Théorème. — Soient
Ec c' • T T' • lî 11' • • \ X'
tj èî> Ô > • • • ï ^J *^ » • • • > ^^f ^-'> .••J».»^ ^V> •'■' f • • •
é/^e/o? 5i///e5 é/e répartitions quelconques satisfaisant aux conditions indiquées au n"" 50 ;
Soient A', ^'^ r^ » ^ — 5 • • • /e5 nombres de lettres respectifs rfe E, S, T, U» ... 9 X ;
j^ j-'i - — >••• ceux de rS, ^, t),... : les facteurs l, m, n seront^ àfordreprés^ les mêmes que les facteurs X, fx, v, —
En effet nous venons de voir qu*on peut trouver une suite de répartitions en systèmes contenant les facteurs X, jx, v,. .. et dans laquelle figure la répartition 8, s',.... Ou en déduira ensuite une nouvelle suite de répartitions où figureront les répartitions 8, s', . . . et G, G', . . . , les facteurs étant toujours égaux, à Tordre près, k X, /x, v, etc.
La proposition ci-dessus montre que Ton peut classer les groupes non primitifs d'après le nombre et la valeur des facteurs X, jul, v,..., que Ton pourra appeler les facteurs de non-primitivité du groupe considéré. Le nombre de ces facteurs, également constant, sera le degré de non-primitinté .
52. Soit maintenant H un groupe transitif quelconque contenu dans G : chacune de ses substitutions remplacera évidemment les lettres de chacuû des systèmes S, S',. . par celles d'un même système; de même pour les autres
répartitions en systèmes T, T', . . . ; U, U', Mais il pourra se faire qu'on
puisse déterminer une nouvelle répartition des lettres en systèmes 2, 2',.., tels : i^que chaque substitution de H remplace les lettres de chacun des systèmes!, 2',... par celles d'un même système; 2® que 2 contienne Tun des systèmes E, S, T, U,...,X, par exemple U, et soit contenu dans le précédent, T.
S contenant -? lettres et T en contenant r-> 2 en contiendra alors ^— iw^
/ //x A)Ji
m étant un diviseur de fx.
Théorème. — Les choses étant ainsi posées, si H est permutable à toutes les substitutions de G ^ et si l'on choisit la répartition 2, 2',..., de telle sorte que m soit minimum^ [i sera nécessairement une puissance exacte de m.
Car désignons par /,,,,,, , ^x,m, .»•••» ^m,i,i... ceux des systèmes delà suite T, T',... dont la réunion forme 2; soit/,, 2,1 un autre système de
cette suite, non contenu dans 2; G contient, par hypothèse, une substitution g qui ne remplace pas les lettres de chacun des systèmes 2, 2'... par celles d'un même système. Cette substitution remplacera 2, 2\ . . . par d'autres systèmes de lettres G, 6',... tels, que les letlres de chacun dHîux soient remplacées par les lettres d'un même système dans chacune des substitutions du groupe transformé de H par g^ lequel groupe n'est autre que H.
Chacun des systèmes 2, 2',... ayant toutes ses lettres contenues dans un seul des systèmes S, S',... que g permute les uns dans les autres, les nouveaux systèmes c, 5',... jouiront de la même propriété. D'autre part, chacun des systèmes 2, 2',... étant formé par la réunion des lettres de m systèmes pris parmi ceux de la suite T, T',... que g remplace les uns par les autres, chacun des nouveaux systèmes 6,6',... jouira de la même propriété. Désignons par 6jp celui de ces nouveaux systèmes qui contient les letlres de ^x, i,i, .5 les m — I autres systèmes qu'il contient, et que l'on peut désigner par /x,2,i . » • • • » ^x,m,i.. seront essentiellement différents de ceux que contient 2.
Car si G^ contenait les mêmes systèmes que 2, tous les systèmes 6, 6',... coïncideraient évidemment avec les systèmes 2, 2',..., ce qui n'a pas lieu t et si 6. avait m' systèmes seulement communs avec 2, m' étant plus grand que I et plus petit que m, on pourrait (49) opérer dans H une répartition en systèmes dans laquelle l'un des nouveaux systèmes serait formé seulement par les m' systèmes communs à 2 et à 6^ , ce qui est contraire à l'hypothèse d'après laquelle m est choisi minimum.
Les systèmes 6, , . . . , 6;^ , . . . , 6,„ seront donc essentiellement différents et contiendront m^ systèmes de la suite T, T', . . . , e/, d'autre part ^ ils sont tous contenus
dans le système S, qui contient à la fois /, ,,,,,..., /m, i,<, . Car ce système, contenant une partie des lettres de chacun d'eux, les contiendra toutes.
On peut d'ailleurs (49) opérer dans le groupe H une nouvelle répartition en systèmes 6, 6',..., dans laquelle l'un des systèmes 0 soit formé de la réunion des systèmes 6,,..., 6„,. Si fjL = /w*, cette répartition se confondra avec la répartition S, S',....
Soit au contraire fji>m^; G contiendra une substitution h qui ne remplace pas les lettres de chacun des systèmes 6, 6',... par les lettres d'un même système; soient o-, a',... et t, t',... les systèmes de lettres par lesquels elle remplace respectivement 2, 2',... et 6, 6',...; chacune des substitutions (lu groupe transformé de H par A, lequel est identique à H, remplacera les lettres de chacun des systèmes o-, a', . . . par celles d'un même système : de même pour les systèmes t, t',.... D'autre part, chacun de ces systèmes (7, a',... et 7, t',... aura toutes ses lettres contenues dans l'un des systèmes
(Il LIVRE DEUXIÈME.
S, S', Enfin ils serunl respecUvement formés (ics lellns îles m syslènie^
de la suite T, T',... que A fait succéder à ceux qui entrent dans la composition (te S. 2' E, 6'
Soient donc 2 l'un quelconque des systèmes de la suite 2. 2',...;
c E,„ ceux des syslèmes dp la suite B. e',... qui ont un système de Va
suite T, T',.-. commun avec 2; ct et t ■:„ ceux des systèmes des suites
17. ff',... et T, t',... que h fait succéder à 2 et à G,...., F,„. Cliacun des systèmes t t„, T, par exemple, aura en commua avec (7 un système de la
suite T, T.... {celui que h fait succéder à celui qui était commun à G, et \^ 2).
Eu choisissant convenablement 2, on peut faire en sorte que l'un au moins
des systèmes (7. t t,„ contienne des lettres appartenant à divers systèmes
de la suite 6, 6',.... Car si, quel que fût 2, toutes les lettres que contient c
appartenaient à 9'. t -,„ contiendraient chacun au moins une lettre
de 6' : et si toutes les lettres qu'ils contiennent appartenaient au même système de la suite 9, 9',..., elles appartiendraient toutes à 6'- D'ailleurs le système résultant de la combinaison de t,,..., t,„ contient, comme 9', m' systèmes delà suite T, T',... : il contient donc autant de lettres que 0'.
Donc la réunion des systèmes r r,„ reproduirait ©', de même que la
réunion de e,,...,G„ reproduit 9; et la substitution A remplacerait les lettres de 0 par celles de ©'. Le système 2 étant d'ailleurs quelconque. 9 sérail un système quelconque de la suite 9, 9'.... ; donc h remplacerait les lettres de chacun de ces systèmes par celles d'un même système, ce qui est contraire à notre supposition.
Admettons donc que ?, par exemple, contienne des lettres appartenant à
divers systèmes de la suite 9, 9' Soient t, f,... les m systèmes de la
suite T. T',... qui forment c par leur réunion; ils appartiendront tous îi des systèmes différents de la suite 0, 9' Car si m' d'entre eux étaient communs à ff et à 9, m' étant plus grand que i et plus petit que m, on pourrait (49) opérer dans II une nouvelle répartition en systèmes dans laquelle l'un des nouveaux systèmes fût formé seulement par la réunion de ces m' systèmes communs, ce qui est contraire à l'hypothèse d'après laquelle m est choisi minimum.
Soient donc 9 , 9,„ ceux des systèmes de la suite 9. 9'.... auxquels
appartiennent respectivement f, t' iis contiendront entre eux tous m' svs-
lémes distincts de la suite T, T' etc. : d'autre part, ils sont tous contenus
dans celui des syslèmes S, S'.... c/ui contient t; car ce système, contenant une partie des lettres de a. les contiendra toutes; il contiendra donc /, /'....,
DES SUBSTITUTIONS. ii
qui font respectivement partie de 0, 0',...; il contiendra donc 0, 0',.... Donc fx est au moins égal à /n'. On voit de même que si fji>/w*, on aura fx = m*, etc.
