Théorème. — Pour que V expression
S = I JT, j;', . . . ax -^ bx -h . . . , a' x -f- b' x' -h . . . , . .
représente une substitution, il faut et il suffit que le déterminant
Az=
soit premier à m.
i^ Cette condition est nécessaire. En effet, mettons la substitution S sous la forme 2©. Son déterminant sera évidemment le produit des déterminants des substitutions 2 et 6. Cette dernière substitution, étant le produit de substitutions analogues à B-c,y, qui ont toutes i pour déterminant, a elle-même I pour déterminant. D'autre part, la substitution
a pour déterminant r. Donc S a pour déterminant r. Mais rest premier à m; car si r et m avaient un diviseur commun jul, il serait impossible de satisfaire à la congruence
^^(„,)^^(«-l^ (mod. m)
lorsque x[''~^^ ne serait pas divisible par (x.
2® Cette condition est suffisante. Car si elle est remplie, on pourra (2) satisfaire au système des relations
. dà dà , . , rfA r/A , , I ^
^x^ --r- Xi-^ -j—, X. -\-. . . , Ax^ ^ -JT ^i-^ -fr, ^\ -^ ' • • f ' ' • (tnod. m .
aa aa db db' ' .
équivalent au système
ax -h &^' -h. . .^ JT,, a x-h b' X -h * , .^x\^. . . (mod. m).
123. Théorème. — V ordre û(/n") du groupe linéaire de degré m" est
égal à
[/w, o] désignant le nombre de manières différentes de déterminer o nombres inférieurs à /w, et dont le plus grand commun diviseur soit premier à m.
Soient N le nombre des substitutions linéaires i, R, R',... qui laissent rindice a? invariable; T une substitution qui le remplace par ax-\-bx' -v-...
lesNsubslilulions, T, TR, TR',... remplaceront a? par aa:-f- fta/ -+-..., et jouiront seules de cette propriété; car soit U une substitution quelconque qui ait cet effet : T"*U, laissant ic invariable, appartiendra a la suite i,R, R',...; donc U appartiendra à la suite T, TR, TR', —
Les entiers a, ft,..., pouvant élre choisis quelconques, pourvu que leur plus grand commun diviseur soit premier àm (121), seront susceptibles de \m, n] systèmes de valeurs; à chacun d'eux correspondent N substitutions : donc
Or les substitutions i, R, R',... sont de la forme
I X, x', x\.,, X, a'^-f-t'a:'-f-c'ar"-t-..., a" x ^b'* x' -\- c" x" -\'. , .,. .. \
OÙ les n— \ coeflicients a, a",... sont quelconques, et les coefficients h\ c',...; h\ c",...;... tels, que leur déterminant soit premier à m, ce qui peut se faire de û(m''"*) manières distinctes : donc
N=:m"-'iî(m"-'), d'où i2(m'»)=:[m, n] m»- i2(m'— ),
et par suite '
ce qui est la formule du théorème; car û(/w) est évidemment égal à [/w, i j .
124. Soit m = />^/?î*, ...,/), /),,... étant premiers. On calculera aisément la quantité [m, fxj. En effet, il suffira pour cela : i** de compter les m^ systèmes de valeurs qu'on peut donner à ^ nombres inférieurs à m; 2** de décompter tous les systèmes de valeurs, en nombre ( — ) qui ont le diviseur
commun/?, ceux en nombre ( — j qui ont le diviseur commun />«, etc.; 3® de
rétablir les systèmes de valeurs, en nombre f — | qui ont à la fois les deux
diviseurs communs /? et/?< ; car, après avoir été comptés une fois indûment, ils ont été décomptés deux fois; etc. On trouve ainsi
Remarques. — Il résulte des formules ci-dessus que, si m = qq\ q et q'
DES SUBSTITUTIONS. ÎH
étant deux facteurs premiers entre eux, on aura
Soit en particulier m égal h un nombre premier p : [m, [i] se réduira \\ p^-î, et a{p'') à
résultat découvert par Galois et démontré par M. Betti.
Transformation des indices.
