Troisième cas. m est un nombre premier p

Soient a, /3, ,,. les facteurs premiers, égaux ou non, dont le produit

I0(j LIVRE DEUXIÈME.

donne/; - i; /• une racine primitive de la congruence r''"' :£= i {mod.p); Ga« Ga^,... les groupes partiels formés par celles des substitutions de G dont le déterminant est une puissance de r*, r"^...; enfin G^.., = T celui formé par les substitutions de déterminant i.

'Soient & le plus grand commun diviseur de n et de p— i; a\ ^',... les facteurs premiers, égaux ou non, dont le produit donne &; r' une racine primitive de la congruence r'^=^ i (mod./?); H, Has Ha/ p^ .. .les groupes formés par les substitutions qui multiplient tous les indices par une même puissance de /', par une même puissance de r'*', etc.

TiiÉoRKME. — Les facteurs de composition de G sont a, /5,..,, : — __[ >» a', /5',... [à moins qiion nait p" = 2^ ou 3^).

Il est clair que les groupes

G, G«, G«p, . . ., r, II, H,', lift'/,. . . ,* I ont respeclivement pour ordre

et que les substitutions de cbacun d'eux sont permutables à celles du* suivant. D'ailleurs les nombres a, |3,..., a', ]3',... étant premiers, on ne peut intercaler entre G» et Ga^, par exemple, aucun nouveau groupe qui soit contenu dans Ga et contienne Ga^i : car son ordre devrait être à la fois un diviseur de — — et un multiple de ^ ? ce qui est absurde, |3 étant premier.

Si donc on établit qu'on ne peut intercaler entre r et H aucun groupe plus général que II qui soit contenu dans F et permutable à ses substitutions, le tbéorème sera démontré.

Pour établir cette proposition, nous montrerons que si un groupe l plus général que H est contenu dans V et permutable à ses substitutions, il contiendra nécessairement toutes les substitutions de T.