Nous obtenons donc la proposition suivante

Théorème. — Choisissons les indices indépendants de manière à ramener les substitutions de Y à la forme canonique : groupons- les en séries et ces séries en systèmes, comme il est indiqué plus haut : enfin, groupons les systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux qui contiennent le même nombre d'indices, répartis dans le même nombre de séries :

Chaque substitution de I remplacera les indices d'une même série par des fonctions de ceux d'une même série : ceux d'un même système par des fonctions de ceux d'un même système : ceux de chaque classe par des fonctions de ceux de cette classe.

193. Prenons maintenant pour indices indépendants, dans chaque système, au lieu des indices imaginaires considérés jusqu'à présent, les fonctions réelles en nombre égal dont ils dépendent (178). Il est clair qu'après ce changement comme avant, les indices d'un même système seront remplacés dans chaque substitution de I par des fonctions de ceux d'un même système, et ceux de chaque classe par des fonctions de ceux de cette même classe.

Donc s'il existe plusieurs classes, 1 ne sera pas primaire (14-2).

194. Revenons maintenant aux indices imaginaires, et supposons, pour plus de simplicité, qu'il n'y ail qu'une seule classe, contenant X systèmes

formés chacun de v séries, contenant chacune jj. indices. La substitution S, remplaçant les indices de chaque système par des fonctions de ceux d'un même système, est évidemment égale à TU, T étant une substitution qui permute les systèmes entre eux de la même manière que S, mais en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants, et U une substitution qui ne déplace plus les systèmes. D'ailleurs S et T étant réelles, et remplaçant les indices d'une même série par des fonctions de ceux d'une même série, U = T"** S jouira évidemment des mêmes propriétés. En outre, elle sera le produit de substitutions partielles U,, U2,..., altérant respectivement les indices du premier système, ceux du second, etc.

Cherchons la forme de l'une de ces substitutions partielles, U| par

est dite orthogonale y si Ton a identiquemeot d'où les relations

( «» H-a'« -hfl"« 4.,..= /,»H-i'a ^.ft'/a ^... = e« 4-C'* -4-C^» -+-...= ...= 1,

L€5 substitutions orthogonales forment un groupe. Car soient S|, S, deux semblables substitutions : toutes deux laissant invariable la fonction a:^-f-j^H-j3*H-.., (aux multiples près de/?), leur produit la laissera également invariable : il sera donc orthogonal. ^

La substitution orthogonale S a pour réciproque la suivante

S, = \XyX,z,.., aX'ha\y'-ha^^Z'h...9 bx-hb'f-hb'^z-h,.., cx-hc'y-¥ (fz-\-. ,.<,., .\:

car si Ton tient compte des relations (ro), on voit que SS« se réduit à Tunité.

Les puissances d'une substitution orthogonale étant elles-mêmes orthogonales, S| le sera : d'où le nouveau svstëme de relations

Réciproquement, les relations (lo) peuvent se déduire des relations (i i); car si S| est orthogonale, sa réciproque S Iq sera.

Les deux substitutions S, S| ont évidemment le même déterminant, & : leur produit a pour déterminant c^^. Mais il se réduit à l'unité : donc c^^ i . Donc toute substitution orthogonale a son déterminant congru à dz i.

La recherche de l'ordre du groupe orthogonal se lie étroitement, comme on va le voir, à la résolution des cougruences du second degré à plusieurs inconnues.

Congruences du second degré à plusieurs inconnues.