53. Théorème. — Un groupe G permutable à un groupe non transitif H ne peut être primitif.
Soient en effet a, «1,... les lettres que H permute avec Tune d'elles a; b, b^,... les lettres que H permute avec une autre lettre é, etc. Chaque substitution ^ du système G remplace les lettres a, a^,... par un autre système de lettres jouissant de la propriété d'être permutées ensemble par les substitutions du groupe transformé de H par g, lequel se confond avec H. Ce système de lettres sera donc Tun des suivants : a, a,,...; 6, 6,,...;....
D'ailleurs si les systèmes a, a,,...; 6, 2^,,...;... n'ont pas tous le même nombre de lettres, il est clair que g^ ne pourra les permuter ensemble, et le groupe G sera lui-même intransitif.
Corollaire. — Soient G un groupe quelconque; g^ A, i,... ses substitutions; g l'une quelconque d'entre elles. Ces substitutions transforment évidemment les unes dans les autres les substitutions g^ hr^gh^ i^^gi < ^H^s sont donc permutables au groupe [g, hr^gh^ i''*gi,...). Si donc ce groupe n'est pas transitif, G ne sera pas primitif.
§ IV. — Groupes composés. — Facteurs de composition.
54. Nous dirons qu'un groupe G est simple, s'il ne contient aucun autre groupe auquel ses substitutions soient permutables, composé dans le cas contraire.
Soit G un groupe composé quelconque : on pourra déterminer une suite de groupes
11, XI, XI ,••*, JL, !.,■•., A, • . • , I,
telle : i^ que chacun des groupes de la suite soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions; 2° qu'il ne soit contenu dans aucun groupe plus général Jouissant de cette double propriété; 3° que le dernier groupe de la suite soit formé de la seule substitution i .
Car soient H un groupe aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans G et permutables à ses substitutions; I un groupe aussi général que possible contenu dans H et permutable aux substitutions de G ;
i2 LIVRE DEUXIÈME.
K un groupe aussi général que possible» contenu dans I el pernnulahle aux substitutions de G» etc. Soient, d'autre part, H' un groupe aussi général que possible parmi ceux qui contiennent I, sont contenus dans H et permutables aux substitutions de H; H'' un groupe aussi général que possible parmi ceux qui contiennent I, sont contenus dans H' et permutables à ses substitutions, etc. La suite G, H, H', H",..., I, !',..., K,..., i, formée des termes G, H, I, K,..., I, des termes intercalaires H', H",..., des termes analogues r,... qu'on pourrait insérer entre I et K, etc., jouira évidemment des propriétés voulues.
N N N N N Soient respectivement N, -^> r— > ^ — ;»••- ^ — -, 1 ^ — j >»••• les
ordres de ces groupes successifs : les facteurs X, jjl, fx',..., v, v',... pourront être appelés \q^ facteurs de composition du groupe G; leur nombre sera son degré de composition,
55. Théorème. — Si, par un procédé quelconque, on détermine une suite de
groupes G, i>, S'. • • • » 5> • . » i jouissant des propriétés indiquées au numéro pré-
N N cèdent, et dont les ordres respectifs soient N, j» r— j--- les facteurs /, /n,...
seront, à l'ordre prés ^ identiques aux facteurs de composition )., fji, |x',..., v,
Nous établirons que cette proposition est vraie pour le groupe G si elle est vraie pour le groupe 5; de même elle sera vraie pour S si elle Test pour 5'f etc., jusqu'à ce qu'on arrive à l'avant-dernier groupe de la suite G, 5» 5'»'-«» ^f-» qui sera simple, et pour lequel la proposition sera évidente.
Considérons les groupes de la suite G, H, I, K,..., 1. Soit, pour fixer les idées, K le premier des groupes de cette suite qui soit contenu dans 5 (le dernier, formé de la seule substitution i, l'est nécessairement); soient I, kt, ^2,..., ka^i les diverses substitutions de K, et supposons, pour fixer les idées, que la suite G, H, H',...,I, !',..., K,..., 1 ne contienne entre G et I aucun autre terme que ceux que nous y écrivons. Le groupe I contenant K, ses substitutions, en nombre avv'..., pourront (39) se mettre sous la forme du tableau suivant :
OÙ I, «,,..., «vv' -I sont des substitutions de 5 telles, que deux quelconques
DES SUBSTITUTIONS. i3
d'enlie elles ne satisfassent à aucune relation de la forme
'Po = **» o" 'Pu = 'p. **« .
mais choisies d'ailleurs d'une manière quelconque. Si donc on convient de poser 1*0 = I et ko = i, les substitutions de I pourront se mettre sous la forme générale /p^»» oix a peut prendre successivement les diverses valeurs o, I , . . . , a — I , et ]3 les valeurs o, . . . , vv'. . . — i . De même les substitutions de H' pourront se mettre sous la forme K^i^K, Aq,..., A^.,... étant des substitutions convenablement choisies, en nombre |x'; celles de H pourront se mettre sous la forme h^K^i^k^^ l'indice y variant de zéro à fx — i ; enfin celles de G sous la forme g^h^h^i^k^, l'indice cf variant de zéro à X — i .
Cela posé, les seules substitutions communes à^etàl sont les substitutions K . En effet, soit K' le groupe formé par ces substitutions communes : il est permutable aux substitutions de G ; car K' étant contenu dans I et dans ii, les transformées de ses substitutions par l'une quelconque des substitutions G, permutables à la fois à I et à 5> appartiendront à la fois à I et à 5» et par suite à K'. Or le groupe K' contient les substitutions K et n'en peut contenir d'autres, K étant par hypothèse un groupe aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans I et permutables aux substitutions G.
D'autre part, en combinant ensemble les substitutions 5 ^^ I. on doit reproduire toutes les substitutions de G. En effet les substitutions de G, élaut permutables aux groupes 5 et I, transformeront en lui-même le groupe F dérivé de leur combinaison. Ce groupe est plus général que 5 ' s'il ne contenait pas toutes les substitutions de G, on aurait ainsi un groupe partiel F plus général que 5 et auquel les G seraient permutables, ce qui est supposé impossible.
56. Ces deux points établis, supposons les substitutions £ mises sous la forme gihyh\.i^ka : si cf, y et y' ont le même système de valeurs dans deux de ces substitutions, ]3 aura également la même valeur. Car soient g^a, Ay, A/ ip. *ao = So et ^3, A^^ A'^ ip^ ^«^ = S< ces deux substitutions : 5 con-
tient la substitution
S. S, = k^ jp, /„. Ar.. .
substitution qui fait partie à la fois du groupe 5 et du groupe I dérivé des substitutions i et k, et qui par suite appartient nécessairement au groupe K.
4i UVRE DEUXIÈME.
Soit /la, cette substitution; il vient
relation impossible par hypothèse» si JS^ diffère de jSq.
D*autre part, toutes les substitutions de G seront de la forme i^s^ s désignant une substitution de 5* En effet les substitutions G se réduisent à celles qui dérivent del et de 5 (55). Soitip^^a. ^< *p,^a,^2» P^r exemple. Tune d'elles, 5, et 5^ étant des substitutions de 5; eH^ p^ut se mettre sous la forme «p, ^a. 'p, • ^'i ^a, ^2 » ^'1 étant la transformée de ^, par «p^. Or «p,^a»'p,» faisant partie du groupe 1, peut se mettre sous la forme i^k^; K fait partie de S; il en est de même de s\^ transformée de 5| par la substitution ip,, permutable a 5; il en est de même de kg^ et de ^2 • Jonc la substitution considérée est de la forme i^s, s étant une substitution de 5-
On conclut de là que 5 contient une substitution de la forme g^h^h^i^k^^ quel que soit le système de valeurs que Von donne à cf, 7, 7' et a.
En effet, le nombre des systèmes de valeurs des indices d*, 7, 7', a est X/x/m'a. A chacun d*eux correspond au plus une substitution de 5> car s'il en existait deux, elles devraient différer par la valeur de l'indice J3, ce que nous avons démontré impossible. Si donc il y avait quelque système de valeurs de ^^ 7* yS OL auquel ne répondit aucune substitution, le nombre des substitutions de 5 serait inférieur à XiiitJa^ et par suite celui des substitutions de la forme i^s serait inférieur à X/x/x'avv'.... Ce résultat est absurde, car toutes les substitutions de G, en nombre N =X|XjjL'vv'.,.a, se ramènent à cette forme.
57. Soient maintenant À'^ip. = (A'^,), A'^jp^ = (A',),. .., h^i^=[K^)^. .. celles des substitutions de 5 pour lesquelles ù=o^ 7 = 0, a = o; soient de même hQi^^= (Ao)»---» A^ip' = (A^),... celles de ces substitutions pour
lesquelles ù = o, 7^=0, a = o; enfin go%={go)^"^ gi%={g^)^"' celles de ces substitutions pour lesquelles 7 = 0, 7'= o, a = o.
