U et serait contenu dans T, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Les indices j3, |3',... étant tous différents et compris entre i et jui, le nombre des systèmes Uj^p^^, Uj^p'^y/,..., sera au plus égal à [jl. Nous allons prouver, d'autre part, qu'il ne peut être moindre que jx.

En eflet on sait qu'il existe une autre répartition en systèmes dans laquelle l'un des nouveaux systèmes sera formé des systèmes T«,p, T|,p',... de la suite Tf,^ qui ont des lettres communes avec @. Si j3, ]3',... ne reproduisaient pas la suite complète des nombres i, :2,..., /x, ce nouveau système, qqi contient T, serait contenu dans S sans se confondre avec lui, ce qui est iiipposé impossible.

Enfin il ne peut exister aucUne répartition en systèmes tels, que l'un des now^ecuÂX systèmes^ 6, contienne U et soit contenu dans S : car le nombre des j^stèmes Ui^p,^,..., dont il est formé, serait inférieur à /x, ce dont on vient de voir l'impossibilité.

On voit de la même manière : i° que Ua^p,^,..., Ua'.p'.Y'»--- étant ceux des systèmes \ix,y,z Ç^^ contient S, on ne pourra avoir à la fois a = a\ j3 = |3'; 2^ que le nombre des systèmes Ua,p,Y> .. . est égal à X/x; 3° qu'il n'existe aucune nouvelle répartition dans laquelle un des systèmes contienne 6 et soit contenu dans s, etc.

k k k Remarque. — A:, t-» r—> r^ — ).•• étant respectivement les nombres de

lettres de E, S, T, U, ..., ceux de E, s, 6, U,... seront respectivement