Soient

A= \ Xf x',, , . ax -^ bx' -4- . . . , «' j; H- 6' x' 4- . . . , . . . |

une substitution linéaire entre m'' lettres; et soient

des fonctions linéaires à coefficients entiers de a?, x',..., en nombre égal à celui de ces indices, et telles, que le déterminant de a, ]3,..., a', |3%... soit premier à /n. A chaque système de valeurs des fonctions y, j',... correspondra, en vertu des relations (i), un système bien défini de valeurs pour

Au lieu de distinguer les lettres les unes des autres par la variation des indices ic, a/,..., on pourra donc les distinguer par la variation de y»y'»... considérés comme des indices indépendants; et la substitution  remplacera 'un de ces nouveaux indices, tel que j^aa;-4- /Sa?' -+-..., par

Si Ton substitue dans cette expression les valeurs de Xy x\... en v, j',..., ^0 Voit que A remplace l'indice y par une fonction a, j' h- A, y' -+-.... De inêfïic pour j',..,; de telle sorte qu'on pourra écrire

A= \ r>r'>'- a.j-f-é.j'-h..., rt', jH-A'.r'-h. ......

Les coefficients a^ 6|,... dépendent des coefficients a, ft,... etde a, |3,....

Ges derniers coefficients étant en grande partie arbitraires, on pourra se proposer de les déterminer de manière à simplifier autant que possible TexçTCssion de la substitution A.

126. Nous donnerons le nom de caractéristique de la substitution A a

déterminant

où K est une quantité arbitraire.

Théorème. — Le caractéristique d'une substitution linéaire n'est altéré pt aucune transformation d'indices.

i^ En effet, supposons d'abord que les nouveaux indices que l'on pren à la place de x, x\... soient les suivants :

A deviendra

X OCX, y Xy,..y

7,/',... al^ -h6/-h...j, ^-h6y-4-.. .,...

et le déterminant correspondant sera

ctb

ab b' K

2^ Supposons en second lieu que les nouveaux indices soient respect! ment

y^x -\-^x'y 7' = ar',. ..

La substitution A remplacera y, y',... par

{a -+- (3a') ^ -^-(ft -h p6')^'-i-. . .= [a -h Ç,a')x -h [6 -+- p6' - ^(a 4- ^a')]y' h

a!x -+- b'x' H- . . =a'y -h (6'— prt')^ '-h . . . ,

Le déterminant correspondant est

a -h jia' — K a'

b H- p6'- P(a -+- pa') 6'- ^a'- K . . .

Ajoutons à chaque terme de la seconde ligne horizontale le term^

pondant de la première ligne multiplié par la constante j3 (on sait que cela n'altère en rien la valeur du déterminant) : le déterminant prendra la forme