Toutes les substitutions de Informe [gi)[h^) (A'^,) A» appartiennent mcfe/nment au groupe 5 ; réciproquement toute substitution de 5 sera de cette forme ; car 5 ne contient que X/xjx'a substitutions, et les X/xjx'a substitutions que donne cette forme en y faisant varier (?, 7, 7', a sont toutes distinctes. En effet, soit (g'8j(A^J( A^)*«,= (^8.) (Ay.)(A'^) ^«. : remplaçant {g^.),... par leurs valeurs, il vient
^«,M. — gj, M,, d'où gTî. M. Mr* - g^*. ,
Mo et M| étant des substitutions du groupe H dérivé des substitutions .A, h\ I, h. Cette égalité ne peut avoir lieu par hypothèse que si à^^^èy. L'égalité admise se réduira ainsi à (AyJ (^'/ )^a,= (^y.) (^t')^»»» ^^ ''^^ verra de même que yo = 7i » puis que 70 = 7 j , et enfin que «« = «i •
On verra de la même manière que G, H, H' sont respectivement formés des substitutions des formes suivantes :
i^{g^){'i,){h\)lu. i^{h,){li\)lu. i,{li\)K;
car les substitutions i^[H^)Kf par exemple, font évidemment partie de H', sont toutes distinctes entre elles, et leur nombre est égal à celui des substitutions de U'.
Les substitutions désignées primitivement par g, h, h' ayant actuellement disparu du calcul» nous supprimerons, pour plus de simplicité, les parenthèses qui distinguaient jusqu'ici les substitutions (^$), (A^), {h'^).
On voit maintenant aisément que Von a entre deux substitutions quelconques, i^kg^=zS et g^hyh\,kg:f = Tf prises respectivement dans les deux groupes l et ^j une relation de la forme ST = TS^a//.
En effet la substitution S*"* T"* ST fait partie du groupe I, car elle est le produit de deux substitutions, dont Tune S-* fait partie de ce groupe, et dont Tautre en fait partie également, étant la transformée d'une substitution de I par une substitution permutable à I. D'autre part, S~*T~*ST peut être considérée comme le produit de deux substitutions : l'une T appartenant au groupe 5; l'autre S"* T""* S, transformée d'une substitution de S par une substitution qui lui est permutable. Donc S'~*T~*ST appartient simultanément à I et à 5, et par suite à K. Donc S~* T-* ST — k^^^, d'où ST = TS*a".
38. Des développements qui précèdent nous allons actuellement conclure la démonstration de notre proposition.
Soient G, 5» hJ\ K,..., i la suite des groupes respectivement formés des substitutions des formes
ils ont pour ordres N, —, — » —, — ?> —, sr-? — — ij — 75 —
■ vv . . . vv . . A vv . . . A|[x vv . . . A|ui|ut
Nous allons établir : i** que la suite des facteurs vv'. ..,)., jx, [x\ . . est, à l'ordre prés, la même que la suite des facteurs X, jx, jui'..., v, v', . . . , ce qui revient à prouver que les facteurs v, v',... se réduisent à un seul; autrement dit, qu'/7
n'y a dans la suite G, H, H', I,..., K,..., i aucun groupe l intermédiaire entre I et K; a® que chacun des {groupes G, Si J» J't K,..., i est permutable à toutes les substitutions du précédent; 3° quil est aussi général que possible parmi ceux qui jouissent de cette propriété.
i"" En premier lieu, il est absurde d'admettre que la suite G, H, H\ I,..., K,..., I contienne un groupe V intermédiaire entre ïetK. Eq effet, les substitutions I lui seraient permutables par définition; les substitutions de la forme ^sA^A'^. léseraient également. Car soit «pAa une quelconque des substitutions de r : sa transformée par ^gA^A'^. peut (57) se mettre sous la forme
h *'«('? *«)"' (gi ^T 'v)""' 'j» *« S^ ''y ''t == h **« **«'»
et fera partie de V, qui contient, avec i^kg^, toutes les substitutions de K. Les substitutions G, qui dérivent toutes de la combinaison de I avec les substitutions g^h^k'^, seraient donc permutables à V. K ne serait donc pas aussi général que possible parmi les groupes contenus dans I et permutables aux substitutions G, résultat contraire à la loi de construction de la suite G, H, I, K,..., I, et parlant inadmissible.
2'' En second lieu, considérons Tun quelconque des groupes de la nouvelle suite, J' par exemple : il est permutable aux substitutions du précédent^ J. En effet, ces substitutions résultent de la combinaison des substitutions J', évidemment permutables à leur propre groupe, avec les substitutions h^. Ces dernières substitutions, faisant partie du groupe H, sont permutables au groupe H' formé par les substitutions i^K^k^. On aura donc, quels que soient y, j3, y et a, une relation de la forme
h~' i^ h\, A-, Ik - /p, IC **.. »
ou
Ar' ip h^ fÇ' h\, ka II. — 1^, //^ /r,, ,
ou, en remarquant qu'on a une relation de la forme if^hy = h^i^k^,^ (57),
/? A'a, A~' h'^, ka At = «Vi h'^ **«• y relation qui ne peut subsister que si /S = ^, , et d'où Ton déduit ensuite
h~' h\, A*, h^ = kZl le A «, ,
ce qui montre que la transformée de Kk^, par h^ appartient au groupe J'.
Mais les substitutions de J' sont toutes de la forme K^k^ : donc h^ est permutable à ce groupe.
3° En dernier lieu, il n'existe aucun groupe plus général que l\ contenu dans J et permutable à ses substitutions; car s*il y en avait un, y\ soient S, S,,..., S;„,... ses substitutions, T une quelconque des substitutions de J : on aurait, quel que soit m, une relation de la forme l'~*S;„T = S«. Considérons le groupe F, formé par la combinaison de V avec les substitutions ip : ses substitutions sont de la forme i^^m\ car soit par exemple «p, S;„, ip, S;„, l'une d'elles, on aura (57)
ce qui réduit la substitution proposée à ip, «p, S,„, A»^ S,^ j mais /p, ip,, étant une substitution de I, peut se mettre sous la forme ip^»; ^a est contenu dans J' et par suite dans J", de même que S;„, , k^, , S,„^, ce qui réduit la substitution donnée à la forme ipS,;,.
Le groupe T est plus général que le groupe H'; car les substitutions de ce dernier groupe sont de la forme i^K^ka^. Or soit S une substitution de J" qui ne soit pas contenue dans J', et qui par suite ne soit pas de la forme K^k^. : elle est de la forme h^K^kg,^ et sera (57) essentiellement différente de toutes celles de la forme i^K^k^\ elle ne pourra donc appartenir à H' : mais elle appartient à T : donc T est plus général que H'.
D'autre part, F est contenu dans H et ne contient qu une partie de ses substitutions. En effet, H contient les substitutions tp et les substitutions h^K^k^ du groupe J, dont les substitutions S,„ font partie. Soit maintenant T une substitution de J qui ne soit pas contenue dans Y : elle ne sera pas de la forme S,„. D'autre part elle sera de la forme h^h^kg^, et par suite ne pourra pas davantage être de la forme i^S,n : elle ne fera donc pas partie de J".
Enfin F est permutable à toutes les substitutions de H. Car soit ip,T l'une de ces dernières substitutions, T étant une substitution de J; soit, d'autre part, ipS,rt une quelconque des substitutions de F. S,„ et T"* appartenant a 5» et 'Pi» 'X*'P'Pi ^ '• ^^ ^"^^ (^'^) ^^^ relations de la forme
S« /p, :=^ /p, Sm K f T-' ip7' /p /p, -- /p7' /p /p, T-' /r.. .
La transformée («p, T)~*ipS;n«p,T se réduira donc à la farme
'pT' h h. T-» A-,, S« /r.T =: /-' i\ /p. . T-' /r.. T . T- S« T . T- /r. T.
Or cette substitution appartient au groupe F : car ce groupe contient ip, et ip; il contient de même la substitution T"*S;„T, laquelle, se réduisant à S„,
frtil [torlii; de J"; il conlieni enfin le groupe K. auquel T est permutable :
donc il coiilient T-'AaTetT-'X„,T.
Si donc il exislail un groupe tel que J". il oxislerait un groupe F plus général que H', coutenu dans li el permulalile aux substitutions H, ce qui est contraire à la loi de construction delà suite G, il. H', 1, K,..., i.
