Passons a la détermination du faisceau E
Soient B, B',... ses substitutions, B Tune d'elles : elle appartient à G» ainsi que A, A',...; elle leur est donc échangeable par définition. Elle remplace donc les indices de chaque série par des fonctions linéaires de ces mêmes indices (166). Donc elle remplace les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces seuls indices. On aura donc B^BiB,,..., B| , Bst . . . étant des substitutions partielles qui altèrent respectivement les indices du premier système, du second, etc. Soient de mêmeB'= B'jB,...,..., A=A|A2...» A'= A'jAj. ....... Pour que B, B',... soiept , échangeables
entre elles et à A, A',..., il faut et il suffit évidemment que B4, B'i»... soient (échangeables entre elles et à A|, A'^,..., que B,» B,,... soient échangeables entre elles et a A^, A^,..., etc.
D'ailleurs, chacune des substitutions^ B|, B'j,...; B^» Bj,...;... a pour
ordre une puissance de p. Car, soit p^ l'ordre de B, B^ laisse invariables tous les indices, et notamment ceux du premier système. Mais l'altération
qu'elle leur fait subir est représentée par B^ : donc B^ = i. Donc Tordre deB, divise /7^ : donc il est une puissance de p.
La recherche du faisceau E = (B, B',.,.) revient donc à celle des faisceaux analogues E, = (B,, B'j,...), E2 = (B^, B'^, ...)»••• ^^^^ chacun n'altère que les indices d'un seul système.
180. Cherchons à déterminer l'un de ces faisceaux, te! que Ë|. Soit
x^ x'y.,. ax -h (3 y -h..., a'x 4-(3'ar' 4-...,...
X\^ X I y • • • Ot\ X\ ~t~ |3| X I ~T" • • •> ût I X "^ |3 . X I —^ • • .y . ••
une de ses substitutions : le premier membre de sa congruence caractéristique est évidemment divisible par le déterminant
Mais son ordre étant une puissance de />» sa congruence caractéristique a toutes ses racines égales à l'unité (161). Donc A, égalé à o (mod.^)» a toutes ses racines égales à l'unité.
Cherchons à déterminer des fonctions des indices x^ x\..., x^'*^ que B, multiplie par un facteur constant : ce facteur s'obtiendra en résolvant la congruence A^o (147). Il se réduit donc à l'unité : les fonctions cherchées ne seront donc pas altérées par la substitution B«. Soit fx' le nombre des fonctions distinctes des indices x, x^^..., x^^^*^ que cette substitution laisse inaltérées : on peut supposer qu'elles aient été prises pour indices indépendants et se confondent respectivement avec a?,..., x^^'^^K
181. Cela posé, soit B'^ une autre substitution de E« : étant échangeable aux 'wbstitutions A, A',..., elle remplacera a?,..., x^^''*^ et en particulier arMVk/flS^*"'^ par des fonctions des seuls indices a?,..., x^^-*K D'ailleurs on dcMt a¥oq|( l'égalité B4B\ = B'jB|, et pour cela il faut évidemment que B\ remphice a?,..., x^^'''*\ que B| n'altère pas, par des fonctions que B^ n'altère pas non plus, c'est-à-dire par des fonctions des seuls indices a?,..., x^^'-'^K
Soient a^rn-... -hyir^»*'■"•^..., oc^^'-^^x-h ...-hf^'^^^x^^'-^^ ces fonctions. La congruence caractéristique de B'^ contiendra évidemment en facteur lé déterminant
«("''-0 . . . yfr'-') - K
iMi UVRE DEUXIÈME.
Mkts ses racines sùni toutes égaies à Tunité. Donc ce déterminant, égalé a o {mod.p)y aura toutes ses racines égales à Funité.
