Supposons, pour fixer les idées, n= 3. Soit
S = I jc, x\ x" ax -^ hx' -f- cx\ a' x 4- 6'x' 4- c' x% a" x f- b" x' -\- c"" x" \
une substitution de I qui ne fasse pas partie de H et qui, par suite, ne multiplie pas tous les indices par un même facteur.
On vérifie sans peine que les substitutions de H sont les seules substitu-
108 LIVRE deuxième;
(lice u n'étant pas altéré par T, cette substitution prendra une forme telle que la suivante :
I Xy x\ U ax -\- bx' +- cuy a! x -h b* x' -h c'tt, n |.
i^ Si c et c' ne sont pas nuls à la fois, I contiendra la substitution T-' B,7;^TB„,, ■=\ XyX'yU x-cu, x'- c'a, u |,
laquelle diffère de l'unité. Supposons par exemple que c ne soit pas nul;
prenons pour indices indépendants ^/, x' x^z, u : T prendra
la forme
et, combinée à ses transformées par les substitutions de F, reproduira, comme dans le cas précédent, toutes les substitutions de F.
2^ Soit au contraire c^c'^o. La substitution T ne se réduisant pas à l'unité, on ne peut avoir à la fois'a^6'EE=i, d^h^o. Soit par exemple (a — i)^o ou 6^0 (mod./?j : I contient la substitution
T~' B~*„ TB,,« = \ Xy x\ u X — (a — i)w, x' — bu, u |,
et l'on peut achever le raisonnement comme dans le premier cas.
139. La démonstration ci-dessus s'applique évidemment à tous les cas où le nombre des indices surpasse 2; il nous reste à examiner le cas de deux indices seulement.
Soit donc n = 2, et soit S une substitution de I qui ne multiplie pas les deux indices par un même facteur. Il existe évidemment une fonction/ des indices x, a/ qu'elle ne multiplie pas par un facteur constant. Soit j' la nouvelle fonction par laquelle S remplace y : prenant y et y pour indices indépendants, S prendra la forme
S = I r, r' r'> cy-^-df |,
et c sera congru à — i, S ayant i pour déterminsmt. r'' Si d\o{moài.p)^ F contient la substitution
DES SUBSTITUTIONS. lOJ)
et 'H contiendra
D = T-'ST.S= 1/, 7' -a-'/, -rf(i 4- «-')/-«'/
Il <3ontiendra donc tJ*. Or si Ton pose en particulier a = i et si Ton rempl^<^^7 par un autre indice z^^dy (ce qui peut se faire si /?>2), U^ «> rend la forme suivante
et » 43ombinée k ses transformées par les T, reproduit tout le groupe r.
^^^ Soit au contraire d^o. Si /> > 5, on peut choisir a de telle sorle que a* ^ 1 (mod.p); soit /3 un entier tel que Ton ait
P(a* — i)^ I (raod./>) :
ï c^oiitient la substitution
l^qtjielle» combinée à ses transformées par les substitutions de r, reproduira encore le groupe r.
^^ Soit enfin d=o etp = 5* Prenons pour indices indépendants
2 = 274-7', 2' = — 274-7', S P^^ïidra la forme suivante
Z,Z' 2Zy — 9.Z'
®^ I ocntiendra la substitution
"^^^lle, combinée a ses transformées par les substitutions de r, reproduira ^ ^^oupe.
**■<). Il ne reste plus qu'à examiner ce qui arrive lorsque p" se réduit ^ ou a 3*.
y ^^^ si/>" = 2*, on vérifie immédiatement que les substitutions du groupe ^^îre G, dont Tordre est (2^— i)(2^ — 2) = 6, sont permutables au ^ ^^^pe partiel d'ordre 3 formé par les puissances de la substitution. * a?' a?', 07 4^ a/ 1. Les facteurs de composition cherchés sont donc 2 et 3.
no LIVRE DEUXIÈME.
Si /?"=: 3^, on vérifiera de même : i*' que les substitutions de G, en nombre
{V — i) (3^— 3) = 4^» dérivent des suivantes :