Les deux suîles de groupes G, 5- J» J'.---. ' et G, 5. 5'- 3,..., i jouiront donc toutes deux de la propriété que chacun des groupes qui les forment est aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent et permutables à ses substitutions. Il en sera à fortiori de même des
suites partielles fn J. J',-.-. i et 5, 5', 3 i. où les facteurs qui expriment
les rapports des ordres des groupes successifs sont, d'une part, X, ^,..., et, d'autre part, m, m',....
Le théorème étant supposé vrai pour le groupe 5t f-, m',... d'une part, et X, fi,.,., d'autre part, se confondront à l'ordre prfes avec les facteurs de composition de £; ils sont donc identiques, à l'ordre près. Comme on avait déjà l = v (l'ordre de 5 étant égal à la fois à y et à — ]. le théorème se trouve démontré.
Le théorème que nous venons d'établir montre qu'on peut légitimement classer les groupes composés d'après le nombre et la valeur de leurs facteurs de composition.
59. Théohème. — Soient G, H,..., 1. K,.... i une suite de groupes dont chacun soit aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent et permutables à foutes les substitutions de d; H un groupe (pielconque de cette suite; 1. K deux autres groupes successifs quelconques. Supposons qu'on puisse déterminer un groupe intercalaire L, contenu dans I et contenant K, auquel les substitutions H soient permutables, et si cette détermination peut se faire de plusieurs manières, choisissons-le de manière que son ordre soit minimum . Soient, dans ce cas, n,mn,ixnles ordres respectifs de K. L, I: fi. sera une puissance exacte de m.
Soient en effet lÉoi ■•■•*«-( 'es substitutions de K; /oi,,...., /ai^,..., /,„, A„, L-elles de L : la,.-., Im-, étant des substitutions qui ne satisfassent à aucune relation de la forme 4 = 4"t'p- Soit g' une substitution de G non permutable à L: elle est permutable à K : elle transformera donc L en un groupe L' formé de substitutions de la forme 4 io.---. /l^^t.--; /i,.---. /l étant les transformées respectives de l„,..., /,.....
Les substitutions du groupe g~'^g. transformé de H par ^, seront per-
mutables à L' (36); maisg^'Hg^ se réduit à H : donc les substitutions de H sont permutables à L\ ainsi qu'a L; elles le sont donc au groupe formé par les substitutions communes à L et à L'. Or les K font partie de ces substitutions communes, et il n'en existe pas d'autres, sans quoi l'ordre de L ne serait pas minimum, comme nous l'avons supposé.
En particulier, les substitutions /o, . . ., 4, . . . faisant partie de I et de H, leurs transformées /'o,..., li ,... en feront également partie : elles sont donc permutables à L. Les substitutions du groupe A, obtenu en les combinant à ce groupe, seront de la forme C/a*p (37). Ce groupe est contenu dans I, et permutable aux substitutions de H, car il résulte de la combinaison des substitutions des deux groupes L, L', tous deux permutables aux substitutions de H.
D'ailleurs les m^n substitutions obtenues par la variation des indices a', a, j3 sont toutes distinctes; car si l'on avait
/i' /« A p = la\ /«, ff^, , on en déduirait
La substitution /,t*/'^, serait donc commune aux deux groupes L et L', et par suite appartiendrait à K; on aurait donc
/:'-/:;*•?', d'où /.'=^/^gr-'=^/:.*-p'g^~' =/.'>,
ky transformée de k^^ par g"*, appartenant à K. Une telle relation ne peut exister que si a'= (x\. On aura alors
/.*>=/«.*■?», d'où « = «,, (3 = (3,.
Donc I contient au moins m^n substitutions. S'il en contient davantage, G contiendra une substitution g' non permutable à A. Soient X», X'. les transformées de /«, li par g* : le groupe A', transformé de A par g\ aura ses substitutions de la forme XaX«. Ap, et sera contenu dans I et permutable aux substitutions de H. Il est différent de A : donc il ne peut contenir à la fois toutes les substitutions de L et de L\ dont la combinaison constitue A. Supposons, par exemple, qu'il ne contienne qu'une partie des substitutions de L : les substitutions K sont communes à L et à A', et il n'existera pas d'autres substitutions communes; car les substitutions H, étant permutables à L et à A'> seraient permutables au groupe formé par ces substitutions
:i() LIVRE DEUXIÈME.
communes, quoique son ordre fût moindre que celui de L, ce qu'on suppose impossible.
Cjùh posé« les m*n substitutions de la forme 4)^^'^^^ seront toutes dislinctes et contenues dans I.
On démontre de même que si I contient d'autres substitutions, il en contient au moins /w*/i, etc.
§ V. — Symétrie des fonctions rationnelles.
iJaison entre les groupes et les fonctions .
60. Soient F| une fonction rationnelle quelconque de ^lettres a^b^c,...; F|, Fa, Fp les 1.2....^ fonctions obtenues en y opérant entre ces lettres les 1.2...^ substitutions i, a, j3,... : elles seront, en général, algébriquement distinctes les unes des autres. Mais si, par suite du choix particulier de la fonction, la suite F,, F», Fp,... avait M termes F<, F»,-., identiques à F|, elle contiendrait évidemment M termes Fp, Fap,... identiques à Fp. Le
nombre des valeurs distinctes de la fonction F serait donc égal à ' ' " -
Les M substitutions i, a,... qui n'altèrent pas la fonction F| forment évidemment un groupe, qu'on pourra appeler \e groupe de la fonction ; et Ton pourra dire que la fonction est transitive ou non, suivant que son groupe sera transitif ou non. Réciproquement, un groupe quelconque H étant donné, on pourra déterminer une fonction invariable par les substitutions de ce groupe et variable par toute autre substitution. Car, soient f « une fonction quelconque variable par toute substitution (telle que la suivante : a -h 2e h- 3c -h . . .); î»!, C'a» ••• les diverses valeurs qu'elle prend par les substitutions du groupe I, a,... : le produit 9, fa--- jouira de la propriété voulue; car les substitutions I, a,... permutent ses facteurs entre eux sans changer le produit, rt toute autre substitution /3, remplaçant 91 par un nouveau facteur fp, chan- }j[era le produit (*).
6 i . Les diverses fonctions rationnelles qui ont même groupe s'expriment toutes rationnellement en fonction d'une seule d'entre elles et de fonctions symétriques en Uy bj Cf,,,,
(* ) 1^1 règle ci-dessus, due à noire illustre Cauchy, a été critiquée par M. Kirkman ( Theory of f^mups and inany vnlued functionsy p. 80; Manchester, 1861); mais il est aisé de voir que les objections de ce géomètre ne sont fondées (pie sur un malentendu.
DES SUBSTITUTIONS. fîl
Cette proposition, due à Lagrange, est évidemment contenue dans la suivante, que nous allons démontrer :
Les diverses fonctions rationnelles dont les groupes ont en commun^ avec un groupe arbitraire G y les mêmes substitutions i, a, a,,... s'expriment rationnellement en fonction d'une seule d'entre elles et des fonctions invariables par les substitutions de G.
En efTet, les substitutions de G sont les suivantes (39) :
I, a, a,,...; (3, a|3, a, p, . . . ; y, ay, «i/,. . • ;. . .,
j3 étant une substitution quelconque prise parmi celles qui n'appartiennent pas à la suite i, a, a,,...; 7 une substitution quelconque prise parmi celles qui n'appartiennent ni à la suite 1, a, a^,..., ni à la suite ]3, ajS, «1 13,..., etc.
Cela posé, soient 91, ^, deux des fonctions considérées; 9^»..., 4^p»*.* ce qu'elles deviennent par les substitutions /3,...; m un exposant quelconque. La fonction
sera invariable par les substitutions de G. Car soit 0- une substitution quelconque de G; chacune des substitutions c, jSo-, 70-,..., appartenant à ce groupe, pourra se mettre sous Tune des formes A, Aj3, A7,..., A désignant une des substitutions i, a, a^... (39). D'ailleurs deux de ces substitutions De peuvent appartenir à la même forme, car si l'on avait, par exemple, les deux égalités
(30-1= ai, y(T^=zaxi,
on en déduirait
ô(T-' =: a- (3 = «7* y, d*où y—a,ar'^\ ' '? T''^ ''
7 serait donc de la forme A]3, ce qui n'a pas lieu» par construction.
Cela posé, a transformera les uns dans les autres les termes 9^* ^1 1 9^ 4^P« * * • - Car supposons, pour fixer les idées, que o st)it de la forme Aj3; elle transformera 9^tj^i en 9Î^ï^Ap = 97^^- ^^ même, si /S^ est de la forme A7, g transformera (f'^^^ en 9^^!];^, = 97 ^'y, etc.
