X IX

x' ix'

2'* que les groupes

ont respectivement pour ordre k^, 24, 8, 4. 2; 3*^ que chacun d'eux est permutable aux substitutions du précédent. Les facteurs de composition cherchés seront donc 2, 3, 2, 2, 2.

§ IV. — Groupes primaires.

141. Un groupe r, contenu dans le groupe linéaire du degré m", est dit primaire^ lorsque ses substitutions, combinées au groupe F formé des substitutions

donnent un groupe primitif.

// n'existe aucun groupe primaire si m n est pas un nombre premier. En effet, soit [i un diviseur de m\ répartissons les m" lettres considérées en systèmes, en groupant ensemble celles dont les indices, .divisés par fx, donnent le même système de restes. Il est évident que toute substitution linéaire, ainsi que toute substitution dé F, remplacera les lettres d'un système par celles d'un même système. Le groupe dérivé de ces substitutions n'est donc pas primitif.

142. Soit maintenant m égal à un nombre premier p : on aura ce théorème :

Théorème. — Pour que le groupe Y soit primaire, il faut et il suffit quon ne puisse déterminer aucun système de fonctions distinctes y^ y\-'* des indices .r, ^',. . ., cc^'\ en nombre moindre que ces indices, et jouissant de la propriété que chaque substitutions de F remplace chacune des fonctions y, y\ . . . par une fonction linéaire de y, y\

Des fonctions y, /',... sont dites distinctes si elles ne sont liées par aucune

DES SUBSTITUTIONS. Ml

relation linéaire telle que

143. i*' Celle condilion est nécessaire. En effet, supposons qu'elle ne soit

pas remplie. On pourra prendre j, y', . . . pour indices indépendants, à la place

d'un pareil nombre d'indices de la suite x, a?',..., x"~\ Soit en effet

yE^-ax -^ ^x' -h...: l'un au moins des coefficients a, ]3,..., par exemple a,

différera de o (mod./>), et l'on pourra évidemment prendre y, a/,..., x""*

pour indices indépendants à la place de x, x\..., a?""*. Exprimons y' en

fonction de ces nouveaux indices; soit j'e^e a' j 4- /3'itr' +.... Comme, par

hypothèse, j' et y ne sont liés par aucune relation linéaire, l'un au moins

des coefficients /3',..., par exemple |3', différera de o (mod./?). On pourra

donc prendre j, j',..., x^~* pour indices indépendants à la place de y,

Xfftf oc> \ etc.

Cela posé, les substitutions de F prendront la forme

et celles de F, accroissant évidemment de quantités constantes les quantités V, y',... fonctions linéaires des indices primitifs, prendront la forme

I 7, r', . . . , X"-' y -\- a, y' -ha',..., .r"- 4- a"- |.

Si maintenant l'on répartit les lettres en systèmes, en groupant ensemble celles pour lesquelles j^, j',... ont le même système de valeurs, il est clair que chaque substitution de F ou de F remplacera les lettrés de chaque système par celles d'un même système. Le groupe dérivé de ces substitutions n*est donc pas primitif.

144. 2° Cette condition est suffisante. Car nous allons démontrer qu'elle "c saurait être remplie, dans l'hypothèse où les substitutions de F, combinées avec celles de F, ne formeraient pas un groupe primitif.

Considérons deux lettres quelconques appartenant à un même système, et soient respectivement Xq^ x^, x'^,...; x^-i- a^, x^-^ a^, x'^^-h a*],,... les valeurs des indices qui les caractérisent : F contient la substitution

qui remplace la première de ces lettres par la seconde. Cela posé, la substitution S^ remplace une lettre quelconque o?,, x\, x\,.. par une lettre

1 li livKë deuxième.'

a;, -h a„, ^'i-hao, x\-\- ol\,,..., laquelle appartiendra néceôsaîrement au même système.

En effet, considérons la substitution

• ^1 ÛC f X f X f » » » X ~T~ Xy ~~~ X^ I wF "T~ «J^i "^ «2^0 y ^ l" X j ~~~ <^Qy**\ I»

Elle remplace les deux lettres a?o, x^, x\y..\ et j?o-f- a^, x^'\-6i:^; x^^-^ «o»--respectivement par ^,, ^'j, a?* ,. . .• et.a?| -i- a^, a^'jH- a'^, a?' -+- a^,.. . , el comme les deux premières lettres appartiennent à un même système, il en esl de même, par hypothèse, de celles qui leur succèdent. . Donc F contient des substitutions telles que So, qui ne déplacent pas les systèmes et sont différentes de l'unité»