Corollaire. — Le groupe alterné est simple^ si it
En eflet, il est ^ — i fois transitif. S*il conlenait un groupe G non alterné auquel ses substitutions fussent permutables, ce groupe serait k —■ a fois transitif; mais il ne peut Tétre plus de g fois (83), ce qui implique contradiction si A > 4-
Si ^ = 4> on a vu (81) que le groupe dérivé des transformées de {ab)[cd) est permutable à toutes les substitutions possibles; il le sera à fortiori à celles du groupe alterné.
86. Un groupe K qui ne contient pas le groupe alterné contient au plus le. tiers des substitutions possibles. Car soient S» S,»... ses substitutions en nombre N,T une substitution circulaire entre trois lettres» qu'il ne contienne pas [s'il tes contenait toutes, il contiendrait le groupe alterné (80)] . Les 3N substitutions S, S,,..., TS, TS,,..., T'S, T'S,,... sont toutes distinctes; car, si Ton avait, par exemple, T'S = S,, on en déduirait T = (T»)* = (S|S-*)', ri T appartiendrait h K, contre Thypothese.
87. Théorème. — Si une fonction ¥ de i lettres a, 6, c,..., /, m,... est transitive; si^ de plus y considérée comme fonction des k lettres a, fr» c»..., eUe est
k symétrique ou alternée^ k' étant >• -? elle sera nécessairement symétrique ou
alternée par rapport aux k lettres a, 6» c» . . . , /» m, . . . .
En effet» F étant transitive» son groupe G contient une substitution S qui fait succéder / à a; elle fera succéder à a» 6, c»... des lettres /» x» v,..., dont le nombre k sera supérieur à celui des lettres /» i7t».... Donc Tune au moins des lettres a?» j»... appartient à la suite a» 6» c».... Soit» par exemple» x = c :Y sera symétrique ou alternée par rapport à a» 6» c»...» /.
Car elle Tesl par rapport à a, 6, c,...: donc G contient la substitation T={abc), et sa transformée U = S"'TS = {Icy). Cela posé, si y ne fait pas partie de la suite a, b, c,..., soient a, /3 deux lettres quelconques de celte suite : G contient la substitution V = (a/5c), et, par suite, les substitutions W = V-«UV=:(/aj), W« = V-»UV^ = (//3/), qui, combinées entre elles et avec U, donnent les suivantes : [Ica), (fc/3), (/a/3). Donc G contient toutes les substitutions circulaires ternaires entre a, b, c,..., /. La même conséquence subsiste, si y fait partie de la suite a, b, c,...: car, soit, dans ce cas, a une lettre quelconque de cette suite autre que c et ^, G renferme la substitution V = (c/a), et la suivante, V--*UV = (/7a). De même, ^ étant une autre lettre de celte suite, il renfermera la substitution (/a/3).
Donc G est alterné par rapport à a, è, c,..., /. On voit de même qu'il est alterné par rapport à a, i, c,..., /, m; etc.
§ Vil. — Théorèmes de MM. Bertrand et Serret.
88. Le problème de déterminer les nombres minima de valeurs que puisse prendre une fonction de k lettres, lorsqu'on y permute ces lettres, oflre un grand intérêt historique. M. Bertrand a donné à ce sujet, vers j845, fleux théorèmes importants, démontrés depuis de diverses manières par Quchy el par M. Serret. En voici l'énoncé :
1° Toute fonction de k lettres a au moins k valeurs distinctes, si elle n'est ni symétrique ni alternée;
'k^ Toute fonction de k lettres qui a k valeurs distinctes est symétrique par rapport à k — i lettres.
Chacun de ces théorèmes présente une exception :
1^ Si A = 4» les fonctions dont le groupe dérive des substitutions (aô), (crf), {ac){bd), telles que la fonction ab-hcd, ne sont ni symétriques ni alternées, et ont trois valeurs distinctes.
a*» Si A = G, les fonctions dont le groupe dérive des deux substitutions ialjcd)^ {becd) [cdef), telles que celle-ci
(ab -^cd -^ef)[ac -4 be -\- fd){ad -¥^ bf'hce)(ae -h bd -¥ fc){af -^ bc -h ed),
non symétriques par rapport à cinq lettres, ont six valeurs distinctes. M. Bertrand a encore démontré le théorème suivant : 3" Une fonction de k lettres qui a plus de k valeurs en a au moins 2 A,
m UVRE DEUXIÈME.
Auquel M. Serret a ajouté le suivant :
4® Une /onction de k lettres qui a plus de 2 k valeurs en a au moins - — ^ — —9
Ces divers théorèmes sont des cas particuliers du suivant, que nous allons établir.