Posant successivement m = o, i,...,fjL — r, jui étant le nombre des substitutions I, j3, 7,..., on aura, pour déterminer (}/|, ij^p,..., les équations
linéaires
dont le déterminant étant, comme on sait, égal au produit des difTéreoces des quantités distinctes 9,, 9^, 9y»...> sera différent de zéro.
On peut obtenir l'expression cherchée de i|/, d'une manière simple ainsi qu*il suit : f^, <p^, 9^* ... sont les racines de l'équation du degré jui,
dont les coefficients, symétriques en 91, 9^, 9^,..., sont évidemment invariables par les substitutions de G. L'équation
,/|^ rzz Y»*-' + X^,Y^-' -+-. . . + Xo = x (Y) = 0
admet pour racines 9^, 9^,..., et a pour coefficients des fonctions rationnelles de 9< et des coefficients de/(Y).
Cela posé, ajoutons les équations linéaires cirdessus, respectivement multipliées par Xo, X|,...: les multiplicateurs de 9pf 9^»... s'annuleront, et» divisant par le coetHcientde 4^1, il viendra
t'K'h l'it -!-...•+• /^'^"'^ /XoH-/^X. -^...H- /C^-'^
62. Les fonctions entières de k lettres sont donc susceptibles d'autant d*espèces de symétries distinctes qu'il y a de groupes diflérents de substitutions entre ces lettres. Mais si, au lieu de considérer d'une manière générale toutes les fonctions entières, on ne voulait examiner que celles qui satisfont à quelques conditions déterminées, par exemple celles qui sont (l'un degré donné, le nombre des espèces de symétrie dont elles sont susceptibles pourrait se trouver réduit. Ce champ de recherches, signalé par M. Kirkman, est encore vierge. Nous nous bornerons donc sur ce sujet à ((uelques brèves indications.
Soient ?= T H-T, -F..t-i- T^^ une fonction entière quelconque de a, 6,...; T =z ma'^ô^..., T| = m, a'^'è^*... ses différents termes; S, S,,... les substitutions de son groupe : chacune de ces substitutions transforme les uns dans
les autres les termes T, T,, . . ., Tj,.. Soient respectivement T, T,, . . . c^ux de ces termes que S, S,,... transforment en T : chacune de ces substitutions transformera les termes T,To*-* les uns dans les autres; car supposons que Tune d'elles, S, transforme T, en U par exemple; S, transformant T, en T, S~*S,, qui fait partie du groupe (S, S,,...), transformera U en T : donc U ' fait partie de la suite T, T|,....
Cela posé, si les substitutions S, S^,... permutent transitivement entre eux tous les termes T, T,,..., T^^, on dira que la fonction est élémentaire; dans le cas contraire, elle sera évidemment la somme de plusieurs fonctions élémentaires F|, F2,...» qui seront chacune transformées en elle-même par les substitutions S, S,,.... Soient donc respectivement T,, Fj,... les groupes de ces fonctions : S, S|,... appartiendront à chacun d'eux. Réciproquement toute substitution commune à ces groupes laissera invariable F,, F^ et par suite leur somme F : elle appartiendra donc au groupe (S, S|,...).
Ainsi la détermination du groupe d* une fonction non élémentaire se ramène à celle des groupes des fonctions élémentaires qui la composent.
63. Soient T = ma''6^... un terme quelconque d'une fonction élémentaire; T =m'a'^b^ .,. un autre terme quelconque. 11 doit dériver de T par une certaine substitution opérée sur les lettres a, b^...\ il faut évidemment, pour cela, que les coefficients m et m' soient égaux, et que les exposants p\ q\... soient, à l'ordre près, égaux kp, q,....
Supposons que parmi les exposants /?, 7,..., dont le nombre est égal à k, nombre des lettres a, 2», . . . , il y en ait /x égaux à a, v égaux a p, etc., a, J3,... étant des entiers différents, dont l'un peut être nul. Remplaçons dans la fonction F = T -h T'. . . le coefficient m par un autre coefficient quelconque mi; remplaçons de même les exposants a, j3,..., partout où ils se présentent, par d'autres exposants entiers a^, |3|,... qui soient également différents les uns des autres. Nous obtiendrons une nouvelle fonction F, , qui sera évidemment élémentaire et aura le même groupe que F.
Les fonctions en nombre infini, dérivées les unes des autres par un semblable changement, peuvent être considérées comme constituant une seule famille, dépendant des nombres jx, v
64. Pour résoudre dans toute sa généralité le problème de M. Kirkman, il faudrait maintenant :
1° Déterminer les diverses familles qui correspondent à chaque système donné de valeurs de jui, v, . . . ;
a" Déterminer les diverses familles qui correspondent à un groupe de suhstitu-
lions donné,
La solution de la première question parait assez difiicile, sauf dans le cas particulier où Ton a |x=i, v = k—\. Elle devient alors extrêmement simple, car on a, en supposant /3 = o, ce qui est permis,
T = ma* et F = m ( «• -h 6* -f- . . . ).
Soient a, b,,.. celles des lettres a, 6,..., d, e,... qui entrent dans l'expression de F; rf, c,... les autres. Le groupe de F sera évidemment formé de Tensemble des substitutions qui permutent, d'une part, a, 6,... entre elles, et, d'autre part, d, e,... entre elles, et il y aura autant de familles qu'il y a de manières de répartir les lettres a, 6,..., d, c,... en deux systèmes.
Un autre cas simple est celui où les nombres jx, v,... sont tous égaux à l'unité. On a alors
T== ma*b^. . . ,
a, |5,... étant tous différents. Soient G un groupe quelconque; T, T',... les divers termes transformés de T par ses substitutions. La fonction T -f- T'..., invariable par les substitutions de G, varie évidemment par toute^autre substitution : donc elle a pour groupe G. Il existe donc dans ce cas autant de familles qu'il y a de groupes possibles de substitutions.
On voit par là qu'à chaque groupe G correspond au moins une famille de fonctions élémentaires. Mais il peut en correspondre plusieurs. Ainsi supposons que le groupe G contienne toutes les substitutions possibles. Il correspondra à toutes les familles de fonctions symétriques; mais il existe évidemment une telle famille pour chaque système de valeurs de fx, v,....
65. Si un groupe G, ne contenant pas toutes le^ substitutions possibles, est n fois transitif il n'existera de famille correspondant à la fois à G et à un système de nombres |x, v, . . . que si chacun de ces nombres est inférieur à k — /i.
Supposons, en effet, [i^k — n. Si la famille cherchée pouvait exister, soient F une de ses fonctions, T = ma^b^,.. l'un des termes de F. On peut supposer que les jx exposants égaux à a se réduisent à zéro, et par suite supprimer du produit les lettres affectées de ces exposants. Il viendra alors T — mb^..., le nombre des lettres restantes 6,... étant égal à A— tx, et par suite au plus égal à n. Le groupe G, étant n fois transitif, contient une substitution au moins qui remplace &,... par ^ — jx lettres quelconques r, —
Cette substitution transformera T en T'=mrP..., et la fonction F=TH-T'-h..sera symétrique. Donc, au lieu de correspondre au groupe G, elle correspondra au groupe plus général formé par toutes les substitutions possibles.
Application géométrique.
66. Des questions qui précèdent dépend la solution de divers problëines de Géométrie. En voici un exemple.
Imaginons des points a, by c, ^,... réunis par des droites telles que a6, acy bd,... formant ensemble un système, continu ou non, que nous appellerons un assemblage de droites, ayant pour sommets les points a, 6, c, ^,.... Supposons, pour plus de généralité, que quelques-unes des droites de l'assemblage puissent être considérées comme multiples. I/assemblage pourra être représenté symboliquement par la forme quadratique mab-hnac-h pbd-h..., dont les termes représentent ses diverses droites, respectivement affectées de coefficients m, n,p,... qui indiquent leurs degrés de multiplicité.
Deux assemblages A et Â' seront dits pareils, si Ton peut établir entre leurs sommets une correspondance telle, qu'à chaque droite ab de l'un des assemblages corresponde dans l'autre assemblage une droite a'b\ du même degré de multiplicité, et joignant ensemble les deux points a\ b' qui correspondent respectivement à a et à 6. Dans ce cas, si mab -h nojc -{- pbd-h.,. est la forme représentative de A, ma'b' -h na'& -h pb'd' -^ ... sera évidemment la forme représentative de A'.
