r — V — fj

Or les X—v — juL lettres du groupe F se partagent en systèmes tels, (|ue chaque substitution de F permute entre elles les lettres d*.un même sysltMne. Soient respectivement a, a,, «a,... les nombres de lettres de chaque système : Q. divise i.2...a.i.2...a4,... (44). Soit a le plus grand des nombres a, ot^, a2«-*-; deux cas pourront se présenter :

1^' Si «, -+- ao -h. . .> w — V, le nombre de valeurs distinctes de -f,

est un multiple de - -i^-- ' --- ^—^-1 , nombre dont le minimum

*^ 1 .7. . • .a 1 .2. . .a. 1.2. ..as...

s'obtient évidemment en posant a, = /i — v -hi, «2 = o, Ce minimum est

rgal a — — ^ -, y nombre supérieur a

^ l.2...(« — V-hl) ^

/• (M - étant très-grands, par hypothèse.

u" Si a, -h «a 4-...^ /i — V, Û est égal à MM'M"... (44 j, M étant Tordre du groupe partiel F, formé par les déplacements que les substitutions de F font subir aux a lettres du premier syslème, M' celui du groupe partiel formé par les déplacements que celles des substitutions de F qui ne déplacent pas les lettres du premier système font subir à celles du second, etc. Le produit

MM'... est au plus égal à i. 2...«,.i.2... «a Le nombre des valeurs

distinctes de .î, sera donc au moins égal à

rn posant, pour abréger, k — v — /jl - «, — a.^ — ...= k'.

Le groupe F, ne peut contenir toutes les substitutions A, A',... du jjroupe FI', alterné par rapport aux lettres du premier système; car, s'il rn était ainsi, soient AB, A'B',... les substitutions correspondantes de F; B, B, .. étant les déplacements que ces substitutions font subir aux autres lettres. Le nombre des substitutions distinctes A, A',... serait égal k

__!!.:!., nombre très-grand et supérieur à celui des substitutions distinctes

B, B',..., lequel ne peut dépasser la limite finie i.2...a,.i.2..,a2.... Donc à deux substitutions distinctes de la suite A, A',... répondï^ait nécessaire-

DES SUBSTITUTIONS. li

ment une même substitution de la suite B, B',.... Supposons, par exemple, qu'on eût B = B' : r conliendrait la substitution A'B'(AB)-* = A' A-*, laquelle ne déplace que les if lettres du premier système. Il contiendrait ses transformées par AB, A'B',... (ou, ce qui revient au même, par A, A',...), et les dérivées de ces transformées, lesquelles jouissent évidemment de la même propriété. Mais ces dérivées reproduisent tout le groupe (A, A',...), ce groupe étant simple (85). Donc ^i serait alternée ou symétrique par rapport aux iP lettres du premier système.

Cela est impossible; car, k étant plus grand que "~ » ^, serait alternée

ou symétrique (87), ce qui n'est pas, par hypothèse.

93. Supposons maintenant que Fi soit jui' fois transitif. Si jui' est compa- * rable à k^ ''' — sera au moins égal à i .2...(2jul' — 4)f 6t le nombre des valeurs distinctes de ^« sera évidemment supérieur à