Théorème. — Soit n un entier constant quelconque : les fonctions de k lettres^ symétriques ou alternées par rapport à k — n de ces lettres^ auroftt moins de valeurs distinctes que celles qui ne jouissent pas de cette propriété.
Cette proposition sera parfois en défaut pour les petites valeurs de k; mais on pourra toujours assigner à k une limite au delà de laquelle elle sera nécessairement vraie.
89. En eflet, supposons que k soit un grand nombre. L'ordre du groupe d'une fonction F symétrique ou alternée par rapport à A— /i lettres est
divisible par ~/ij ^gg^ ^ j^ nombre des valeurs distinctes de celte
fonction est donc un diviseur de 2k[k — \)...[k — n -f-i).
90. Considérons maintenant une autre fonction quelconque ê. Si elle n*est pas transitive par rapport 2i k — n lettres, le nombre de ses valeurs
sera égal à '^^" > M, M',... étant respectivement les ordres de groupes
transitifs entre a, a\ a",... lettres, chacun des nombres a^ a", a" y... étant <^k — n^ et leur somme étant égale à k (44 et 60). Le nombre de valeurs
cherché est donc un multiple de ^^^^) „ > expression
qui atteint évidemment son minimum lorsque les nombres a, a\ ol\... se réduisent à deux, égaux, l'un à ^— /* — 1, l'autre à /i-f-i; ce minimum
nin — !)...( A* — n) ,. , i/f \ //
sera -^ —r-^ — z — t et sera supérieur a 2A:(A- — i). . .(X- — /i -f- i s si
Ton aX* — /i>2.i.2...(/i-i-i).
91. Supposons, au contraire, que la fonction 3 soit transitive par rapport à X — V lettres a, b, c,..., "j étant au plus égal à n : chacune des substitutions de son groupe G sera le produit de deux autres, dont l'une A permute entre elles les lettres a, b, c,..., l'autre B permutant entre elles les V lettres restantes rf, c,.... Soient AB, A'B',... ces substitutions. L'ordre de G est égal au produit de or, ordre du groupe (A, A',...) par j(,, ordre du
DES SUBSTITUTIONS. (iî»
groupe partiel formé par celles des substilulions de G qui ne déplacent pas a, 6, c,...(44). 2p6 est un diviseur de 1.2...V, et, quant au groupe (A, A',..,), il est impossible qu'il contienne le groupe H, alterné par rapport à a, b, c En effet, si cela avait lieu, le nombre des substitutions distinctes A,
A',... du groupe H étant égal à ''^ " — ^— ^ et supérieur à celui des substitutions distinctes B, B',... (lequel est, au maximum, égal à la limite finie i.2...v)t G contiendrait au moins deux substitutions AB, A'B', dans lesquelles on aurait B=:B', A et A' étant deux substitutions différentes du groupe H : G contiendrait A'B'(AB)'~* = A'A""*, ainsi que ses transformées par les substitutions AB, A'B',..., ou, ce qui revient au même, par les substitutions A, A',.... Mais A'A~* et ses transformées appartiennent à H, et le groupe I qui en dérive est évidemment permutable aux substitutions de il : donc il se confond avec H, ce groupe étant simple (85). Donc G contiendrait le groupe H, et ^ serait alternée par rapport à a, ft, c,..., contrairement à rhypothèse.
Le nombre des valeurs de J sera donc un multiple de
OK . 1 . 2 ... V 1 . 2 ... V t)rt
' ^ w "" ^ étant le nombre de valeurs d'une certaine fonction transitive
de ^ — ■ V lettres, laquelle ne soit ni symétrique ni alternée. Désignons ce nombre par (p(A — v) : ^ aura plus de valeurs que F si l'on a
92. Chercbons donc une limite inférieure à ce nombre (f[k — v). Supposons que la fonction J*,, dont y(^ — vj représente le nombre de valeurs, soit jx fois transitive. Si jui est d'un ordre de grandeur comparable à /•, ifi varie par toute substitution qui déplace moins de 2ju!. — 3 lettres (83); elle a donc au moins i.2...(2fJi— f\) valeurs distinctes, nombre évidemment supérieur à i.2...v.2(A — v)...[k — tï -h i) lorsque ^ et |ui sont tous les deux de grands nombres, ayant entre eux un rapport fini.
Supposons, au contraire, que jui soit très-petit par rapport à /•. L'ordre du groupe de ^, est égal a [k - v)(^— v — i)...(X- — v — jjl 4- i)îî, il étant Tordre du groupe T formé par celles de ses substitutions qui laissent immobiles fi lettres, lequel groupe est intransitif par rapport aux /• — v — ;jl
lettres restantes. Le nombre des valeurs distinctes de J, sera donc