Il peut se faire qu'un assemblage soit pareil à lui-même sous divers points de vue, ce qui constituera pour lui une sorte de symétrie. Dans ce cas, A' se confondra avec A et a', b\ c\ d\... seront, à l'ordre près, identiques k a, b, c, d, De plus, les deux formes mai -\- nac -h pbd -\-... et
ma'b'-h na'& -h pb'd' -}-.. ., représentatives du même assemblage, seront nécessairement identiques. Donc la substitution qui transforme a, b, c, d,... en a'r b\ c\ d\... n'altère pas la forme mab -h nac -h pbd -h.... Réciproquement, soit S une substitution opérée entre les lettres a, b, c, d,... (|ui n'altère pas Cette forme, et supposons qu'elle remplace a, b, c, d,... par a\ b\ c\ rf',.... Si l'on fait correspondre à la suite des sommets a, 6, c, rf,... celle des sommets a', b\ c\ rf',.... l'assemblage restera pareil à lui-même.
Nous obtenons donc le résultat suivant :
Le problème de la symétrie des assemblages de droites est identique à celui
de la symétrie des formes quadratiques ne contenant que les rectangles des variables.
Nous reviendrons dans une autre occasion sur ce problème, considéré au point de vue géon)élrique.
Le problème de la symétrie des polyèdres, dont nous nous sommes occupé ailleurs, peut aussi se ramener, quoique moins simplement, à une forme analytique.
Isomorphisme.
67. Un groupe r est dit isomorphe à uu autre groupe 6, si Ton peut établir entre leurs substitutions une correspondance telle : i^ que chaque substitution de G corresponde à une seule substitution de F, et chaque substitution de F à une ou plusieurs substitutions de G; 2^ que le produit de deux substitutions quelconques de G corresponde au produit de leurs correspondantes respectives.
L'isomorphisme sera dit mériédrique, si plusieurs substitutions de 6 correspondent à une même substitution de F, holoédrique dans le cas contraire.
Supposons, pour fixer les idées, que G contienne m substitutions ^1,..., gni correspondantes à une même substitution 7 du groupe F. Soient y' une autre substitution quelconque de F, g' une substitution de G qui lui corresponde : g7*g' correspondra à 7"* 7', et par suite chacune des m substitutions^', g2g7^g\'''^ ^;„^r*^' correspondra à yy^*y'=y\ Chaque substitution de F ayant ainsi m correspondantes dans G, Tordre de F sera m fois moindre que celui de G.
Le groupe F contient la substitution i. Soient A|,..., A,n les substitutions correspondantes de G : elles forment un groupe auquel toutes les substitutions de G sont permutables. Car soient g Tune de ces dernières, 7 sa correspondante : g"* ht g a pour correspondante 7"* 17= 1 : elle appartient donc à la suite h^... h^.
Si m > I, le groupe (A,,..., A;„) ne peut se réduire k la seule substitution I : il sera d'ailleurs moindre que G, si l'on suppose que F ne se réduise pas à la seule substitution 1; donc G sera composé. D'où cette conclusion : Les groupes composés ont seuls des isomorphes mériédriques (non exclusivement formés de la substitution i).
68. Problème. — Déterminer les groupes isomorphes à un groupe donné G. Le problème se réduit à déterminer ceux de ces groupes qui sont transi-
tifs. En eflet, soit Y un groupe non transitif isomorphe à G : répartissons les lettres de r en classes, en groupant ensenible celles que les substitutions de r permutent entre elles. Soient a, a<,..., b, è,, ....... les diverses classes
ainsi obtenues : chaque substitution de F est évidemment de la forme ÂB..., A étant une certaine substitution effectuée entre les lettres a» a,»..., B une substitution effectuée entre les lettres 6, 6|,..., etc. Soient donc AB...t A«B,...,... les diverses substitutions de F : les diverses substitutions A, A,,... forment évidemment un groupe isomorphe à F, et par suite isomorphe à G; de même pour les substitutions B» B|,....
Réciproquement, soient (A, A,,...), (B, B, ,...),••• des groupes transitifs quelconques isomorphes à G; a, a,,...» b, &|, ....... les lettres qu'ils contiennent respectivement; gf ^1,... les diverses substitutions de G; A, B,..., A|, B, 9. ...... les substitutions qui leur correspondent respectivement dans
les groupes considérés» Les substitutions AB..., A«B, ....... forment un
groupe non transitif entre les lettres a, a«,...» 6, 6^,...,..., lequel sera évidemment isomorphe à G.
69. Cherchons donc les groupes isomorphes à G et transitifs. Nous allons voir que leur détermination se ramené à celle des divers groupes contenus dans G.
Soient en effet a?, o^i »... les lettres que G permu te en tre el les ; H = (A< , . . . , A„) un groupe quelconque contenu dans G. Les substitutions de G peuvent toutes être mises sous la forme Kg^* gif'* g^f'* gm étant des substitutions convenablement choisies, dont la première se réduit à l'unité et dont le nombre m est égal au rapport des ordres de G et de H (39) •
Soient maintenant F, une fonction rationnelle quelconque de a:, o^f,..., invariable par les substitutions H; F^ ce qu'elle devient par la substitution s. Les m fonctions F,,..., F^^seront transformées les unes dans les autres par
toute substitution de G. En effet, la substitution h^'g^' transforme F^ , par exemple, en F^ a^,^ . D'ailleurs g^K'g^'» appartenant h G, peut être mise sous la forme Aa^'^p". et A»" n'altère pas la fonction F, : donc F- sera transformée en F^k^,,^^, = F^^,.
Chaque substitution de G, effectuée dans les fonctions F,,..., équivaut ainsi à une certaine substitution effectuée entre ces fonctions. Ces dernières substitutions forment évidemment un groupe F, isomorphe à G. Ce nouveau groupe sera transitif, les substitutions ^i,..., gm permettant de transformer F, en l'une quelconque des fonctions F,,..., F^^.
70. Nous allons montrer réciproquen)ent que tout groupe transitif, isomorphe à G, est identique à ]*an de ceux que nous venons de former.
Soient en effet G' un semblable groupe, entre les lettres j, y,,...; H le groupe formé par celles des substitutions de G qui correspondent dans G' à la substitution i; F une fonction de a:, a?,,..., invariable par les substitutions H et variable par toute autre substitution; F, F«,... les diverses transformées de F par les substitutions G. D'après le numéro précédent, les substitutions G, opérées dans F, F|,..., équivaudront a des substitutions opérées entre ces fonctions; soit F le groupe transitif, isomorphe à G, formé par ces dernières substitutions. Il sera évidemment isomorphe à G', sans mériédrie.
Posons d'autre part F' = aj-f- aij« -h..., a, a«,... étant des constantes indéterminées. Soient F', F',,... les transformées toutes distinctes de cette fonction par les substitutions G' : les substitutions G\ opérées dans V\ F'^»... équivaudront à des substitutions opérées entre ces fonctions; ces dernières substitutions forment un groupe F', transitif, et isomorphe sans mériédrie à G', et par suite à F.
Cela posé, nous allons établir que les groupes F et F' sont identiques, sauf la dénomination des quantités F, F«,... et F', F',,... qu'ils permutent respectivement.
71. En premier lieu, chacun de ces deux groupes jouit de la propriété remarquable que son ordre est égal à son degré. En effet, le nombre m des quantités F, F,.... est égal à l'ordre de G divisé par celui de H (69), et par suite égal à Tordre de G' (67). Donc le degré de F est égal à l'ordre de G'; d'ailleurs son ordre est égal à l'ordre de G', ces deux groupes étant isomorphes sans mériédrie. On voit de même que le degré et Tordre de F' sont tous les deux égaux à Tordre de G'.
On conclut de là (\\xq chaque substitution de F (sauf l'unité) déplace toutes les quantitésY, F,, — Car F étant transitif, son ordre est égal au produit de son degré m par le nombre de celles de ses substitutions qui laissent immobile une de ses lettres, telle que F; mais cet ordre se réduit à m : donc F ne contient qu'une substitution qui laisse F immobile, à savoir : l'unité.
Le groupe F ne contient quune substitution qui remplace F par une autre lettre donnée F,. Car s'il en contenait deux, en les combinant ensemble, on en déduirait une troisième, différente de l'unité et qui laisserait F immobile.
Enfin, chaque substitution de T a ses cycles formés d'un même nombre de
DES SUBSTITUTIONS. m
lettres. Car si deux de ses cycles contenaient respectivement k et k' lettres, k' étant < k, sa puissance k' laisserait des lettres immobiles, sans se réduire à Tunité.
Le groupe T' jouit évidemment des mêmes propriétés.
72. Cela posé, soient F;, Tune quelconque des quantités F, F<,...; y„ celle des substitutions de F qui la fait succéder à F; 7'^ la substitution correspondante de F'; 9 une quelconque des quantités F', F',,...; 9,, celle de ces quantités que 7'„ fait succéder à 9 : les quantités 9,..., (p„,... seront identiques, k Tordre près, aux suivantes F', F'^,...; et si une substitution quelconque â appartenant à F fait succéder Fp à F„, sa correspondante &' dans F' fera succéder fp à f„. En effet, F ne contient qu'une substitution qui fai^se succéder ¥p à F„; mais y^'y^, jouit de celte propriété, ainsi que ^ : donc c^ = 77' 7^1 d'où &' x=zy';;-'y'^^ substitution qui fait succéder fp à 9,,. Donc les deux groupes r et F' deviendraient identiques par le simple changement de 9 en F.