Cherchons à déterminer les fonctions de a?,..., œ^^'-^^^ que V^ multiplie par un facteur constant. Ce facteur s'obtiendra en résolvant la congruence A'^o. Il se réduit donc à Tunité. Soit /x'' le nombre des fonctions distinctes de â?,..., x'^'-^^ que B'i laisse ainsi inaltérées : on peut supposer qu'elles ont été prises pour indices indépendants et se confondent avec a?,..., x^^''''*K
182. Soit maintenant B' une autre substitution de E^ : elle remplacera X,..., x^^'^*^ par des fonctions de ces seuls indices. En outre, étant échangeable à B'i, elle remplacera a?,..., a?^»*"-"'\ que B'^ n'altëre pas, par des fonctions que B'^ n'altère pas, c'est-à-dire par des fonctions de ces seuls indices.
On voit ensuite qu'il existe des fonctions de a?,..., a?^ï*"-*> que B\ n'altère pas, etc. Poursuivant ce raisonnement, on arrive à ce résultat :
Il existe certaines /onctions des indices a?,..., x^^^^^ qui ne sont altérées par aucune des substitutions B| , B\ , . . . du faisceau E| .
Soit /Xi le nombre de celles de ces fonctions qui sont distinctes : on peut admettre qu'elles se confondent avec a?,..., a^^^-^K Cela posé, chacune «des substitutions de E,, telle que B|, remplace respectivement les indices de la première série a?,..., xf^^^-^\ a?^^«^..., a?^»*"*> par des fonctions 4e la forme suivante :
9^'^>^..., ç^»*"*^ étant des fonctions de a?,..., x^^^'^K
183. Posons maintenant B« =CD, G étant la substitution qui remplace les indices x^'\...^ o?^*^*^ par
et leurs conjugués par les fonctions conjuguées, sans altérer aucun des autres indices. Décomposons de même chacune des substitutions B'^, B' ,... ^n un produit de deux facteurs, et soit B'j = C'D', B' = C"D",.... Les substitutions C, Cj C'\... sont échangeables entre elles. Car si C n'était pas échangeable à C\ il est clair que B| ne le serait pas a B'^. En outre, chacune de ces substitutions a pour ordre une puissance de p. Car pour qu'une puissance de B| se réduise à l'unité, il faut évidemment que la puissance correspon-
dante de C se réduise à l'unité. Donc Tordre de C est égal a celui de B,, ou le divise : donc il est une puissance de p.
Appliquant au groupe (C» C, C",...) les raisonnements faits pour le groupe (B,, B'^, B' ,...) (180-182), on voit qu'il existe des fonctions des indices a?^»*«\..,, a?^~*^ que C, C, C",... n'altèrent pas, et que, par suite, B|, B',, B'j,... accroîtront simplement de certaines fonctions de a?,..., x^^'^'^K Soit jx, le nombre de ces fonctions, on pourra supposer qu'elles se confondent avec a?^***\..., a^^H-i+i^t-*)^
184. Poursuivant ce raisonnement, on obtient le résultat suivant :
Les indices de la série a?,..., a^^^^ peuvent être choisis de manière à se répartir en classes telles y que chacune des substitutions de E| laisse invariables les indices de la première classe, et, plus généralement, n'ait d'autre effet que d* ajouter aux divers indices de chaque classe certaines fonctions des indices des classes précédentes.
Dans les séries conjuguées de la série a?,..., x^^^^ on prendra pour indices indépendants ceux qui sont conjugués de a?,..., x^^^K Chaque substitution de E, les remplaçant par les fonctions conjuguées de celles par lesquelles elle remplace a?,..., a;^* (l^^)» ils se trouveront tout naturellement répartis en classes, conjuguées de celles de la première série.
185. Si les indices a?,..., xf^^^^ ne forment que deux classes, il est clair que toutes les substitutions déGnies par la propriété précédente sont échangeables entre elles, et peuvent être contenues simultanément dans Ë,. S'il y a plus de deux classes, il n'en est plus ainsi, et de nouvelles recherches seraient nécessaires pour préciser la forme de ce faisceau : mais nous remettrons cette étude a une autre occasion, les résultats déjà démontrés étant suffisants pour les applications qu'on trouvera dans cet ouvrage.
Voici pourtant quelques résultats particuliers dont on retrouvera aisément la démonstration, et qui donneront quelque idée de la grande variété de formes dont le faisceau E| est susceptible :
i^ Si chaque classe ne contient qu'un seul indice, les substitutions de Ë| peuvent être mises sous la forme
Réciproquement, les substitutions de cette forme sont toutes échangeables entre elles et peuvent être simultanément co|i(eiiues dans Ei«
n^ Si les fji indices or, a/,..., 0^^*^*^ se MnÉ|^^ ^^ ^^^^^ classes, conte-
nant respectivement i, /x — 3,- 1. indices, désignons par x Tindice unjque qui forme la troisième classe, par/,,..., 7,^.2 ceux qui forment la seconde» par z celui qui forme la première : les substitutions de E« pourront être réduites à la fois à la forme générale suivante :
les coefficients ai,..., a,.,..., a étant quelconques, et les coefficients hr déterminés par les relations
.,. J 6jp^«îp-i ei 6ap,^a,p, lorsque p< m -h I,
I ba ^a,, lorsque o'>2m,
m étant un entier constant nul ou positif, mais dont le double ne surpasse pas II — 2.
Réciproquement, toutes les substitutions de cette forme sont échangeables entre elles, et peuvent appartenir à la fois à E,. On aura ainsi pour ce faisceau autant de types généraux distincts qu'il y a de manières de déterminer m.
3® Si, au lieu de /x indices, on en avait jxh- i , a?, a?', ji,..., /ii-a» ^» répartis en trois classes, qui contiennent respectivement 2, /x — ^, i indices, on obtiendrait pour E| des types variés. Nous en citerons quelques-uns, qui se rattachent immédiatement à ceux que nous venons d'examiner. Leurs substitutions sont les suivantes :
X j: -h a, j*, -h . . . -h flr Jr -I- • • • -I- 5e 2
OÙ âff , . . . , âfr, . . . , a, ^ sont quelconques ; fr| , . . . , b^2 sont déterminés par les relations (6); et les coefficients c^^r sont liés entre eux par les relations suivantes, où p, p' sont supposés <m-t-i, et o*, a' >2m :
^*ap.« — ^«,Jp-»-i> ^'3p-»-i,« — ^'».sp> ^'ff.ff* — ^V,
Pour avoir Tordre du faisceau ainsi déterminé, on remarquera que le nombre des coefficients qui restent indéterminés dans l'expression (7) après qu'on
x' ^ y\... les indices en nombre X' de la dernière classe de la première série du second système; a?\, j'j, ...;...; x[,^^, Jv-if' ceux des classes conjuguées, etc. On aura ainsi XvH-X'v'+... indices appartenant aux dernières classes de leurs séries respectives. Chaque substitution de E accroîtra simplement cçs indices de fonctions linéaires des indices u^ v^... appartenant aux classes précédentes, et remplacera ces derniers par des fonctions linéaires de w, i',... (184).
II résulte évidemment de là que les substitutions de E sont échangeables à toute substitution 2 qui accroît respectivement a?, j,...;...; a?v-if yv-4»-««î
a', /5', ...;...; a^j, j31»,, ...;... sans altérer w, i^,.... Or si Ton prend pour 5c, /3,... des fonctions entières quelconques de i; pour ap, |9p,... leurs conjuguées; pour oc\ ^',... des fonctions entières quelconques de Timaginaire i\ analogue à i, etc., il est clair que 1 ne sera imaginaire qu'en apparence, et prendra la forme réelle lorsqu'on remplacera les indices imaginaires ic = X-t-îY-f-...-hi^''*Z,... parles indicesréelsX, Y,...,Z,.... Mais a, ^,... peuvent être choisis chacun de p"* manières; a', ^',... de p^ manières, etc. : donc les substitutions distinctes de la forme 2 sont en nombre z^'^^''''"*"'", nombre évidemment supérieur à D, même dans le cas le plus défavorable, où l'on suppose X = X' = ... = f.
Substitutions permutables aux faisceaux précédents.
187. Soit, comme précédemment, G un faisceau de substitutions linéaires, échangeables entre elles : et cherchons à déterminer les principales propriétés du groupe I formé par les substitutions linéaires qui sont permutables à G.
188. Théorème. — Si G contient des substitutions dont r ordre ne soit pas premier à p, l ne pourra être primaire.
En effet, soit E le faisceau partiel formé par celles des substitutions de G dont l'ordre est une puissance de p (173). Les transformées de ses substitutions par une substitution quelconque de I appartiendront à G, par hypothèse, et auront pour ordre une puissance de p. Donc elles appartiendront à E : donc E est permutable aux substitutions de I.
D'ailleurs il existe certaines fonctions des indices que les substitutions de E laissent invariables (179-182). Ces fonctions peuvent s'exprimer linéai-
DES SUBSlTTUnONS. ' 151
rement au moyen d'un certain nombre de fonctions distinctes, Xy x',... que l'on peut prendre pour indices indépendants, à la place d*un nombre égal des indices primitifs (143). Soient j,... les indices restants : les substitutions de E seront toutes de la forme générale
I X^ X y <. . tf y y • t . Xy X y . , . y J \ Xy <37y...y^y«.*jy*.. ]•
Soit maintenant
O I Xy X y,,»y JTy,,, ^ \^ 9 ^ >»««>^>»»»/> 9 V^' ^ >•*•» ^» •••}>••*> T X^' ^ >•••» ^••••j>»»»
une quelconque des substitutions de I : les transformées par S des substitutions E seront de la forme
(p ( Xy X y • » y y y • • • ) 9 L^> ^ 9 • ' * 9 J {^9 «^,»«', ^9 '••}>•••] (p ( Xy X 9 • • • 9 y y • • •) 9 L<3?, ^ 9 * • • 9 J \ ^9 ^ , . . . , ^, . , . j, . . . J
Mais ces transformées, appartenant à E, n'altèrent pas les premiers indices : on aura donc
<p ( Xy X y • . y y y • • • j ^= 9 \.*^ 9 *^ 9 ' ' * 9 J\^9 X y . • y J^y ... j, ... J y CP ( Xy X: y. . .y y y • • • j ^= 9 L"^' ^ 9 ' • ' 9 J \^9 X y , , y y y . . • )y , . J ,
Ces relations montrent que les fonctions 9, 9%... ne sont pas altérées par les substitutions deE, et, par suite, sont des fonctions de x, x'y.,. seulement. Donc les substitutions de I remplacent a?, x'y... par des fonctions de ces seuls indices : donc I n*est pas primaire (t42).
189. Passons au cas où toutes les substitutions de G ayant leur ordre premier à/?, G se confond avec le faisceau partiel F, étudié aux b^ 174^178. Supposons les indices choisis de manière à ramener simultanément toutes les substitutions de F à leur forme canonique; et soient XyX\...; j, j\ ...;.. . les séries obtenues en groupant ensemble ceux des indices que chacune des substitutions de F multiplie par un même facteur constant; ces substitutions prendront la forme suivante :
A= I ^, x\. ., y, y'y...9. . . axy ax\. .., by, Aj',...,... |.
X j \XfXy..,9jr, y,»,.) X J \\^9 X y • . . 9 JT, y f, . •)
une des substitutions de I. La transformée de A par S prend la forme
/ {x, x',.,., X, r',...) / {ax, or',..., ij, frr',...) f'{x, :r',..., X9 X'y") fi^f ax\..., 67, 67',...)
