La substitution A sera ainsi ramenée à la forme

! r^fX.f

Zo, • • .

I Ai

Ko Ut ■+■ y(^*»> ^ •» • • • » .) " ,T'i , • • • î ^t, • • • » ^1, • • • )»

Km 0 ^^ 0» • * •

où les indices sont répartis en systèmes tels, que les indices de chaque système soient remplacés par des fonctions linéaires des indices du même système : le premier système comprenant les indices Vo, yo«-"» J«» j'i»-; 2o» •» ^o.-.; Wo»-- relatifs au facteur irréductible F; le second comprenant les indices iVo,... relatifs au facteur F", etc. Considérons seulement les indices du premier système, et remplaçons

-5^, » «o»-- p^^ de nouveaux indices

^ Remplace ces nouveaux indices par des fonctions de la forme

el otj pourra profiter des constantes arbitraires p, p',..., a,..., t, t',..., de manière à faii^ disparaître /oy,,.., Z|,... de ces nouvelles fonctions. On aura pour cela à résoudre des congruences linéaires des formes suivantes :

(K,— K,)p-f-aso, (Ko— K,)p'-f- a'^o,. . .,

(K.~ K,)<r-f- 6^o,. . ., (K^— K,)t-4- cp-hrf^o, (K«— K,)t' -f- c'p -f- rf' = o,

qui détermineront sans difiicullé p, p\..., a,..., puis t, t\... (K^ étant différent de K|); d'ailleurs K,, ara\...^ b,...^c, dy c\ d\... étant des nombres complexes formés avec la seule imaginaire K^* il en sera de même de

p, p',..., (7,..., T, t', — Les nouveaux indices (s^j,..., [i^J,,.. sont donc des fonctions des indices primitifs nr^ contenant que l'imaginaire Ko* Prenons maintenant pour indices indépendants, à la place de 24,..., <^i,..., les fonctions |^z,J,..., [a, j,... respectivement conjuguées de |zo],..., [««J,... : A, les remplaçant par les fonctions conjuguées de celles par lesquelles elle remplace [zoj,.., [woj»--- (1*9)» prendra la forme suivante (en supprimant les crochets désormais inutiles qui entourent les indices \z^\,..., [uo j,..., f :;,],..., \u^\,... et changeant Tordre des indices de manière à grouper ensemble ceux qui correspondent à la même racine Kq) :

5., z'.,... Ko2«-4-9(ro, r'p,...)i Koz'. -4- (p'(j,, /.,.. .)»•..

>'i » j** I » • • • iv I jyi > '^ I J^' I » • •

ti'o, . . . Ko <*•«,

On voit que les indices du syslème considéré se partagent ici en / séries conjuguées, Vo.j',,'--' z„,...,Ua,...; y,, j\,---, z, a,,...;..., respectivement correspondiinto.s ii chacune des /racines Ko, K,,... du facteur irréductible F.

156. On peut encore opérer une dernière simplification. Renïarquons dans ce but que les diverses fonctions (j^(zo, 2^,...), ^'{zq, z^, ...),... relatives aux indices Uq, u\,... sont essentiellement distinctes. Car si l'on avait une relation de la forme

A remplacerait la fonction U = n/o 4- r'^Q-h... par K© U plus des termes en jo» Vo"- • Mais, par hypothèse, les fonctions qui jouissent de cette propriété sont celles qui résultent de la combinaison de «o» ^o»---» J^o» yo»--» ce qui n'a pas lieu pour U. A fortiori, les fonctions Zo, Z'^» •.» définies par les relations

K. Z. = 4^(z., 2'. , . . . ) -h x(r»» /o' • ' • )» ï^« Z'. ^-- +'( Zo, 2', , . . . ) H- x'(ra. /,, . ..).-••»

seront distinctes. D'ailleurs A remplace une quelconque de ces fonctions, telle que Z, par KoZ plus des termes en jo, yo»--- Si donc on prend pour indices indépendants Zo^Z^,.. à la place d'un nombre égal des indices 3o — ,1a forme générale de la substitution Ane sera pas changée, et ao.i/'ot- seront simplement remplacés par Ko(wo -i- Zo), Ko(w'o "^ Zq),....

On pourra ensuite opérer une transformation analogue, remplaçant tout ou partie des indices y©» yo»-- P^** ^^ nouveaux indices Y©, Y'^,,..., choiâis de telle sorte que A remplace les indices Z©» Zq,..., z^^\,,, respectivement par Ko(Zo-h Yo), KofZ^ -+- Y',),....

