p6'-pK b'-K

Diminuons maintenant chaque terme de la première colonne verticale du terme correspondant de la seconde colonne multiplié par |3 : le déterminant se réduira à

3"" Mais de même que nous avons démontré (121) que toute substitution linéaire peut s'obtenir en combinant ensemble les substitutions

ju f jU y . . . 3U I 3U m UC y • . . I * I wC* • «v j . . . *'*' ^ *'*' I *^ 9 ••* If...

de même on voit que toute transformation d'indices s'obtient en combinant les suivantes : .

•«' ^T •*' » / .«.,..., ^ •*'> / •*' ^^ »4rj ....... j

dont aucune n'altère le caractéristique de A, d'après ce que nous venons de voir.

§ III. — Facteurs de composition du groupe linéaire.

127. Problème.— Trouver les facteurs de composition du groupe linéaire G de degré m".

Premier cas. m est dimible par plusieurs facteurs premiers différents.

Posons m = qq\ q eiq' étant premiers entre eux. Il est clair que les substitutions linéaires de la forme

S 1= I j;, ^',. .. X '\- q(ax -{- 6x'H-. . .), x'H-ç(a, :r H- 6, jt'h-. . .),. . . |

forment un groupe H.

D'ailleurs q(f étant congru à o (mod. /n), on obtiendra la noême substitution en donnant, dans la formule ci-dessus, à a, 6,..., a,, 6,,...v«« deux systèmes de valeurs congrus suivant le module q' .

L'ordre de H sera donc égal au nombre des systèmes de valeurs de a, 6,..., a,, 6,,...,..., incongrus suivant le module q\ qui donnent au déterminaût de S une valeur première à m. Il est d'ailleurs évident que ce déterminant est congru à i (mod. q). Donc, pour être premier à m, il suffira qu*il le soit à q\

Or on peut déterminer deux entiers r, r', tels, que l'on ait

rq -h r'g' = i ;

cela fait, on pourra mettre S sous la fbrme

On voit maintenant que pour que son déterminant soit premier à ^, il faut et il suffit que le déterminant

ai bx -\- r ...

soit lui-même premier à q\ condition qui se trouve satisfaite par ^iq*") systèmes de valeurs de a-i- r, 6,..., a^, 6, -+-r,...,..., auxquels correspondent autant de systèmes de valeurs pour a, &,..., a^ &«,...,

De même les substitutions de la forme

forment un groupe H', ayant pour ordre û(^'').

128. Les substitutions de H sont échangeables à celles de H'; car, formant les substitutions SS,, S|S, et remarquant que qq'^o (mod. m), il vient