73. Soit pour fixer les idées 9 = F' = aj-h a,j< -f-.... Les quantités 9,
9i,...sonttoutesdes fonctions linéaires dey, j,, Réciproquement, j,j<,...
pourront être exprimés en fonction linéaire de 9, 91,.... En effet. G' étant transitif contient une substitution qui remplace y par jjj^, quel que soit l'indice fi : donc, parmi les fonctions 9, 91,..., il en existe une au moins de la forme cty^-h ^9 ^ étant une fonction linéaire de j,...,j^«,jji+n.... Soit 9** cette fonction : 9,..., 9**,... seront liées à j,..., y^t... par des équations linéaires» dont le déterminant n'est pas nul tant que a, «i,... restent arbitraires; car dans le cas où a<, aa,... seraient très-petits, ce déterminant se réduit sensiblement à une puissance de oc. Ces équations peuvent donc être résolues par rapport aux y.
Soit donc y = /39 4- |3< 9, h- Les substitutions de G' opérées entre
les j' équivalent aux substitutions de F' opérées entre les 9. Réciproquement, si l'on fait subir aux 9 les substitutions de F', il est clair que j,y,,... seront permutés entre eux de la même manière qu'ils le seraient par les siibsti tu lions de G'.
Soient maintenant z, JZ|,... les fonctions formées avec F, F,,.-«» comme j j^i.... le sont avec 9, 9j,...; opérons sur les lettres x, a?|,... les substitutions de G, ce qui revient a opérer entre lesF,F«,... celles du groupe F, identique à F'; il est clair que «, j5«,... seront permutés entre eux de la même manière que y, y,,... le sont par les substitutions de G'.
Notre proposition se trouve ainsi établie.
74. La notion de l'isomorphisme peut être souvent utile, à cause de la similitude de propriétés que présentent entre eux les groupes isomorphes. Ainsi, par exemple, on voit sans peine que deux groupes isomorphes l'un de l'autre sans mériédrie sont en même temps simples ou composés, et ont les mêmes facteurs de composition.
On pourra donc dans beaucoup de cas remplacer la considération directe d'un groupe par celle de jquelqu'un de ses isomorphes. Parmi ces isomorphes, il en existe toujours un transitif et dont l'ordre égale le degré (69-71). On voit par là qu'une étude approfondie des groupes de cette sorte aurait une grande importance.
Des groupes transitifs dont V ordre égale le degré.
75. Théorème. — Les groupes transitifs dont l'ordre égale le degré sont conjoints deux à deux, de telle sorte que chacun d'eux soit formé par tensemble des substitutions échangeables à celles de son conjoint.
Soient en effet G l'un de ces groupes, A l'une des substitutions de G, (oa'... a"*"*) l'un des cycles de A. Parmi les substitutions de G, une seule, B, fait succéder à a une autre lettre donnée b (71). Soient 6',..., 6*""* les lettres que B fait respectivement succéder à a',..., a*""*. Si h n'appartient pas à la suite a, a',..., a'"""*, aucune des lettres i',..., b"^"* ne lui appartiendra. Car si l'on avait b^ = a^, G contiendrait deux substitutions distinctes, B et A**"", qui remplacent a"* par a*^, résultat absurde (71).
S'il existe quelque autre lettre c qui ne fasse partie d'aucune des deux suites a, a',..., a*""*; 6, b\..., 6*""*, G contiendra une seule substitution C qui remplace a par c; et les lettres c, c',..., c"*"*, par lesquelles C remplace a, a',..., a*^"*, seront toutes distinctes des précédentes : car si l'on avait c^=:b^ par exemple, G contiendrait deux substitutions distinctes, C et A^^B, qui remplacent a^ par b^^ résultat absurde (71).
Continuant ainsi, on voit que les lettres se répartissent toutes en systèmes rt, a',..., a'"'*; è, i',..., t*"""*; c, c',..., c^'*;... contenant chacun m lettres.
Soient maintenant S une substitution de G; c^ la lettre que S fait succéder à une autre lettre donnée b^ : S remplacera b^\ 6^^,..., b^^ parc"**,
En effet, les deux substitutions S et B~*A''~»*C, remplaçant Tune et l'autre b^ par c^^ sont nécessairement identiques (71). Or B~* remplace 6**^ par rt»*^, que A''"'* remplace par a'''*"^, que C remplace par c^"^.
Cela posé, la substitution q = {aa' a"... )[bb'b'\..)[cc'c". ,.)... est échangeable à toutes les substitutions de G. Car aS et Se remplacent toutes deux b^ par la même lettre c^-^\ el la lettre b^ est quelconque.
Si Ton prend successivement pour point de départ, à la place du cycle (flo'a^...), les divers cycles des diverses substitutions de G, on formera un ensemble de substitutions c, a',...» échangeables à celles de G. Les substitutions dérivées de celles-là forment un groupe F, dont chaque substitution (sauf Tunité) déplace toutes les lettres. Car si l'une de ces substitutions laissait a immobile, en déplaçant quelque autre lettre b, il est clair qu'elle ne pourrait être échangeable à celle des substitutions de G qui remplace a par b. D'autre part, si k est une lettre quelconque, il existe parmi les substitutions G un cycle où a succède à k. Ce cycle se retrouve dans une des substitutions de F : ce groupe est donc transitif.
D'autre part, toute substitution échangeable à celles de G fera partie de F. Car soit P une semblable substitution, laquelle remplace, par exemple, a par à : elle se confondra avec q. Car soit Q la substitution de G qui contient le cycle aa'd\..^ et soit k la lettre par laquelle P remplace d : PQ remplace a para"; QP la remplace par k : donc k = a". On verra de même que P remplace a" par a"^ etc. : dont P contient le cycle aa'a'\...
Mais G renferme en outre une substitution R qui remplace a, a\ a",... paré, b\ b".... Si P remplace b par x, RP remplacera a par x; PR le remplace par b^ : donc b' = x; de même P remplacera b' par b'\ etc. : donc elle coDtiendra le cycle bb'b"...; de même pour le cycle cc'c"..., etc. : donc P se réduit à a.
§ VI. — Du GROUPE ALTERNÉ.
76. Une substitution qui consiste à intervertir deux lettres se nomme fransposition.
Une substitution circulaire entre/? lettres à, è, c,... est évidemment le produit des p — i transpositions (aè), {ac),... Donc une substitution quelconque entre k lettres et contenant n cycles sera le produit de k — n transpositions successives.
77. Théorème. — Soient S, T deux substitutions qui soient respectivement i^ produit de a. et de ^ transpositions. Le nombre des transpositions successives dont le produit donne ST sera pair ou impair, suivant que a -f- j3 sera lui-même pair ou impair.
Une substitution quelconque étant un produit de transpositions, il suffira évidemment d'établir cette proposition quand T est une transposition, auquel cas jS = I.
Or soit pour fixer les idées S = [€ibcde)[fg). Si T transpose deux leltres appartenant à un même cycle, telles que a et c, on aura
^'ï = {ab)[cde)(fg),
substitution qui contient un cycle de plus que S et qui, par suite, sera le produit dea — I transpositions. Si au contraire T transpose deux lettres a, y appartenant à des cycles différents, ST =: {abcdefg) contient un cycle de moins que S, et sera le produit de a -h i transpositions. Dans l'un et l'autre cas, le nombre des transpositions dont le produit donne ST sera congru ^ a -f- I (mod. 2).
78. Corollaire. — Soit G un groupe quelconque; celles de ses substitutions qui résultent d^un nombre pair de transpositions forment un groupe H. Car le produit de deux quelconques d'entre elles, résultant d'un nombre pair de transpositions et faisant partie de G, fera lui-même partie de H.
Si 11 ne contient pas la totalité des substitutions de G, il en contient la mmiié; déplus, il est permutable aux substitutions de G. Car soient S«, S^,... les substitutions de H, en nombre N; T une substitution de G résultant d'un nombre impair de transpositions. Les sN substitutions de la suite S|, S,». ..9 TSo TS2,... sont évidemment distinctes. D'autre part, une substitution quelconque de G, telle que U, fait partie de cette suite. Car si U résulte d'un nomi)re pair de transpositions, elle fera partie de la suite S,, S^,...; et si elle résulte d'un nombre impair de transpositions, T-*U, qui résulte d'un nombre pair de transpositions, en fera partie : U fera donc partie de la suite
Enfin U est permutable à H : car, soient respectivement a, |3, y les nombres de transpositions desquelles résultent U, S,, U~*S, U, on aura (77)
y^— a-fP-ha (mod. 2).
