Soit
k5o — - |^>«2^j^'>.»» X ~T" Of 0 j ^ •" ^09 ^ "i Of 0 » • • • I
une de ces substitutions : Tune au moins des constantes a^, a^, ^q,... differe de o (mod./?); soit par exemple «o^o (tnod.p). Prenons pour indices indépendants, au lieu de x, x\ a?",..., les suivants :
y^— X, y^' =: jt' — — Xy y" ^x" — '— x^. , . ( mod. p ).
OL^ Xo OLq
La substitution S^ prendra la forme
el celles de F prendront la forme générale
Les puissances de S^ ne' déplacent pas les systèmes : si F contient une substitution nouvelle
différente de celles-là et qui ne déplace pas les systèmes, la substitution
ne les déplacera pas non plus, et comme par hypothèse elle ne se réduit pas à l'unité, l'un au moins des coefficients |5o, jS^,... sera différent de o(mod,/^). Soîl par exemple jS'^,^o (mod.p). Prenons pour indices indépendants, au
Heu de y, y', y",..., les suivants :
z=r, z'^l-y-, z" = r"-^x',... {moA.p).
P* Po ,
On a u ra
^# I ^^ 1 Z t Z f m » * Z -♦- IfZfZy*»»^^ Oi ^::^ iZfZfZf»,» Zf Z -f- I ^ Z y • • • | f
les. S.UI bstitutions de F prenant la forme
=5 substitutions de la forme S^S^ ne déplacent pas les systèmes : si F C€kw^ t:ieDt une substitution nouvelle Sa, différente de celles-là, et qui ne les d^I>lsice pas non plus, on pourra déterminer comme précédemment une tr^ M-i ^formation d'indices qui mette Sq, S|, Sa sous les formes suivantes :
Sp =: I M, n'y u'\.,. //-hi, //', «",... |,
Sa = I 1/, U'y U"y.., M, U' y M" "f" I , . . . |,
Ie5=i ^ui bstitutions de F étant de la forme
tio
^ continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre des substitu- » qui ne déplacent pas les systèmes : on atteindra toujours ce résultat t, d'avoir épuisé le nombre total des substitutions de F; car ce groupe, ^^^*^ t.. transitif, contient des substitutions qui permutent les systèmes entre
eu
* -*-C Supposons donc, pour fixer les idées, que les substitutions Soi S, *^] * ^^ uirs dérivées S" S% soient les seules dans F qui ne déplacent pas les sys-
'^^iTB ^s, et soit
= \ Zy z , z ,... j[Zy z y Z ,«»0>J (Zf Z , Z 9 ' ' ')t J (z, z y z ,...),... |
unc^ ^^uelconque des substitutions de F. Les transformées de S,,, S, par 1 ne ^^^^nt pas déplacer les systèmes, et d'autre part elles doivent faire partie "^ *^ : elles sont donc de la forme SJS^ Soient donc
Z-So2 = SîS^, 2-S.Z = Sî'S^.
^^^^ v*elations, pour être satisfaites, exigeront, entre autres conditions, les
Mi LIVRE DEUXIÈME.
suivantes :
/"(3 4-I, Z\ z\.,,)-=lf"(z, Z\ Z%...),
Les fonctions/",... sont donc indépendantes de z et de z'. Donc 2 remplace les indices z'\,,. par des fonctions de ces seuls indices. Donc la condition indiquée au théorème n'est pas remplie.
§ V. — Forme canonique des substitutions linéaires. 147. Soient G un groupe linéaire de degré//" [p étant premier);
k^=z \ Xj x' y. . . ax -k- bx' 4- . . . , a' X -t- b' x' -h ...... .
Tune de ses substitutions. Proposons-nous de la ramener, par une transformation d*indices» à une forme aussi simple que possible. A remplace la fonction linéaire
/Ez:- OLX -\- ^x' -h . . .
par
a{€Lx: -^ bx' -^. , .)-^ ^{a'x -h b'x' -^ . . .)-\-. , .,
expression qui se réduit à Ky si Ton a
(2) aa -f- j3a' -+-..- ^^Ka, «6 -h ^6' 4- . . . ^Kj3,. . . (mod.^i).
