Problème. — Résoudre la congruence
a, x] -^ OiXl^ k ( mod. p ),
p étant un nombre premier impair, et a^, a^y k des entiers dont les deua; premiers soient non divùMm par p.
m étant un entier. On peut poser d'autre part z^iâ. Substituant, il vient
d'où
t(p -h î)^ m(p -h i) (mod. />•— i),
eongruencequi admet les racines suivantes: m, m-hp—t, m-4- a(/>— i),.... Parmi ces racines, il en existe évidemment /> -H i incongrues suivant le module ^^—i. Les valeurs correspondantes de u^^Ez^y-h 1x2 donneront p + I systèmes distincts de solutions pour la congruence proposée.
198. TnÉoRKMK. — Soit l-\ un symbole égal à o, û i ou à — i^ suivant que op sera divisible par p, résidu ou non résidu quadratique de p. La suite \r (")»•••' \ \^ présentera- variations de signe.
En effet, la congruence^-^^ÔT^-t- 1 (mod. p) a, d'après ce qui précède, p — 1 solutions. Ces solutions sont de trois espèces : 1® Celles où x^o, j=£±:i, au nombre de deux. tP Celles où x^^a, j^^a-hi, a étant un résidu suivi d'un résidu dans la série des nombres naturels. Soit 9 le nombre des valeurs de a satisfaisant à ces conditions : chacune d'elles donnera quatre solutions, les signes de jr, y étant tous deux ambigus. ^^ Enfin on pourra poser j^ o, ar^ -f- 1 ^ o, ce qui donne deux solutions s\ p — i^ — ï est résidu quadratique, et n'en donne point s'il n'est pas résidu.
1° Soit d'abord ( — ) = ï. Le nombre des solutions de la congruenee y^ =e:x^ H- f sera 2H-49-t-2=;> — i, d'où 9 = ^-r— — 1 . Le nombre total des résidus quadratiques dans la série i, 2,...,/>— i est ^ "" ^; nous venons de voir que ^-7-^ ~" ' ^*^"^r® ^"^ sont suivis de résidus; le dernier, p—if n'est suivi d'aucun terme : il en reste donc ^ T ' suivis de non
résidus. En d'autres termes, la suite I -)»•••» (^— -) présente ^-7— passages du signe + au signe •— . Mais le premier et le dernier terme ont le signe H- : le nombre des passages du signe — au signe -+- sera donc le même que celui des passages du signe + au signe — . Le nombre total des
variations sera donc ^~^'
DES SUBSTITUTIONS. IÏ59
3** Soil ( — j = — I. On a /? — I =2-1-49» ^'^" 9= ^T ' Le nombre des résidus suivis de non résidus sera ^ ~^ ' — <p = -^ / ' ■ Il y aura donc
^-7— passages du signe -i- au signe —• dans la suite (-)?•• m {^-—y
Mais le premier terme a le signe + et le dernier le signe — : le nombre des passages du signe — au signe + sera donc inférieur au précédent d'une
unité et égal à ^ . ' — i , et le nombre total des variations sera encore ^^^^ •
199. Théorème. — Le nombre des systèmes de solutions de la congnience
atx] -h aiX\-h. . .-h auxln^/f (mod. p)
où a,, aj,..., a2n sont ^o (mod. p) est égal à ^^''*-' — /?"~' v ou à ptn-i^ ^^ii^-i j y^ gniçdfii quon a k^o ou k==o ( mod. p), v désignant
pour abréger le symbole i — " " ^'" J *
La vérité de ces formules dans le cas où /i = 1 résulte du 11° 197. Nous allons maintenant prouver que si elles sont vraies pour n = / et n = m^ elles sont vraies pour n = l -h m.
La congruence
équivaut aux deux suivantes :
• > 5 ) a,/-»., xîi^i -4- ... -h aa(/+m) ^f (/H-w) ^ Ar — 7>
^ étant une nouvelle indéterminée.
