PROBLiME II. — Trouver r ordre de la substitution A
Lordre de la substitution A est, par définition» la plus petite valeur de X telle, que A^ se réduise à l'unité. Pour que cela ait lieu, il faut qu'on ait simultanément
(4) K; = K;=...= i, KiX = o, K^, ^ilzLL)=o,..., k;=i,... {mod. p).
Soit p le nombre d'indices contenu dans la plus nombreuse des suites /o» ^o, (i^, . ..; J' 0'' "» y* • ^<» W|,...; ^j, ...;..,; v^o»'-» • on aura ainsi
5; >. =^o, -^^ ^:=o,..., -^^ ^-^ î— T — mod. «).
Supposons, pour fixer les idées, que p^ soit la plus haute puissance de p 'oférieure à p : les relations (5) montrent que X est divisible par/?^"*** ; et ré- C'proquement, tout nombre divisible par/?^"^% mis à la place deX, satisfera
3 ces relations.
£n effet, la première de ces relations montre que X est divisible par p.
î>oii j)^ la plus haute puissance de p qui divise X : a ne peut être < y -^ i ;
en effet, si cela avait lieu, parmi les relations (5), on aurait la suivante :
~ i — > L- ^ ^o (mod. p),
Or, >^ étant divisible par p^, il est clair que, pour tout nombre [x inféjcû;ur à /^*5 ^ — /x et jx seront divisibles par la même puissance de p : donc-ftni dwx procl uitg (X — i)... (X — /?*-^ i) et I. 2... {/?*— i) contiennent le facteur/? le m ^me nombre de fois. Donc X(X — i)... (X —p^-\- i) et i. a.../?* contiendrai ^nt le facteur /i le même nombre de fois, et par suite — -^^ ^^
ne l^ourrait être divisible par/?.
Réciproquement, si X est divisible par /?^'*'*, toutes les relations (5) sont
satisfaites; car soit ^ ~W'-( — ^ — T) ^^^ (mod. p) l'une d'elles; r étant
moindre que /?^"^*, contiendra le facteur p à une moins haute puissance que X; d'autre part (X — i)...(X — r-h i) sera divisible par la même puissauce de p que i.2...(r— i) : donc la relation sera satisfaite.
i28 LIVRE DEUXIÈME.
Pour que A^ se réduise à TuDÎté, il faudra en ouire satisfaire aux relations KJ) e^ K\ ^ . . . ^ r , K 0^ ^ I , .... Soient respectivement &,&\..Aes plus petits nombres qui, mis à la place de X, satisfont séparément à ces diverses relations, d le plus petit multiple de c^, (^',... : X devra être divisible par d.
Or d est premier à p; car si K©. K^,... sont respectivement des imaginaires d'ordre v, v',..., on aura Kî,'~*^r, K'f'^^if Désignons par [j.
le plus petit multiple de v, v',..:/)^— i sera un multiple de/>^-— i,/?"^— i,...: ce sera donc un multiple de chacune des quantités (?, c^',..., et par suite un multiple de d. Mais il est premier à p : donc d l'est également.
Le nombre X devant être un multiple de chacun des deux nombres d et p^^\ premiers entre eux, sera un multiple de dp^'^*. Réciproquement, il est
clair que A''''^^' se réduit à l'unité : donc 'k = dp^'*'*.
160. Remarque. — Si la substitution A se réduisait à la forme
I y'ot y of ' • • » ^*i> Xif' • • ♦ *^o» • • • *^» ,^'»> ■^0.?' 0 » • • • > "I ^"^i» *^i .)' I • • • » *^ 0 ^«f • • • I »
où chaque indice est multiplié par un simple facteur constant, les relations f/4) se réduiraient aux suivantes :
et X se réduirait a d.
161. Corollaire. — Si l'ordre de A est égal à p, on aura K'ô^^i, d'où K'^' i^s. I . Mais on a d'autre part K';'"* 1-^ i . d'où Ko = K^' = 1 . On a de même K, ^ I ,.., K'^^^i,.... Donc la congruence caractéristique de toute substitution linéaire d'ordre p a ses racines réelles et égales k l'unité. Cette substitution peut donc être ramenée à la forme canonique par une transformation d'indices réelle.
Substitutions échangeables à une substitution donnée.
162. Problème III. — Déterminer la forme générale et le nombre des substitutions linéaires échangeables à une substitution linéaire donnée A.
Supposons A ramenée k la forme canonique, et soit, pour fixer les idées,
A zr. I >•„ 2„ v„ 2„ (S K. vo, KoiZo-hy,), K.r,. K.(2.^-j.), K'r 1.
Pour qu'une autre substitution linéaire
B = \ x^y z», Xif . . . ay^ -+- bz^ -\- cy^-\- dzy -h ev^ a'jo -4- 6'za ^- . . . , a" y^ -f- ...... . |
soit échangeable à Â, il faudra que les deux substitutions AB et BA remplacent chaque indice par des fonctions respectivement identiques; d'où les relations de condition
aKoj.-h 6Ko(2.-K/o)-f- cK,/, 4- rfK,(z,-f- ri) -^eYJv ^ K« ( a)\ -f- bz^ -f- cjr, -h rfz, -f- ev ),
^Ka(a'7o-f- 6'2a-f- c'/,-+- d' Zs-\- é-V -h fl Ko H" A^o-h C/, -h rfz, -+- ^i' ),
Égalant les coefficients de chaque indice dans les deux membres de chacune de ces relations, il vient, entre autres relations, les suivantes :
e'K' = K.e'-f-K.^, rf'K, = Ko rf' H- K, rf, c'K,-f- rfK. = Koc' -f- KoT,
et comme K| et K' ne sont pas congrus à Kot on en conclura nécessairement ^^o, d^o, puisc*^o, rf'^o, e'=^ o, et enfin c'^o.
Donc, pour que la substitution B soit échangeable à A , il est nécessaire qu'elle remplace les indices jo» ^o d'une même série par des fonctions de ces seuls indices.