Ces relations détermineront sans difliculté les rapports des quantités a, j3,... si la constante K satisfait à la congruence
! a - K fl' b b'-K
^o (mod./i).
Cette congruence, que nous appellerons congruence caractéristique de A, est du degré /i, et peut avoir jusqu'à /i solutions différentes, K^. K,,..., K„,. Soient dans ce cas a^, jSo,...; a,, j3, ,...;... les systèmes de valeurs correspondantes des a, j3,..., on verrait aisément que les fonctions
DES SUBSTITUTIONS. iir>
sont distinctes. En les prenant pour indices indépendants, on ramènerait la substitution A à la forme simple
Mais le nombre des racines réelles de la congruenee en K peut être inférieur à #1 : on se trouve donc naturellement conduit, pour généraliser les résultats, à introduire les racines imaginaires dont il a déjà été question au Livre I".
148. Décomposons le premier membre de la congruenee en facteurs irréductibles. Soient F un de ces facteurs, /son degré : Fêtant égalé à o (mod./^)
donnera /racines imaginaires distinctes, K^» Kf = K,,..., Kf~' = K/«,, satisfaisant toutes à la congruenee
Ka''==K (mod.;i).
A chaque valeur de K, telle que K^, correspondront un ou plusieurs systèmes de valeurs pour les rapports des quantités a^, |3o,..., en vertu des relations (2). Si ces rapports sont complètement déterminés, les diverses fonctions jo= ^o ^ "+"i3o ^'"^ •••»•• • correspondantes à la valeur K~ K^ sont toutes des multiples de Tune quelconque d'entre elles : mais il peut arriver que le système des relations (2) présente quelque indétermination; même en ce cas, il est clair que les* diverses fonctions y relatives à cette valeur de K seront toutes des fonctions linéaires d'un certain nombre d'entre elles, y^, y^,... qui soient distinctes, c'est-à-dire ne soient liées entre elles par aucune relation linéaire
''o/o -h r'.r, ^- ••• ^o (mod./?),
/•q, r'(,,... étant des enliers réels ou complexes formés avec l'imaginaire qui a été introduite.
Les coefficients a^, jS^,... de chacune de ces fonctions étant des fonctions rationnelles de Kq, qui ne sont déterminées que par leurs rapports, on peut les supposer entières, et réduites au degré /— i au plus au moyen de la congruenee du degré /à laquelle K^ satisfait.
149. Soit Uo =/(^, ^',..., Ko) une fonction linéaire quelconque de x, a?',... dont les coefficients soient des entiers complexes formés avec l'imaginaire Kj,. La substitution A remplacera évidemment Uo par une autre fonction de même forme Vo= (f{x, x\,.., Kq).
\Ui LIVRE DEUXIÈME.
Cela posé, A rem/)lac€ra chacune des/onctions Up=/(a:, af^..., Kp), tonjulouées de Uq, par les fondions Vp = y ( a?, a?',. . . , Kp), conjuguées de V<>.
En effet, ordonnons les divers termes de U^ et de V^ suivant les puissances (le Ko» et soient
U. = w -h M, Ko 4- ... -h w/.-i K'-*, Vo ~ i' -h i'i K, -h . . . -h c/, K',-*,
w, a,,..., a/, , s^^ i', ,..., i'/^, étant des fonctions réelles de a?, x\
Pour que la substitution réelle A remplace U^ par Y^, il' faut évidemment
qu'elle remplace séparément m, m,,... par v, v^^ Donc elle remplacera
Up = a4-a, Kp-h...4-a/,K^"* par Vp = i'-i-i',Kp-h...-l- i'/-, KJ"^
En particulier» les fonctions que A multiplie par Kp sont les conjuguées de celles qu'elle multiplie par Kq, Celles-ci s'exprimant linéairement au moyen de^o, jo,..., leurs conjuguées s'exprimeront linéairement au moyen de
150. Les fonctions y^, jo» ••î-"*» /p» Jf »•••;••• sont toutes distinctes. Car supposons qu'on ait entre elles une relation linéaire telle que
^M ^1» ^2» ^3 étant des entiers réels ou imaginaires.
La substitution A transformera r, j, 4- ^'iJi + ^aja -H ^3 Vj on
K, ( r, ^'i -+- r', r\ ) 4- K, 5, j, 4- Kj /, r*.