1** Soit d'abord k^o (mod. p). Pour toute valeur de j différente de o el de k (mod. /?)> la congruence (i4) a» par hypothèse, /?^''* — /?'"* X solutions, et la congruence (i5) en a /?*'""* — p'""* /x, en posant, pour abréger,
Pour j^o, elles ont respectivement/?^'""' 4- (/-^/^'"*) ^ ^1 Z^^"*"' —/>'""'. «Ji solutions.Enfin,pourj=*,ellesenont/>'''-'— />'-'et/?«'''-*4-y''-/>'''-V)/^^
160 LIVRE DEUXIÈBIE.
Le nombre total des substitutions cherchées sera donc
et, comme X/jl = v (16), la formule se trouve démontrée.
2" Soit k^o. Posons d'abord 7^0 (mod./i), puis j^o, et sommons les- solutions correspondantes a ces hypothèses : le nombre total obtenu sera
200. Théorème. — Le nombre des systèmes de sotutions de la congruence (16) atx\ 4-aaarJ -f-. . . -f- «„+, a:i„+, ^ Ar (mod. /i).
est ;?»" - /^''v', e/i posant pour abréger v' = /(- ')"«'^»' • •^-h^\ . En effet, la congruence (16) revient aux deux suivantes :
(>7) a,x]=Xs '
(18) a, arj -h . . . -4- aan^i arî"-*-» = A* — j.
La congruence (17) admet la solution x^o si 7^0, et les deux soiu-
tionSir^±: —si a^yesi un résidu quadratique r^; elle n'en admet aucune
si a^y n'est pas résidu. D'autre part, le théorème précédent donnera le nombre de solutions de la congruence (18) pour chaque valeur de r. Posons, pour abréger,
on aura en tout
ou
systèmes de solutions, suivant que jx sera égal à o, j ou — i . Dans les trois cas, en opérant les réductions et remplaçant juiv par v', on tombera sur la formule à démontrer.
Ordre du groupe orthogonal.
201. Théorème. — L'ordre du groupe orthogonal de degré //• [p étant premier impair) est égal à Vn P^-i - . . Pi, Pr désignant le nombre de solutions de la congruence
x\ -^ xl-Jf , . , -^ xl -^i ( mod. p ).
En effet» soil Q;, le nombre des substitutions orthogonales S, S\... qui laissent invariable l'un des n indices x. y, z,..., le premier par exemple, et soit T une substitution orthogonale qui remplace x par une certaine fonction aa? -h by-hcz-h.... Les Q„ substitutions orthogonales TS, TS',... remplacent x par oo? -h 6j -h cz -+-.... Réciproquement, toute substitution orthogonale U qui produit ce remplacement fait partie de la suite TS, TS',...; car T""'U, laissant x invariable, fait partie de la suite S, S',....
Soit donc R,, le nombre de fonctions différentes par lesquelles les diverses substitutions orthogonales remplacent x : l'ordre Qn du groupe orthogonal sera égal à R«Q«.
D'ailleurs, si l'on pose dans les relations (ii) a^i, 6^c^...s=o, elles donnent a'^a"^ ...^o; et les autres coefficients b', c',...; 6", c",...;...se trouveront liés entre eux précisément par les relations qui caractérisent l'orthogonalité dans le cas de n — i indices. Donc Q„ est égal à û„.| : on aura donc
12n = M\n lin— t ^— "n ■»«— I l^n— a ^^^ • • • ^^ Kii Ru— i • • • lia 1*1,
et, comme 1^« est évidemment égal à 2 = P^, le théorème sera établi si l'on prouve qu'on a généralement R« = P„.