/, {x, x\.,., j, j',...) /, (ax, ax\..., by, hy',.,.) f\{x, ^,..., 7, 7',...) f\{ax, ax',,.., by, by',...)
et comme elle appartient à F, par hypothèse, elle devra multiplier par un même facteur constant les indices de la première série. Si donc on a
f [x, x',,, ,, y, y',...)=iax 4- a, :c' H- . . . H- (3j + Pij' -+-..., f'(x, x',..., y, j',... ) = «'^ + «>' + ... -h (3'j+P'.7' H-....
et si K est le facteur constant, on aura
GLû^x: -\-axax'-\-..,-\-^by -\'^iby'-\-...^lL[ax H-a,ar'4-...-l-(3j -h(3i j'-4-...J,
Tous les coefficients a, a,,...; j3, /3|,...;... ne peuvent être à la fois congrus à zéro. Soit donc, par exemple, /3^o (mod./?). Les indices œ et v n*étant pas de la même série, il existe une substitution au moins dans le faisceau où l'on a a^& (mod./?). Les conditions (9) relatives à cette substitution donneront
(K — 6)(3^o, (K — 6)j3,^o,. . ., (K — a)a^o, (K — fl)a,^o,. . ., (K — 6)(3'=o, (K-i)(3', = o,..., (K — a)a'=o, (K — a)a, = o,. . .,
d'où
DES SUBSTirunONS. 153
OU, comme a^fr (mod./?).
Ainsi, tous les coefficients de/,/',... sont congrus à zéro, sauf les coefficients j3, |3,,...; j3', jS*, ,...;... qui multiplient les indices 7, j',.... Nous obtenons donc ce premier résultat :
Proposition I. — Chaque substitution de I rempUice les indices d'une même série a?, x\... par des/onctions linéaires des indices y^y^.,. d'une seule et même série.
190. Les fonctions linéaires de j, 7',... que S fait succéder k x, x\... doivent être toutes distinctes, pour que le déterminant de S ne soit pas congru a zéro : mais le nombre des fonctions distinctes que Ton peut former avec les indices /, y\... est au plus, égal au nombre de ces indices : donc le nombre des indices j, y',... est au moins égal à celui des â?, â/,....
D'autre part, la substitution S~'\ qui fait partie de I, remplaçant certaines fonctions dej', y',... respectivement par x^ x\..., remplacera j,j',... par
des fonctions dans lesquelles entreront ces indices x^ x\ D'ailleurs ces
fonctions ne doivent contenir les indices que d'une seule série (Proposition!). Donc S""* remplace y^ J''>..- par des fonctions des seuls indices^, a?',..., lesquels devront être en nombre au moins égal h celui des indices j, y\ ..,* pour que le déterminant de S"' ne soit pas congru à zéro. On a donc le -résultat suivant :
Proposition II. — Le nombre des indices de la série y, j',... est précisément égal à celui des indices de la série a?, x\,,,.
191. La substitution A multipliant Jt j',... par 6, nous venons de voir que sa transformée par S multiplie x, x\,.. par b. D'ailleurs elle fait partie de F. irÉ suite des coefficients b, b\..., par lesquels les diverses substituliônsdeF multiplient j^,j',..., est donc identique, à l'ordre près, à la suite des coefficients a, a\.,. par lesquels elles multiplient a?, x\.... Donc, si a, a\... s'expriment au moyen d'une imaginaire 1, de degré v, il en sera de même de é, 6',...; et le système qui contient la série j, j',... sera formé de V sérieSf comme celui qui contient la série x, x\.... Ces deux systèmes peuvent d'ailleurs être différents, ou se confondre en un seul.
Soit d'ailleurs a?p, x'^ ,... l'une des séries conjuguées de la série a?, â/,.... La substitution S, remplaçant a?, a?',... par des fonctions de j, r',..., rem-
itU LIVRE DEUXIÈME.
placera cc^, x\^... par les fonctions conjuguées de celles-là, c'est-à-dire par (les fondions de y^^y\ ,•.., conjugués de 7, 7',....