Cette expression doit être identiquement congrue à o (mod./>). Si on en retranche le premier membre de la congruence initiale multiplié pnr K,, il viendra
(K,-K,)(r.jr.4-r'./,)-h(K,-K,)5,7,=-o.
La substitution A transforme cette congruence en
Si de celte dernière relation on retranche la précédente multipliée par K^* il vient
identité qui peut être mise sous la forme
m, 7, 4-m', /, =0, m,, m^,... /'tant des fonctions de l'imaginaire K,. Remplaçant K| par sa con-
ée Ko. ce qui De Irouble pas Tidentité, il viendrait
fonctions jo» y\ ne seraient donc pas distinctes, comme nous l'avons jposé.
51. Les fonctions jo» Jo'-"?---? Jp^y? >--'î-*- étant distinctes, peuvent prises pour indices indépendants à la place d'un nombre égal des ins primitifs a?, a?',..., cxf^^ (1*3) (*). Cela fait, et /w étant le nombre de fonctions, la substitution A se trouvera réduite à la forme
/rr.
]ette forme est compliquée d'imaginaires; mais il serait facile de les faire paraître. En effet, groupons ensemble dans l'expression de chacun des ices jg, Jo»"- '^s termes qui sont multipliés par la même puissance Kj,. Soit
^ *^ aura, en changeant K en Kp,
y^ = Y. -f. K,Y, -h . . . 4- KJ-> Y/-., y\ = Y' -+- K.Y'. -h . . . -h KJ-* Y;,. /. . .
Les fonctions distinctes j^» yo»'"î-'-î Jp» 7? •••••••• peuvent doncs'expri-
*^€r en fonction d'un nombre égal de fonctions réelles Y^» ¥«,..., Y/^«, Y'^, ^',,..., Y/i,...; ces dernières fonctions seront donc elles-mêmes distinctes, ^t pourront réciproquement s'exprimer en fonction de y^^ y\,...\...\ jp, y\ ,...;... par l'inversion des relations linéaires qui les lient à ces dernières quantités. Prenons Yo, Y, ,...-, Y/__,, Y',,,..., Y/i,... pour indices indépen-
(*) Il semble à peine nécessaire de faire remarquer que les indices supérieurs dont plusieurs ^ litres sont affectées dans ce passage ne sont pas des exposants.
dants à la place de j^» yo'--î--' Jp» Ji ♦-••» — ^^ subslitulion A, remplaçant j^,,yo,...;...; Jp, j'p ,...;... par des fonctions de ces seules quantités, remplacera chacun des nouveaux indices Yq, Y,,..., Y/,, Y^, Y', ,..., Y/«i,... par une fonction de Y,,» Y,,..., Y/,, Y'^, Y'j,..., Y'/,,... seulement. Elle remplacera en outre ccT' par la fonction
a? ^ -f- 6r ar*"-^' -h . . . -h cT ^''•-* -4- 5 Y. -I- 6 Y, -f ... H- ô' y; 4- ... .
en désignant par (?Yo-h6Y^ -h . . -h c^'Yo-i-... ce que devient la quantité ^r7o + ^7o^~-"^~/r7i '^••- lorsqu'on y substitue pour j^^.jo,..., ^m...
leurs valeurs en Y^,, Y,,..., Y'^, Cette fonction doit être réelle, et comme
les indices a/", a;'"'*-*,..., x''''\ Y^, Y,,..,, Yq,... sont tous indépendants les uns des autres, il faudra que chacun des coefficients a^*, 6^,..., c^» (^» s,..., (î^,... soit réel. On verrait de même que chacun des coefficients a^"^',..., cp* sera nécessairement réel.
152. Soit X le nombre des fonctions distinctes y^, y\ La substitution A a pour congruence caractéristique
(K.- K)MK. -K)"»... "' "' "
^.mn-l
cr » - K
D'ailleurs la transformation d'indices n'a pas altéré le premier membre de celte congruence (126) : donc son premier membre était divisible par (Ko — K)^(K, — K)'... = F^, et le produit de ses autres facteurs irréductibles était égal au déterminant
a'C- K b';' ... cT
ar' />r* ... c^-*- K
Soit F' un quelconque de ces facteurs (si le déterminant est encore divisible par F, nous choisirons de- préférence ce dernier facteur). Soient K'^,.. les racines de la congruence F'^o, la substitution
forme suivaDte :
Zoy . • •
K'o 2. -I- 9 ixof r . . • • • » j' » r'. » • • • )
Mo» • • • K j //o -f- 4^ (^f> ^t'f > • • • > J^l» ^ I » • • • > ^99 • • • » Z|> • • • )
K j l'j ~+- X v7*«> ^o> • • •> T'> Ti ♦ • * * ' ^«^ • • • > ^i» • • > **«> • • • )
OÙ, pour plus de nclteté, nous avons mis sur une même ligne les indices analogues.
153. La réduction ne s*arréte pas là. Supposons en efTel, pour fixer les idées, que les deux facteurs F', F" soient égaux à F, mais que le suivant F*^ diffère de F. On aura Ko = Ky=Ko : au contraire, les racines de F*^^© seront essentiellement distinctes de celles de F^o. Remplaçons chacun des indices i'o»-- P^^^ u" nouvel indice iv^ de la forme suivante :
(Vo = fp -h p. «0 -+- • • • -4- O"* -3» 4- . . . -4- 0*1 Zi 4- . . . -4- To JTo H" T^ /p -»- . . . -+- Ti ,ri-+- • • • •
il est clair que A remplacera mp^^ par une fonction de la forme
(]ela posé, il existe une manière et une seule de choisir les indéterminées Pu»---» ^o»*"» o*!,..., T^,, T^J,..., T,,..., de telle sorte que la fonction /' s'évanouisse. En effet, les coefticients respectifs de w,,, . . . , z^,, .., 2, , . . . , y^^ yii»---» yi»»-- dans cette fonction ont les formes suivantes ;
(K7— K.)p. 4-a, (K;— Kp)<r. -i-6pp-hc, (K^— K,) <r. -f- rfp. -h e,. . . ,
et, en les égalant à o(mod./3), on déterminera successivement les valeurs de ptt,..., (7^,,..., (7,,.,. sans impossibilité ni ambiguïté, les multiplicateurs K7,— Kj,, K7,— K,,... étant tous différents de o(mod./?).
154. Les nouveaux indices «^o»-» ainsi substitués aux v^,,.,y dépendent de i'o»..., Wo»*«-» 2^,...,z,,..., j'o» yo'--» >'!»•••» qui sont eux-mêmes liés mIux indices primitifs par des relations contenant les deux imaginaires K^
in LIYRB DEUXIÈME.
placera [«p^ojf» [«^ij»- • par des fonctions de TWoJ,...» [W,],... seulement: mais l^w^o]» ••» [«"i]»" ont évidemment les formes suivantes :
(^1 -}- lonct* { j^f , J^f » • • • > j^*!» .'Kl > • • • » ^0» • • • > ^1» • • • î f^»9 •••)>•••>
et le seul système de fonctions de cette forme que A remplace par des expressions dont^o» Jo^-'Jm Ji»--' Zo,..., 55,,...; tto,... aient disparu est celui
des u^of"'f ^1» Donc [m^oJ»--» f^ij»-- se confondent avec tVof-f «^i»---»
et par suite [Woj,.., [W,J,... avec Wo,..., W,,....
Cela posé, la substitution A étant exprimée au moyen des indices indé-
penuanis lo) ^n****« ■'^49 ^^it**** ^0***** ^i»**** ^0****9 *o'***' *i9*'** vin pourra obtenir Wo*.., W,,... par la méthode des coefficients indéterminés. Il faudra résoudre pour cela un système de relations linéaires à coefficients réels : les fonctions Wo,.., W,,... sont donc réelles; d'autre part, les coefficients des fonctions /(Vo,.., V,,. ..),...,/, (Vo,.., V,,...),... sont des fonctions entières de la seule imaginaire K^ : donc «p^o =/( W©, . .., W ,,...),... , M^, =/, (Wo,..., W|,. ..),... ne contiennent que cette seule imaginaire.
Remarquons en outre que les indices i^o»-^ ^i,..- étant des imaginaires conjuguées, il en sera de même des nouveaux indices m^o»-» «^»-- par lesquels on les remplace.