Or, pour qu'une substitution qui remplace x par ax -\- by -^ cz -\- . >. soit orthogonale, il faut, d'après les relations (11), qu'on ait
Réciproquement, nous allons voir que a, 6, c,... étant un quelconque des P/t systèmes de solutions de la congruence (19)1 on pourra déterminer une
ai
loi LIVRE DEUXIÈME.
substitution orthogonale qui remplace x par ax -h by'\' cz -h .... proposition qui rendra manifeste l'identité R„= P^.
202. Premier cas : ti = 2. — La proposition est évidente; car la substitution
S = I :r, ^' ax -¥- hy\ — bx -{- ay
est orthogonale et remplace x par ax 4- by,
203. Second cas : n = 3. — La proposition est vraie^ si quelqu'une des quantités 1 — a*, i — 6^, i — c^ est résidu quadratique de p. Car soit, par exem[)le,
on a, par hypothèse,
a^-h b^-^ c^^iy d'où — +-^ — - — ^i.
Donc il existe une substitution orthogonale
X, X, Z X, - / -f- y Z, — jJ -^ 7 ^
qui n'allere pas x, et remplace y par 77 + 72. Cette substitution, coinbinée aux suivantes
A = I :r, ^^ z r, ^-,-3 1, B=: I ^s j, z bx-¥- />•, — /x -h 6/, z |,
qui sont également orthogonales, donne la substitution ACB, laquelle sera orthogonale, et remplacera x par ax -f- by -h cz.
204. fM proposition est vraie pour les nombres a, 6, c\ si elle l'est pour les nombres a, b^ — c^^^ b\ c/3 4- by^^c', jS, y e/a/i/ rfeoo? entiers quelconques satisfaisant à la relation /S^4- y^^ 1 . Car, s'il existe une substitution orthogonale S qui remplace x par ax 4- h'y-hc'z, cette substitution, combinée a la suivante
laquelle est orthogonale, donnera la substitution D"^S, laquelle remplace jc par ax -{- bj -f- cz.
205. Cela posé, «admettons que chacune des quanlilés \ — a^, i — A*, I — c* soit nulle (*) ou non résidu quadratique de p. Deux cas seronl à
distinguer, suivant l'hypothèse que l'on fera sur le signe de (~- )•
Première hypothèse : (— ^) = — i. — On pourra choisir |3 et 7 de telle
sorle que 1 — b'^ soit résidu ou nul. En effet, supposons h' connu : on a
bp~- cy^= b , d ou (3=^- ,-'•
Substituant cette valeur dans la relation jS^-f- y^^^i, il vient une congruence du second degré en 7, qui ne peut avoir plus de deux racines. Donc, parmi les systèmes de valeurs de j3, 7, en nombre p-\- i (197), qui satisfont à la relation /5^-h 7^e^ i, il en existe au plus deux qui donnent la même valeur à h'. Si donc on fait varier j3 et 7, b' prendra au moins
- — ^ valeurs distinctes. Mais le nombre des valeurs distinctes de b' pour
lesquelles 1 — 6" est un non résidu est seulement ^ \ car i — 6'^ et — 1
étant non résidus, fc'*— 1 sera résidu. On devra donc prendre pour 6'^— i
l'un des ^—7 — résidus suivis de résidus dans la série des nombres naturels :
à chacun d'eux correspondent d'ailleurs deux valeurs de b'. Donc, parmi
les^ valeurs distinctes de b\ il en est une au moins telle, que i — h'^
soit résidu ou nul.
206. Si 1—6'^ pouvait devenir résidu, la proposition serait démontn'e (203-204). Supposons donc qu'il devienne nul. On prouvera comme tout à l'heure : 1^ que la proposition sera vraie pour a, b\ d (et par suite pour a, 6, c), si elle l'est pour aa — c'd^^a', b\ a& -^ c'ol^&\ a ei â satisfaisant à la relation a^-hc^^^i; 2^ que a, & peuvent être choisis de telle sorte que i — a'^ soit nul ou résidu. Mais on a
(*) Nous commettons ici, à dessein, et pour éviter les ^périphrases, une légère inexactilude de langage. