v.2(fr — - v). . .(/r ■— n H- i

Soit, au contraire, jul' très -petit par rapport à ^ : M sera égal à k'{k' — i)...(X:' — jui'-i- i)û', û' étant l'ordre du groupe intransitif T' formé par celles des substitutions de F, qui laissent immobiles |x' kttres données. Les k'— fi' lettres restantes se partagent en systèmes, contenant respectivement oc\ a'i,... lettres, et tels, .que chaque substitution de F' permute entre elles les lettres d'un même système. Soit a' le plus grand des nombres

I® Si a, -h «2 -+-...> /i — V — a, — a, — ... , le nombre des valeurs de .f i est un multiple de l^J^-^— (fr- v^^...jA-j^)^ ^^^^^^ j^^^^

l»2*>*CC.I.2..a OC , * • • l.2f*.Œ|.I«2*«. OC2 • • *

le minimum

1 . 2 . . . ( /i — V — a, — a» — ... -h I ) 1.2... oci . 1 . 2 . . . «2 . . .

(correspondant à Thypothèse a'j = /i — v — a, — «2 — . . . 4-i , «3 = 0,...) sera

supérieur à 1.2...V.2 (A — v)...(it— /i -h i), A, -9 —étant très-grands, par hypothèse.

2** Si, au contraire, a', -h a'j -h . . . 5 /i — v — a, — «2» • • • > le nombre de valeurs de ,f , sera

(k-'V — ix).,4k'-hi) (//— g^) ..i//^-4- 1; i 2^.*"

I ■ 2 * . • 0C\ • I • 2 . . . OC^ ••* I>2««.â?1.2<<>^. •• il

en posant, pour abréger, /î"= A'— jul'— a', — a'j — ..., et N étant Tordre d'un groupe Ta de substitutions entre k" lettres, lequel ne contienne pas le groupe alterné.

•94. Supposons ce nouveau groupe /x'' fois transitif. En répétant les mêmes raisonnements que tout à Theure, on établira le théorème énoncé : i® si ix" est comparable k k; 2^ si [i" n*élant pas comparable à k, H étant le groupe formé par celles des substitutions de Fs qui laissent immobiles [x" lettres données, les lettres restantes se partageant en systèmes qui contiennent respectivement a", a j , «2 »••• lettres, et a" étant le plus grand des nombres a", a^ , ag »...» on a

0C^ -r- OC 2 ~t~ . • • ^ ri — V — 0(| — ÛCj — • • • — • OC ^ — OC 2 — ....

Poursuivant ainsi, on arrivera nécessairement à démontrer la proposition dans tous les cas : car chacune des quantités oc -^ oct -+-...,.a'-h- a\ -4- ... , a" -h a^J -h....... est au moins égale à i, et chacune des quantités /i — v,

71 — V — a, — «2 — ••» ^ — V — a, — «2 — ••• — ^1 ""^'a — ....... sera moindre

que celle qui la précède. Si donc, quelque loin qu'on prolongeât les opérations, ces quantités étaient constamment égales ou supérieures aux précédentes, on aurait une infinité de nombres positifs décroissants et inférieurs à /i — V, ce qui est absurde.

95. On trouvera aisément, dans chaque cas particulier, une limite de k à partir de laquelle le théorème devient vrai. Supposons, par exemple, qn*il s'agisse des trois théorèmes de M. Bertrand. Le nombre des valeurs d'une

fonction in transitive de k lettres est égal à . '^' ' ' — (44), M, M', M",,., étant

des diviseurs de 1.2. ..a, 1.2. ..a', 1.2. ..a",..., et a 4- a'-H a"-f-... étant égal à k. Le minimum de cette expression est évidemment égal à ^ et s'obtient en posant oc = k — i, a'== 1, a"=... = o, et M = 1.2. ..a, ce qui est le cas des fonctions symétriques par rapport à X- — 1 lettres. Son second

minimum est égal à 2k ou di— — — !-• Si A> 5, ce second minimum sera

2k et correspondra aux fonctions alternées par rapport h k — i lettres.

Considérons maintenant une fonction /x fois transitive ^'f : l'ordre de son groupe H est égal à k{k^ i)...(^ — jm-f- i)N, N étant l'ordre du groupe intransitif G formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent que X- — a lettres données. Soient a l'une de ces lettres, a, a,,... les lettres en nombre a que les substitutions de G permutent avec elle; on aura N = MN',

M étant l'ordre d'un groupe transitif entre les a lettres a, a,,..., et N' Tordre du groupe G' formé par celles des substitutions de G qui laissent immobiles a, a,,... (44). Soient de même b une autre lettre quelconque, h, i^,... les lettres en nombre a' que les substitutions de G' permutent avec elle; on aura N'=M'N", M' étant l'ordre d'un groupe transitif entre les a' lettres 6, ô,,..-» et N*' l'ordre du groupe G'' formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas ces lettres, etc. On aura donc enfin N = MM'M"..., et ^