SS. = S, S

qiax-^ 6x'-h ...) -4- q*(a'x -i- i'x'-h. . q{axx ^b,x' '\- ., .) -^ q' {a!^x -h b\x'

Soient S«,..., 8,^,... les diverses substitutions de H; S'j,..., S„,... celles de H' : les substitutions de la forme Sj^SJ,. seront toutes distinctes. Car soit

s^s;.=s.s;., d'où &7's.=s;.s;r'.

et que ce groupe est isomorphe sans mériédrie au groupe linéaire 5'$ àc degré q'\ formé par les substitutions

1'-- I z,z',.,, q'[(af'hr')z-hb'z''\-...], g'[/i',2H-(6',-4-r')z'-h...],... | (mod.g).

130. La suite des facteurs de composition de G est formée des facteurs de composition de § et de S'.

Soient en effet f f^^' les facteurs de composition de 5 • on pourra déterminer une suite de groupes 5» ^» ^•••- ayant respectivement pour ordre

42(^"'), ^L'ï{q"'), ^û(^"'),..., et tels : i*' que chacun soit contenu dans le

précédent et permutable à ses substitutions; 2^ qu'il ne soit contenu dans aucun groupe plus général jouissant de cette double propriété.

Soient de même/',/j ,... les facteurs de composition de 5' : on pourra déterminer une suite de groupes ^\ 5', oc',... ayant respectivement pour

ordres Q{q")f ^û(^), j^ i1{q^),... et jouissant d'une double propriété

analogue à la précédente.

Cela posé, soient I, K,... les groupes respectivement formés par la combinaison de celles des substitutions de H qui correspondent à celles de d, 2>c,... avec les substitutions de H'; T, K',... les groupes formés parcelles des substitutions de H' qui correspondent à celles de y, dC',.... Les ordres respectifs des groupes G, I, K,..., H', T, K',... seront évidemment

Mais il est aisé de voir : i^ que chacun de ces groupes est contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions; 2^ qu'il n'est contenu danà aucun groupe plus général jouissant de celte double propriété.

En effet, considérons par exemple le groupe K. Soient S,j.S|,, une quelconque de ses substitutions; SvS^, une substitution quelconque de I : la substitution (SvS^,)~* S,j.S'j,..Sv SI. appartiendra à K. En effet, cette substitution est égale ^ Sr* Sj^ S^ . S^~^ Sj,, S^ : or Sv, S^ ont pour correspondantes dans 5 des substitutions 2^, 1^ qui appartiennent respectivement à ^ et à oc : 2v sera donc, par définition, permutable à ce dernier groupe : donc 27' Z^^v appartient à DC. Sa correspondante Sr^Sj^S^ appartient donc à K. Il en est de même de la substitution Slr'S'^.Sl- qui appartient à H'.

D'autre part, s'il existait un groupe L plus général que K, qui fût contenu dans I et permutable à ses substitutions, il .est clair que le groupe ^ formé par les correspondantes de ses substitutions serait plus général que oc, con-

toi LI\RE DEUXIÈME.

133. Cherchons à déterminer ces derniers facteurs. Celles des substitutions de G qui ont pour correspondante Tunité, lesquelles constituent le groupe M, sont évidemment les suivantes :

et chacun des n^ coefficients a,*|3,..., a\ /3S... pouvant prendre toutes les

valeurs possibles entre zéro et p^^*— i, le nombre de ces substitutions sera

Soient T, V deux de ces substitutions, on voit sans peine qu*on a T| étant une substitution de la forme

On aura de même, entre une substitution T^ de cette dernière forme et une substitution quelconque T* de la forme T, la relation

T2 étant de la forme

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on arrive aux substitutions

Tx-.^

X x-^ p^-'iax^iX-i- Px,x'-h...)> X' x'-^p^-' (a;,, X -+- (3i, x' -h . . . ),

(raod./>^),

qui seront échangeables à toutes les substitutions T.

On remarquera enfin que les substitutions de M sont permutables à chacun des groupes M,, M2«.-- formés respectivement par les substitutions des formes T,, Ta,.... En effet, l'égalité T^T = TTJ^, par exemple, montre que la transformée de T, par T* est égale à TjTj, et par suite appartient au groupe M,.

134. On déduit aisément de là que les/acteun de composition de M sont tous égaux à p.

En eflel, soient A une substitution de M qui n'appartienne pas à M,, A*^ la premiore de ses puissances successives qui fait partie de M, : les substitutions de la forme A^T,, où /& <r, sont toutes distinctes; car d'une re-

ê DES SUBSTITUTIONS. 10î>

* lation telle que A^T^ = A^Tj, on déduirait A^''' = TJ\'\ ce qui est impossible par hypothèse {p et c7 étant moindres que r), à moins qu'on n'ait 0 = 0*, d'où rj = Tj. On peut d'ailleurs supposer r premier; car si l'on avait r = rt r^, r, étant premier, on pourrait choisir à la place de A la substitution A''», dont la puissance r< se réduit à la forme T, . '

Si M contient quelque substitution qui ne soit pas de la forme A^T|, soient B l'iipe d'elles, B' la. première de ses puissances qui se ramène à cette forme: les substitutions de la forme B^A^T,, où <7<5, sont évidemment toutes distinctes. On peut d'ailleurs supposer s premier. Si M contient quelque autre substitution, on continuera de même jusqu'à ce qu'on en ait épuisé le nombre. Supposons, pour fixer les idées, que les substitutions de M soient toutes de la forme B^ApT. Les groupes formés respectivement des

substitutions B^APTo ApT,, T, ont pour ordres il = p^^-'^"\ -, -. Donc s

et r divisent û, et par suite se réduisent à/>. D'ailleurs chacun des groupes ci-dessus est contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions. Car on a, par exemple,

B~AfT,B=i B-'A?B.B-'T.B;

mai$ on a une égalité de la forme

A?Br=BApr,, doii B-AeB=A?r.,

Tj appartenant à M,. D'autre part, on a une égalité de la forme

V^ appartenant encore à M, : donc

B-'APT,B=r A^Xr,.

Donc le groupe formé par les substitutions de la forme A^Tj est permutable à B : il l'est d'ailleurs à ses propres substitutions; donc il l'est à toutes les substitutions de la forme B^ApT,.

Donc les facteurs de composition de M sont r=: s=p, et les facteurs de composition de M,. On voit de même que les facteurs de composition de M| sont égaux, les uns à p, les autres à ceux de Mj; etc.