Donc, |3 étant pair, 7 le sera également. Donc U"*S, U appartient à H. De même pour U'^SaU
79. Si l'on prend pour G le groupe formé par toutes les substitutions possibles, on aura les résultats suivants :
Les substitutions qui résultent d'un nombre pair de transpositions forment
ufi groupe, contenant la moitié des substitutions possibles et permutable à toute substitution.
Ce groupe se nomme le groupe alterné; les fonctions qu'il laisse invariables sonl dites cUternées. La plus simple d'entre elles est le produit des diiïérences des lettres a^ b,c,....
Tout groupe qui contient le groupe alterné se confond a^^ec lui ou renferme toutes les substitutions possibles. Car, s'il est plus général que le groupe alterné» son ordre est un multiple de Tordre N de ce dernier groupe : il ne peut donc être inférieur à 2N.
80. Toute substitution circulaire entre trois lettres fait partie du groupe alterné, par définition. Réciproquement, toute substitution du groupe alterné est un produit de substitutions circulaires entre trois lettres. Car la substitution S, = {abcd){ef), par exemple, s'obtient en exécutant la substitution circulaire {abc), puis la substitution [ad) (e/*), laquelle est elle-même le produit des deux substitutions circulaires [ade) et {eaf).
81. Si le nombre k des lettres est supérieur à l\, tout groupe auquel toute substitution est permutable contient le groupe alterné. Car soient F un groupe auquel toute substitution soit permutable; S une de ses substitutions : chacune des substitutions semblables à S, étant la transformée de S par une certaine substitution, appartiendra à F. Nous allons en conclure que F contient '6 groupe alterné.
En effet, supposons en premier lieu que, parmi les cycles de S, il en existe fn contenant plus de deux lettres. Soit, par exemple, S = (aie... rf) {ef ..}.... Soient a, j3, & trois lettres quelconques; 7, 6, y,... les autres : les substitu- ^ioiis S, = (aj3y...rf) (gy...)... et S^ = {fioLy...&){î(p.. .)..., semblables à S, ^^isant partie de F, S2S7* en fera également partie; mais cette substitution se réduit à la substitution circulaire (a^tJ^) entre les trois lettres arbitraires *» /S, c^. Donc F contient toutes les substitutions circulaires entre trois lettres ^^ toute substitution dérivée de celles-là ; donc il contient le groupe aile 1- né.
Si tous les cycles de S, (aè), (crf), (ç/*),... contiennent au plus deux let-
l^^s, soient a, /3, 7, ^ quatre lettres arbitraires; 6, 9,... les autres: F con-
^*^Ddra les deux substitutions S, = (aj3) {y^) (eç)..., 83 = («7) (j3(3^) (6(pj..., et
P^r suite 2 = S, S^ = {a&) (^7). Si A > 4f soit Ç une lettre arbitraire autre
fl^e a, j3, 7, & : F contiendra la substitution 2, = (aÇ) (/37), semblable à 2,
^^ par suite la substitution 22|=: (ct^Ç), dans laquelle a, ^, Ç sont trois lettres
()i LIVRE DEUXIÈME.
différentes quelconques; car le choix de Ç n'est pas limité par la condition d'être différent des lettres arbitraires ]3 et 7, Donc, dans ce cas encore, F contiendra le groupe alterné.
Remarque. — Si A: = 4, la proposition ci-dessus se trouve en défaut; car on vérifie aisément que le groupe d'ordre 4 dérivé de la substitution S = [ab) [cd) et de ses transformées est permutable à toute substitution.
Théorèmes dwers.
82. TnÉORÈME. — Si un groupe G, n fois transitif y ne contient pas le groupe alterné y chacune de ses substitutions (sauf l'unité) déplacera plus de n lettres.
En effet, supposons que G renferme une substitution S qui ne déplace pas plus de n lettres; il renfermera une substitution T remplaçant ces n lettres par n autres lettres quelconques; il renfermera donc T'^ST, laquelle est Tune quelconque des substitutions semblables à S. Il contient donc le groupe alterné (81).
De ce théorème, dû a M. Mathieu, on déduit la proposition plus générale que voici :
83. Théorème. — Si un groupe G, n fois transitifs ne contient pas le groupe alterné^ chacune de ses substitutions (sauf l'unité) déplacera plus de 2/1 — 4 lettres.
Soit, en effet, S = {abc.) [def..) {g...) une Substitution de G, laquelle déplace q lettres, q étant par hypothèse < 2/1 — 3. Soient a, 6, c,..., rf, c, /, les n premières lettres de S, 9) une lettre quelconque que S ne déplace pas. Le groupe G, étant n fois transitif, contient une substitution T qui ne déplace pas a, 6, c,..., rf, c et qui remplace/ par 9. Soient y,.,. les lettres par lesquelles elle remplace g,... : G contiendra la substitution T-^ST = fafcc...)(ûfe(p...) (7...)» et celle-ci T-'ST.S, qui ne se réduit pas à l'unité, car elle déplace 9, et qui ne déplace que les lettres e, 9,..., y,..., /,..., g,..., dont le nombre 2q — 2n -h 3 = q' est inférieur à q.
De cette substitution on en déduirait une autre contenant q'' lettres, y" étant < q\ etc., et l'on finirait par obtenir une substitution ne déplaçant que n lettres au plus. Donc G contiendra le groupe alterné (82).
f>)ROLLAiRE I. — Vordre d'un groupe G de degré k^ nfois transitif et ne
DES SUBSTITUTIONS. Ȕ5
contenant peu le groupe alterné^ divise » m étant le plus grand des
nombres n ou 2/1 —- /|.
En efTet, soit H le groupe formé par toutes les substitutions possibles entre m lettres; G et H n'ayant aucune substitution semblable, le produit de leurs ordres divise 1.2...^ (40). Mais Tordre de H est égal à 1.1 m. c. q. f. n.
Corollaire II. — Un groupe G de degré k^ et ne contenant pas le groupe aiternéy ne peut être plus de q fois transitif, q étant le plus petit des deux
nombres — :r-^> -• 3 2
Car, s'il est n fois transitif, son ordre est (44) un multiple de
Mais il divise ' " * Donc i.'i...^ doit être divisible par
i .1, . ,m[k — n -\-i). . ,{k — \)ky
ce qui est absurde, si m > ^ — /i, d'où n > 't y ou > -» suivant qu'on
aura m = /i ou m = 2/1 — 4-
La proposition ci-dessus est intéressante, en ce qu'elle établit une séparation bien tranchée entre le groupe alterné et les autres groupes, le prc-
"îier étant k — i fois transitif, tandis que les autres le sont beaucoup moins Je fois.
La limite q, que nous venons d'établir pour le degré de transitivité de ces derniers groupes, est d'ailleurs beaucoup trop élevée des que k devient un peu grand. Nous en indiquerons de plus rapprochées au § VIII.
84. Théorjcsie. — Un groupe G, permutable aux substitutions d'un S^upe n fois transitif H, eM au moins n — i fois transitif.
Soit, en effet, S = {abc.) [def..]... l'une des substitutions de G. Soient, pour fixer les idées, a, è, c,..., rf, c, /les n premières lettres qui entrent <l^ns son expression : H, étant n fois transitif, contient une substitution T qui laisse immobiles a, i, c,..., d, e, et remplace /par une autre lettre arbitraire /3; G contient la substitution T""*ST = (a6c...)(rfe/>...)..., et la suivante S"* T"*ST = U, laquelle laisse immobiles les/i— 2 lettres a, 6, c,..., c et remplace/ par p. Soit U = [fp...)... : H renferme une substitution V
tu» UVltE DEUXIÈME.
qui remplace les n lettres a, 6, c,..., e» /, /^ par n lettres arbUraire& a» jS, y,..., €, 9, tt; G contiendra V-* UV, qui laisse immobiles n — 2 lettres arbitraires a, ]S, 7,..., € et remplace 9 par une autre lettre arbitraire n.
Il est maintenant évident que G est transitif; car il contient une substitution qui remplace f par la lettre tt, laquelle est absolument quelconque: car elle n'est nullement déterminée par la condition de différer des lettres arbitraires a, /3, 7,..., £• De même» le groupe formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas a sera transitif; car il contient une substitution qui ne déplace pas a, et remplace 9 par tt, n étant une lettre quelconque autre que a. Donc G est au moins deux fois transitif» etc. Donc» enfin» G est au moins n — i fois transitif.