Continuant cette réduction, on finira par amener A à la forme suivante nous n'écrivons que les indices de la première série) :

Zo, z j, . . . K0{Zo-t- 1 o), K«(Z ^ -+- Y j), . . . I

ou, eu groupant les indices d'une autre manière qui fasse mieux ressortir la loi de la substitution,

1 «, Zo, it^f . . . Ko 1 0f K0{ ^0 "t- 1 « ), K#( //# -|- Z^ ], . . .

l.es indices de la série se trouvent ainsi partagés en suites distinctes Y©, Z,M Mo.- Y'„, Z', : .., que A altère séparément suivant une loi simple.

our simplifier de même l'expression des altérations que A fait subir à ufi^ ^utre série quelconque ji, j'i»... conjuguée de celle-là, il suffira de p,.^ 13 cire pour indices indépendants, à la place dej,, /, ,..., les fonctions Y,, ^ ^ mm^ ,i»«.«î ^t» A|>...î... conjuguées ue i o* ^o» '^o» •••» *o' ^o****''** * A ■ ^:r^ remplacera respectivement par les fonctions K, Y,, K,(Z, -4-Y,), K, C ^^ • "^ Z«), ...;... conjuguées de KoYo, Ko(Zo-f-Yo), Ko(wo-+- Zo),. ..;....

. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : £OR^.ME. — Soit

k^= \ Xy x\. , . ax -^ bx -f- . . . , a' X -H b' x' -4- ...... .

une ,^ substitution linéaire quelconque à coefficients entiers entre n indices varial^^^^^ chacun de o à p — i;

*5«::^ ^^F^^nt F, F',... les facteurs irréductibles de la congruence de degré n

:hio (mod./i);

'» »• — .. leurs degrés respectifs ; m, m',... fewr^ degrés de multiplicité;

^^-^"^ pourra remplacer les n indices indépendants x^x\.,, par d'autres indices ]^ ^^^^-^^nt des propriétés suivantes :

* Ces indices se partagent en systèmes correspondants aux di{^ers facteurs

*"' ^^ ^ » ... et contenant respectivement Im, l'm\,,, indices;

Soient K©, K<,..., K/4 les racines de la congruence irréductible Fe^o ^i . p)\ les Im indices du système correspondant à F se partagent en l séries

^^ ^^^^ '^pondantes aux racines Ko» K,,..., K/,;

Les indices de la première série de ce système sont des fonctions linéaires ^^ ^^dices primitifs j dont les coefficients sont des entiers complexèi^iformés

V imaginaire K© ; ils constituent une ou plusieurs suites y ^^ z^^ Mo»-««; y a * -^'q,. ..;.., (*) telles, que A remplace les indices y ^y js„, Wo»»«* d'une même suz^^ respectivement par Ko jo» Ko (^o -h Jo)» Ko [u^ -f- z^),..,.\

^^^ Les indices de la r-^- i'^'"*' série sont les fonctions j;., z^, a^,...; y ' ^ -^^ I •...;... , respectivement conjuguées des précédentes, que l'on forme en y

^ ) ^^ous désignons ici par y^^ s,, ... les indices qui étaient appelés Y,, Z^ dans le cours

^^ *^ démonstration (i56).

126 LIVRE DBUXlÈBfE.

remplaçant Ko par K,-; k ks remplace respecUvemenl par KrYrf K,.(ar-^yr)»

IV^ y llf. -T" Z^ jf,»»\»,,*

Cette forme simple

i'Of • • • " § ^^9 * *

à laquelle on peut ramener la substitution A par un choix d'indices convenable, sera pour nous sa forme canonique.

§ VI. — Questions diverses.

Ordre des substitutions linéaires.

158. Problème I. — Former à priori la puissance X d^une substitution donnée A.

Ramenons la substitution A à sa forme canonique» comme il est indiqué au théorème précédent. On voit, par une induction immédiate et facile à vérifier de proche en proche, que A^ est égal à

Vf, « • • Im 0 "%j • * •

.... mè'* ^^

et cette substitution pourra être aisément exprimée au moyen des indices primitifs a;, j?',.... En ettét, jot^o» "o--* y'o'-' Jo 2,, M<,...,yj,..., Vo,... étant donnés en fonction de x, x\..., on aura, en renversant ces relations,

-^ = X L^"»> ^«ï ''•♦ • * • » ^'o» • • • ♦ y»' ^1» Wi> • • • , y I » • • • » t'^» • • • )j

A' remplacera donc x. x\... respectivement par x Ki> Vo. Ky^o-f/Vo ,... ,

DBS SUBSTITUTIONS. 127

X''Ko^o» Ko(«e-+- X^o)»...J,... : substituant dans ces dernières fonctions à la place de^o>^o»--* leursvaleursenâ?» a:',..., on aura l'expression de la substitution A^ rapportée aux indices primitifs x^ x',..,.