Cherchons à déterminer le nombre des substitutions

S— I x,x\.,. ax -\- bx'-^. , ,, a'x -\- b' x'-\-* . . \

(lu groupe linéaire du degré /w".

DES SUBSTITUTIONS. î)3

Nous remarquerons, en premier lieu, que tous les systèmes de valeurs (les coefficients a, ft,...; a', ft', ...;... ne sont pas admissibles; car, pour que S représente une substitution, il faut qu'elle amène une lettre quelconque, dcfnt les indices sont a:,, ^r'j,..., a la place d'une lettre unique et bien déterminée. Soient x^ d ,,.. les indices de cette lettre : ils sont liés à j?,, aj'j,... par les relations

ax -{-hx^ -^ . . .^Xyy a'^ -4- 6'x'-h . . . ^ j;', ,. . . (mod. m).

Les coefficients a, ft,...; a', A',...;... doivent donc être tels, que ces relations déterminent sans difficulté 07, a?',..., quels que soient a?,, a?\,.... D'après ce critérium, il est évident que l'expression

Mjg gi ^^^ I X y X , • • • X ^^ X , X , • • • I

représente une substitution : de même pour les expressions analogues

121. Théorème. — Toute substitution linéaire peut se mettre sous la forme 20, 6 étant une substitution dérivée des substitutions Hx.x'y 8^^/,^:,... et 2 une substitution qui laisse tous les indices invariables, sauf le dernier d'entre eux, quelle multiplie par un entier.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait trois indices x, x\ x" , Soit

%^^\x,x',x'' ax -h bx' -h ex" , a' x -{- b' x' -^ c' x'\ a"x ^b"x' -\-c"x" \ (mod. m)

une substitution linéaire quelconque : a, b, c, m ne pourront avoir aucun diviseur commun; car, s'il y en avait un fx, on ne pourrait satisfaire \\ là congruence

ax H- bx'-\- ex" ^ Xx ( mod. m )

toutes les fois que x^ ne serait pas divisible par \l (2).

Cette condition étant satisfaite, on pourra déterminer une substitution dérivée de B;^ y et de ses analogues, et qui remplace x par ax -\- bx'-h ex". En effet, la substitution

ni p^ n^' pAr pX'

— ■>x,x' *»j',r ■'.rVx *»x,x *».r,.»-

produira ce résultat, si l'on a

i-¥-kd-hk'o' = a, A -f- /( I -h hd -h A-' d' ) = 6, A ' -: c ( mod. m),

OU, ce qui revient au même,

i -h liô -h cd' f^-3 a, li £i^ b — lûf h'=r.c ( mod. m ),

Or, soient d le plus grand commun diviseur de c et de m, rf, le résultat de la division de d par ceux de ses facteurs premiers qui divisent a ou b\ si Ton pose l =^ d^, k sera premier à d. Car soit q un facteur premier de d : s'il divise rf<, il sera premier à ft et ne divisera pas k. Si, au contraire, q ne divise pas rf<, il divisera un seul des nombres a, b {a, b, c, m n*ayant aucun diviseur commun); il ne divisera donc qu'un seul des deux termes b, d^a et ne divisera pas leur différence k.

Cela posé, m, k, c n'ayant aucun diviseur commun, on pourra déterminer (2) dos entiers a, u\ u" satisfaisant à la relation

mu -+- /r«' -+- eu" = I ,

et il est clair qu'on satisfera a la congruence