Réunissant les résultats qui préeëdent, il vient
N -- LPQ :■-■ |/"'[-(«-')-w('»v+i«'V'+...)](pW i){p^^— p^), . .[^r'-^ />(—')'] p.
D'ailleurs P est ce que deviendrait N si le nombre des indices de la série était seulement m!n'-\-m"n"-\-.,,^ au lieu de mn'¥m!n!'\-Tn!'n!''\-... : on aura donc de même
P, étant ce que deviendrait N si la série ne contenait que m"/i"-4-... indices, etc.
172. Problème IV. — Déterminer les substitutions linéaires qui se raménent à une forme canonique donnée^ et trouver leur nombre.
Soient â, A',... les substitutions cbercbées : elles ne sont autres que les transformées de A par les diverses substitutions linéaires.
En effet, supposons pour plus de généralité que la réduction de A à la forme canonique exige l'introduction d'imaj;i;inaires. Soient X-f-iY-H... l'un
des indices imaginaires introduits, Xh-i'''Y-i- ses conjugués. On
peut prendre pour indices indépendants, au lieu de ces indices, les quantités réelles X, Y,.... SoitB la forme que prend la substitution A rapportée à ces indices : on pourra, par une transformation d'indices réelle, donner à A la forme B. On pourra de même, par une transformation d'indices réelle, donner à A' la forme B, et réciproquement. Donc, par une transformation d'indices réelle, on pourra donner à A la forme A'. Mais soient
K' z^ I Xy X\. . » OLX -r- (5^ -t- . . . , Ol' X -h {3'x' -4- | ,
et soient
mx -f- nx' -•..., "^ 2^ m X ^- nf x' -^ . . . ,
les nouveaux indices auxquels il faut rapporter A pour lui donner la forme
identique à celle de A'. Il est clair que A' sera la transformée de A par la sut)stitution
\ Xy x\, , , mx -h nx' 4- . . . , m' x -f- /l' j?' -f- ...... . | .
Réciproquement, si A' est la transformée de A par la substitution ci-dessus, il est clair qu'en prenant pour indices indépendants Ç = mx -h /w7'-t- . . . , |' = m' a?-*- /l'a?' -h. .,,..•, on donnera à A une forme identique à A'. Par une transformation d'indices inverse de celle-là , on pourra donner à A' la forme A. Cela fait, par une nouvelle transformation d'indices, analogue \\ celle qui ramène A à sa forme canonique, on ramènera A' à la même forme canonique.
Cela posé, soient M le nombre total des substitutions linéaires; N le nombre de celles qui sont échangeables à A, et que nous désignerons par C, C, — Si une substitution linéaire D transforme A en A', lesN substitutions CD, CD,... produisent celte même transformation. Le nombre des
transformées distinctes A, A',... sera donc tt-
Remarque. — On vient de voir que si deux substitutions A, A' sont transformées l'une de l'autre par une substitution linéaire, on peut donner à l'une d'elles la forme de l'autre par une transformation d'indices convenable. Mais cette transformation n'altère pas son caractéristique (126). Donc deux substitutions dont l'une est la transformée de Vautre par une substitution linéaire ont même caractéristique.
Faisceaux dont les substitutions sont échangeables entre elles.
173. Problème V. — Trouver la forme générale des faisceaux contenus dofis le groupe linéaire et dont les substitutions sont échangeables entre elles. *,' Sojent G l'un des faisceaux cherchés, S, S^,--- ses substitutions, dp^, 'dtf/fy^... leurs ordres respectifs (rf, rf,,... étant premiers à/?). Le faisceau G contient évidemment les deux groupes partiels F = (S'''*, Sf**',...) et E = (S^, Sf',...). Réciproquement, les substitutions de ces -deux faisceaux, combinées ensemble, reproduisent G; car la substitution S, par
exemple, dérive de S'''' et S'' (31).
Les substitutions de F sont toutes d'ordre premier à p. Soit, en effet,
A=S'^Sî''* l'une d'entre elles; on aura A'''''= S^'^'^'^^S'Î''»'''* = i. Donc l'ordre de A divise rfrf, ; donc il est premier h p.
I)(* miMne, les substitutions de E ont toutes pour ordre une puissance de p. Délorminons successivement les deux faisceaux partiels F et E.
I7i. Commençons par F. Soit A une de ses substitutions : ramenée à la forme canonique, elle deviendra
il. h, r,... étant les racines distinctes de -sa congruence caractéristiquet .r. .r,,..., sf^^ii v,...; 3,...;... les indices des séries respectivement correspondantes à ces racines.
Soit A' une autre substitution de F : étant échangeable à A', elle doit remplacer .r,..., x,„^i par des fonctions linéaires de ces seuls indices; de même pour les autres séries. Soit donc
On pourra canoniser celte substitution sans altérer la forme de A. qui est déjà canonique. En effet» considérons spécialement les m indices jt,..., .r,p, ,. Pour canoniser A' en ce qui les concerne, on aura a résoudre la congruence de degré m :
s K^r ^o 'mod.|».
Les indices j\..., x«, étant liés aux indices primitifs par des relations linéaires dont les coefficients sont fonctions de la quantité a 137^, qa&
peut être imaginaire, les coefficients z '/m^** peuvent contenir celle
même imaginaire. Mais, dans tous les cas. a sera racine d*une congruence irréductible à coefficients réels. Soient / le degré de cette congruence. a,.
<>• a/, ses autres racines. Désignons par s, K,,..., S|, K. ce que
devient ç K lorsqu'on y remplace a suecessiTement par a fl/,. La
ionj:ruence
oiTVt p-ur o.xrfncients des fonctions symétriques de a, a ai^^, Ces coef-
ti- 'enî> ><r -ni iMii .îr> entiers réels. D'ailleurs cette congruence, étant de
degré ml, a /w/ racines réelles ou imaginaires. Le facteur y(K), égalé à o (mod. p) donnera donc m racines égales oa inégales, et dont le degré d'imaginarité sera au plus /m.
Soient a', â',,..., a'^, ces racines, m\ m\,,.., w'^, leurs degrés de multiplicité respectifs. On pourra remplacer les indices a?,..., a:,„, par d'autres indices a?',..., x'„^ choisis de ifianière à ramener la substitution
1 Xf • • • , Xm—i CCX -H . . . -h- y Xm—\t • • • i Of-m—y X -f- . . . -f" ym—\ X^—i \
à la forme canonique
Des transformations analogues peuvent être effectuées sur chacune des autres séries d'indices y,...; z, ...;... En effectuant simultanément toutes ces transformations, on ramènera Â' à la forme canonique. D'ailleurs, la forme de A n'aura pas été altérée; car Â, multipliant para chacun des indices a?,,.., a?^.,, multipliera par la même quantité chacun des indices ar',..., x'^^i^ qui en sont des fonctions linéaires; de même pour les autres séries. On aura donc
A ^^ I X y » . m y X ;„ 1, J^',«»» Q X , . , . , Cl X ;„J y Ojf' , . • • | ,
A =:= I X , . . . f ^ m'- 1> ^ m'f • * • y X 9 • » • O. X y . » . y a X fn'— 1» rt |^m') • • • > ^ J?' > • • • I •
Chacun des nouveaux indices, tel que x\ est une fonction linéaire des indices primitifs, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités a et a\ par lesquelles le multiplient respectivement les substitutions A et A'. En effet, x' est une fonction linéaire de a?,..., x,n^^, dont les coefficients sont rationnels en a\ a,..., 7,„-.|. Mais a,..., y,;,., sont des fonctions rationnelles de a, et a;,,.., Xin-\ sont des fonctions des indices primitifs, dont les coefficients sont rationnels en a.
175. Le faisceau F contient toutes les substitutions A'^A"^', dérivées de A et A'. S'il en contient encore d'autres, soit A" l'une d'elles; elle est échangeable à A; elle remplacera donc les indices a;',..., x'^,^y que A multiplie tous par a et A' par a', par des fonctions linéaires des seuls indices x\...y oc'^-x9 que A multiplie par a. D'ailleurs A" est échangeable à A'; donc tous les indices a? ,„.,..., x^^ que A' ne multiplie pas par a' disparaîtront de ces fonctions, qui ne contiendront plus que les indices a?',..., a; '^.,. Si donc on répartit les indices en séries, en groupant ensemble ceux qui sont tous
liO UVRE DEUXIÈME.
multipliés par un même nombre dans  et par un même nombre dans Â% A" fera succéder aux indices de chaque série des fonctions linéaires de ces seuls indices.
Soit donc
On pourra trouver une transformation qui ramène A" à la forme canonique en ce qui concerne les indices de la série a?',..., x^,^^ si l'on peut résoudre la congruence
^o (mod. p\
Les indices j?' ic'^,, étant liés aux indices primitifs par des relations
linéaires dont les coefficients sont fonctions de deux quantités a, d^ qui peuvent être imaginaires, les coefficients a',..., y'.-.-r a'^-i».... im'-\ pourront contenir ces mêmes imaginaires; mais, dans tous les cas, a satisfera à une congruence irréductible du degré U dont les racines seront a, a, 9. ••9 a/-M et a' satisfera à une congruence irréductible du degré /', dont les racines seront a\ a'i,..., a'/.»i.
Si Ton désigne par ^^^^y^^i^) ce que devient ^^ (K) lorsqu'on y remplace respectivement a par une autre racine a^ de la suite a,..., a/.|, et a! par une racine a^/ de la suite al û'/'-i» la congruence
4/(K)iJ;.,.(K)...q>,,,r(K)...v|//...r-.(K) = o (mod./^)
aura pour coefficients des fonctions symétriques en a, ai,..., a/.f d'une part, en a', a\,..., a\^y^ d'autre part. Ils seront donc réels. D'ailleurs cette congruence étant du degré //'m'aura Itm! racines réelles ou imaginaires. Le facteur i|^ (K) de degré m', égalé à o (mod. /?), donnera donc nt! racines de la même forme.
Opérant maintenant comme au numéro précédent, on pourra ramener A" à la forme canonique. sans altérer la forme de A ni de A'.
176. En continuant ce système d'opérations jusqu'à ce qu'on ait épuisé les substitutions de H, on arrive à ce théorème :
Théobèmk. — l^s substitutions A, A', A", . . . , rf'ow dérivent toutes celles de F, peuK^ent être ramenées simultanément à leurs formes canoniques respectives par
une transformation d'indices réelle ou imaginaire. Chacun des nouveaux indices y tel que Xy est une fonction linéaire des indices primitifs ^ dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités réelles ou imaginaires a, a\ a" y ... t par lesquelles A, A', A",... le multiplient respectivement.
177. On peat supposer que l'ordre de chacune des substitutions A,
M y A%... dont F est dérivé est une puissance d'un nombre premier; car
toute subetitiltibn résulte de la combinaison de celles de ses puissances
qui OBt-pânr ordre une puissance de nombre premier (31). Soient donc
ifi- l'ordre de A, n'^' celui de A',..., tt, ;r',... étant premiers : a^^y a"^* ,... seront congrus à i (mod. p).
Formons donc la suite a, a^, a%... des puissances de a; soit a^ la première de ces puissances qui soit congrue à l'unité, et à partir de laquelle elles se reproduisent périodiquement : p devra être un diviseur de n^. On aura donc p = n^f X étant au plus égal à fx. Si p'—i est la première des quantités de la suite /> — i , /?* — i , . . . , /?' — i , . . . qui soit divisible par t:^, a sera racine d'une congruence irréductible de degré /. En effet, parmi les quantités de la suite
aP-\ aP*~*,. . ., aP^-\, . .,
aucune ne sera congrue à l'unité avant a^'"*.
De même, la première des puissances successives de a' qui soit congrue
à l'unité suivant le module p sera une puissance n' de tt' égale ou inférieure à tt''* ; et si p'^—i est la première des quantités de la suite/? — i,
/>'— I,..., p'' —- 1,... qui soit divisible par tt' , a' sera racine d'une congruence irréductible de degré /'.
Gela posé, considérons isolément, parmi les substitutions de la suite A, A', A'',.., toutes celles dont Tordre est une puissance d'un même nombre premier n. Les coefficients a, a', a",... correspondants à ces substitutions
sont des fonctions entières d'un seul d'entre eux. En effet, a^^, a'^^ ,... sont congrus à i (mod./?). Soit X le plus grand des nombres X, X',... ; on aura
et aucune puissance de a'^"" inférieure à celle-là ne sera congrue à \j^
Donc à^' sera, comme a', une racine d'une congruence irréductible de degré /', en fonction entière de laquelle on pourra exprimer a' (20). Ainsi a' sera une fonction entière de a; de même pour a",....
li^i LIVRE DEUXIÈME.
ConsidéronwS de même les substitutions de F dont l'ordre est une puissance d'un autre nombre premier tt, : les coefficients correspondants a,, a\,... seront tous des fonctions entières de l'un d'entre eux, «i. De même pour un autre nombre premier tij, etc.
Considérons maintenant ces coefficients a, a^^ ^2,..., satisfaisant respectivement à des congruences
Ils s'expriment tous parles puissances d'une seule imaginaire eiafa2... = f, satisfaisant à la congruence
En effet, (''<'<''"' se réduit à a'^'^»'^''-- (mod./?); mais tti, Tia,... étant ' premiers a tt, on pourra (2) déterminer deux entiers r et r' de telle sorte que l'on ait rn\'n\\.,^=^ r'n'^-h i; on aura alors
Donc a s'exprime rationnellement en fonction de i : de même pourri, «a,...; de même pour les autres coefficients a', a",...; a\, a',...;... qui sont des fonctions entières de a, de a', etc.
Il existe une substitution dans F yi// multiplie r indice x pari. En effet, soient respectivement A, A,, Aa,... celles qui multiplient x par «, a,, an,..; la substitution A A, A,... le multipliera par aa^a^" = i-
178. Les considérations qui précèdent permettraient, ainsi que nous allons le voir, de ramener aisément à une forme réelle toutes les substitutions de F.
Nous pouvons grouper tous les indices en séries distinctes, en convenant de réunir en une seule série tous ceux que cbacune des substitutions de F multiplie par un même facteur constant; il se pourra d'ailleurs que toutes ces séries ou quelques-unes d'enlre elles ne contiennent qu'un seul indice. Soient a;, x\.,.\ v, y',...; z, z', ,..;.,. ces diverses séries.
Les indices x^ x\,.., qui appartiennent à la même série S que a?, wsont liés aux indices primitifs par des relations linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de i. On peut supposer ces fonctions entières et du degré v — i, en désignant par v le degré de la congruence irréductible dont i est racine. Si l'on ordonne les termes suivant les puissances
(le i, on aura
\, Y,..., Z; X', Y',..., Z';... étant des fonctions linéaires réelles des intlires priinitifs.
Une substitution quelconque A prise dans F, multiplianl x. x',... par lin même Tacleur constant a ^^^/(i), multipliera leurs conjugués
j:f = X + (VV+...+ i<— l^-^Z, jr', = X'+iVY'-l-... + ((— if'Z'....
par flp =/(.■'') (149).
Si l'on exprime x^, x,,... en fonction des indices x, x',...; y, y',...\ 2, s',...;..., leurs expressions ne devront contenir que les indices d'une même série. En eiïet, pour que I» substitution A, par exemple, multiplie x^, X,,... par Qp, il faut évidemment que le facteur par lequel elle multiplie cliacun des indices qui eulrcnt dans ces expressions soit précisémeni a^. Tous ces indices sont donc multipliés par un même facteur dans cliaciine des substitutions de F; ils appartiennent donc à une même série.
Cette .série S^ est essentiellement différente de la série S; car In substitution qui multiplie x, x',... part multipliera x^, x^,... par i'''. qui diffère essentiel le m en l de i.
Les fonctions x, x',..., que nous supposerons en nombre fA, étant distinctes par hypothèse, les p fonctions Xç, x,,... le seront évidemment ; car. si l'on avait entre elles une relation linéaire
r,x, + r'^x'^ + ...== o ( mod. p),
dans laquelle r^, r,,.. seraient des entiers complexes fonctions de if", cette relation devrait subsister en changeant t'^ en i, racine de la même con- ^ruence irréductible; ce qui donnerai! entre x, x',... une relation de lit forme
IX + r'x' + . . .^o (mod. p),
re'qui ne peut être.
Les indices de la racine Sp s'expriment tous linéairement en funcliuii lie Xa, X, que l'on pourra prendre pour indices indépendanls. \i» effet.
fii UVRE DEUXIÈME.
uu indice quelconque de celle série. Les substitutions A, A',...» le multipliant respectivement par a^, a^,..., multiplieront la fonction conjuguée
^ = X,4-/Y.H-...H-/>-'ÎZ.
respectivement par a, a',.... Donc z est une fonction linéaire des indices j?»
oc ) ■ • • • oOll
z^^rx -\- r' x'-\-, . . .
\.CtMc relation devra subsister en changeant i en i''% ce qui donne
Za ^= ta Xq ~^ # J7 ~^ • • • •
Cela posé, associons ensemble les v séries conjuguées S,..., S^,...; on obtiendra un système de v séries conjuguées, contenant chacune ju. indices, qui dépendent des fonctions linéaires réelles X, Y,..., Z;...; X^**~•^ Y^**~*\..., Z^*^•^ en nombre fiv. On pourrait prendre ces fonctions pour indices indépendants à la place des jj.v indices imaginaires correspondants. Les substitutions de F prendraient une forme encore assez simple, mais qui ne serait plus canonique. H vaut donc mieux conserver la forme ima- (^inaire; mais il était essentiel de montrer le moyen de la faire disparaître.
