Soit donc

CKi sait que les indices imaginaires jo» 2o,yo z^ peuvent s'exprimer en foacUQQ d'un nombre égal d'indices réels Yo, Y|, Zq, Z|, el réciproquement. Cela posé, B sera le produit de deux substitutions distinctes

B'= \ y\y Zt, )\, z,, Vy a^Xo-^ b^^Zo, a'^Xc-hb^Zo, UiX^-h b,Zt, a\xi-^b\z„ i^ |,

B"= I yy ^•f r»» ^'j ^y Jo» ^0, r., 2i, ^t' |,

dont la première remplace Y©, Y,,Zo,Z, (fonctions linéaires de j„, ^o» J<«^ij par des fonctions linéaires de y©» ^o»^m ^m ou, ce qui revient au même, par

130 UVRB DEUXIÈME.

des fonctions linéaires de Yq, Yf , Zq* Zf , sans altérer v, tandis que la seconde altère au contraire l'indice f', sans altérer y^, z©? Ji» ^o ®t, par suite, sans altérer Yo, Y|, Zo, Z<.

La substitution A est de même le produit de deux autres, A' et A'\ altérant, Tune les indices Y©, Y,, Z©, Z,, l'autre l'indice v.

Pour que B représente une substitution réelle, dont le déterminant ne soit pas congru à zéro et qui soit échangeable à A, il est clair qu'il est nécessaire et suffisant que B' et B'' soient séparément des substitutions réelles, dont les déterminants ne soient pas congrus à zéro, et qui soient respectivement échangeables à A' et à A''.

164. Cherchons donc comment B' doit être déterminé pour satisfaire aux conditions ci-dessus.

Soient7o=Yo-+-KoY,, Zo^Zo+ KoZ,,/, =Yo-+-K, Z,, z, =Zo-f-K,Y, les relations qui existent entre les indices imaginaires y^^ Zq, Ji, z^ et les indices réels Y©, Y,, Z», Z|. La substitution B', pour être réelle, devra remplacer ces derniers indices par des fonctions réelles : elle remplacera donc en particulier les indices jo = Yo 4-KoY,.... par des fonctions de Y©, Y,, Zo) Zf et de Ko. Remplaçant dans ces fonctions Yo, Y4, Zo, Z| par leurs valeurs en fonction de j©» ^0* Ji» ^1» on voit que B' remplace chacun des in- ' dicesy^f ^o» ^1 » ^1 /wir une fonction de ces mêmes indices, dont les coefficients ne contiennent d^ autre imaginaire que Ko-

D'ailleurs les fonctions a^y^ -h 6| 2| , a\ j, -h tl^ 2, , par lesquelles elle remplace y ^^ z,, sont conjuguées des fonctions «oj'o -+- ^0^0» ^oJ'oH-^'o^o» /wir lesquelles elle remplace y ^^^ z^ (149).

En second lieu, le déterminant de B' est évidemment égal au produit des

déterminants

sera nécessaire que

a\ b\ a. bo

: donc pour qu'il ne soit pas congru à zéro, il

ne soit pas congru à zéro.

Enfin, la substitution réelle B' est le produit de deux opérations imagi*naires - t^

B', =^ I ^Vo, Zo,ri, Zi, V rt« r.-»- b.z^, a\}\-^ b\ 2,, >•„ Zy, v ), B', = I y., 5„ j,, 2,, V >v, ^•, rt. r, -f- 6, 3,, a\ y, -h b\ z,, v |,

dont l'une altère les indices y^ et z^ seulement, et l'autre les indices j, et «i; A' peut être de même décomposée en deux opérations imaginaires, A'^, et A',, altérant respectivement les indices v,, z^ et les indices 7,, z,.

tuent un même système ^ correspondant à u/i facteur irréductible dont les racines sont K 0 > K 4 , . . . , K/ I . Soient A © . A , , . . . , A/ ^ er Bo , B « , . . . , B/ , lesflltératwns que A et B/ont respectivement subir aux indices de ces diverses séries. L'opércUionB^ consistera à remplacer les indices y© » ^o » • • • P^^ des fonctions flo/o -*" ^o ^c + • • • • ^OcXo"i- ^0^0+ •••»••• de ces mêmes indices, dans lesquelles les coefficienis «0 f ^0 » • • • ; ^0 » ^0 » • • • ' • • • ^^^^ ^^^ entiers complexes formés avec V imaginaire K« . Ces entiers complexes peuvent être quelconques, pourvu quils satisfassent {mœ deux conditions suivantes :

^ Le déterminant

est ^o (mod. p)\

2"" Les opérations A© et Bo sont échangeables entre elles.

Les opérations B i , . . . , B/| consisteront à remplacer les indices j, , z « ,...;... ; 7/i, 3/-I,... respectivement conjugués de y^, ^o» •• par les fonctions respectif vement conjuguées de aoy^-hb^Zo-h.*., a'o Jo -*- ^o ^o -*-•••»••• ; ^Ues seront ainsi complètement déterminées.

On pourra construire de même les altérations que la substitution Bfait subir à chacun des autres systèmes d^ indices.

Od voit par là que ie problème de construire les substitutions telles que B, échangeables à A, revient à déternniner les opérations Bo échangeables

a Aq .

167. Poursuivons cette recherche, et supposons, pour fixer les idées,

Kj'

K{z' -hu')

9 Cr»

+ Cr,

(Pour plus de simplicité, nous supprimons dans Técriture les indices des séries que Bo n'altère pas, et nous écrivons K, j,... au lieu de Ko,/©» ;

Égalons les fonctions que AoB© et B© A© font succéder à l'indice y : il vient, en supprimant partout le facteur K,

relation qui ne peut être identique que si les coefficients qui multiplient dans ia fonction /chacun des indices 2, w, z\ u\ z" se réduisent à zéro; / se réduit alors à f{y*y\y")' On voit de la même manière que les indices u, u! doivent disparaître de chacune des fonctions /, ç, /', ç', /", qp". Soit donc

le déterminant

entrera comme facteur dans celui de Bo< et, par

suite, devra différer de o (mod. />).

Posons maintenant

a y-^ b y'^ ^x{Oy

a'y^b'y' ^^\{Oy

(les termes identiquement nuls i|;, (o, o, o, o, o, o), ^j^\(o, o, o, o, o, o) étant écrits dans le but de faire mieux ressortir la loi suivie dans la construction

de C).

Le déterminant de cette opération est au signe près une puissance de a b

; il est donc différent de o (mod. p). En outre, on vérifie immédiatement qu'elle est échangeable à Ao. Posons maintenant Bo = CD. L^opération D = C~*Bo a son déterminant non congru à zéro; elle est échangeable a A©, et de même forme que Bo; mais en outre elle n'altère ni u ni w'. Les fonctions v|/ et Y s'y réduisent donc k u et ii\

Egalons maintenant les fonctions que DAo et AoD font succéder à a : il vient, en supprimant le facteur commun K,

Donc la fonction <p se réduit à z. De même, ç' se réduira à 2', /et /' à 7 et y\ Aucun indice des suites y, s, a, y\ z', u' ne sera donc altéré.

Egalons de même les fonctions que DAo ^t Ao D font succéder aux indices z" et j" : on voit immédiatement que la fonction 9" ne contient pas a, m', et

qu'en la mettant sous ia forme mz''-hny'''h<p\(y, z, y, z'j, /" sera de la forme mf'-^ (p\{o, J, o, j'). ,^

Cela posé, l'opération D est le produit de deux autres, dont Tune» Et.Mfei^' ; place les indices z" et j" par mz"-4- /17" et my'\ tandis que Tautre, F, atSiit>it;>* respectivement ces indices de (p\{y, z,y\ z') ei (p\{o, y, o, y'), aucaoe^^^ ' ces deux opérations n'altérant j, z, u, y\ z\ u'. L'opération Fa pour détei^ minant l'unité» et elle est échangeable à Ao : donc E aura son détermij^'t ^o (mod. p) et sera échangeable à Ag. Le problème de déterminer E d*a|>rès ces conditions est identique à ce qu'aurait été le problème initial de déterminer Bo, si la série des indices que'Bo altère n'avait pas contenu les suites j, z, u eiy\ z\ u'.

Les considérations précédentes s'appliquent immédiatement à un cas quelconque, et montrent que la détermination de Bo se ramène en général au problème analogue que l'on aurait en effaçant de la série que Bo altère tous les indices qui appartiennent aux suites les plus longues.

168. Cherchons maintenant à déterminer le nombre des substitutions échangeables à une substitution quelconque A.

Supposons que A étant ramenée à la forme canonique, les indices y forment plusieurs systèmes. Soient respectivement N, N',... les nombres de manières dont on peut déterminer les altérations Bo, B'j,,... que la substitution cherchée B fait subir respectivemenl aux premières séries de chacun de ces systèmes : le nombre des substitutions distinctes obtenues en combinant ensemble ces altérations est évidemment égal à NN'

Pour déterminer chacun de ces nombres, N par exemple, supposons que Ko soit imaginaire de l'ordre /, et que la série que Bo altère contienne q indices, formant m suites de n indices, m' de n indices, etc., les nombres /i, /i',... allant en décroissant.

Soient respectivement L, M les nombres de manières de déterminer les opérations partielles C et D : il y aura LM manières de déterminer B. En

effet, ^ient C|, Cj,.., Cl-, et D| Dm, les diverses substitutions qu'on

peut prendre pour Cet D : tous les produits de la forme C» Dp sont distincts. Soit en effet Ca Dp = C»' Dp' : ces deux opérations doivent altérer de même les indices des suites les plus longues; mais Dp et Dp' ne les altèrent pas : donc Ca et Ca' les altèrent de même : donc elles sont identiques : donc Dp= H^.

On voit de même que le nombre M est lui-même égal au produit des nombres P et Q de manières dont on peut déterminer les opérations partielles E et F dont le produit constitue D. On aura donc enfin N = LPQ.

169. Pour déterminer L, remarquons que les coefficients de C sont en nombre qm^ parmi lesquels ceux des fonctions ^i, ({;'(,... en nombre m[mn 4-m'/i'-4-m"/i"-h... — /w) sont entièrement arbitraires et peuvent être choisis chacun de ff manières différentes» tandis que les autres a, 6,...; fl', f,. ..;... en nombre m^, doivent être tels, que leur déterminant soit <o(mod. p). Soit L' le nombre de manières de les choisir : on aura

Pour déterminer L\ imaginons un système de^''" choses, représentées par le symbole général «^o.,.^,,. .,a^„,> chacun des indices indépendants Xf^^œ^,,., prenant successivement/)' valeurs complexes de la forme a-hKoj3-i-...4-Ki~*Ç (mod. p); et considérons les opérations qui remplacent «^^^r,, .r„ . . x«, P^^i' *^tfx,-f.*x.-H .,a'x,-H6'x.-f-. ,.. > ^» b^,..\ a\ 6',...;... étant des entiers complexes. Pour que ces opérations, que nous pouvons désigner par le symbole

représentent des substitutions, il est nécessaire et suffisant qu'elles fassent succéder chacune des choses .i», :,. ^ à une autre, et à une seule; donc, étant donnés les indices ûwco-t- 6a:|-t-..., a'a^o-t- 6'a?|-f-..., , on devra pouvoir en déduire sans ambiguïté x^^-w^,...^ ce qui exige que le déterminant des quantités a,6,...; a\ b\, ..;... ne soit pas congru à zéro. Le nombre ]/ des systèmes de valeurs de ces quantités qui n'annulent pas le déterminant est donc précisément égal au nombre des substitutions linéaires

I Xtf Xi,. . . aXi -*- bxi -h . . . , rt' JTo H- 6' ^1 -h • . . , • • • 1 9

qu'un raisonnement entièrement analogue à celui des n"^"* 123 et 124 montre égal à

170. Passons à la détermination de Q : elle n'offre aucune difficulté. En effet, la substitution F accroît les derniers indices de chacune des m' suites de n' indices d'une fonction linéaire des n' derniers indices de chacune des m premières suites; elle accroît les derniers indices de chacune des m'' suites de n" indices d'une fonction linéaire des n'' derniers indices de chacune des m premières suites, etc. Ces fonctions étant déterminées, F le sera. D'ailleurs les coefficients qu'elles contiennent, en nombre mf n' m -h m' n" m-h .. ., sont tous entièrement arbitraires, et peuvent être choisis chacun de p' manières :

t3«i LIVRE DEUXIÈME.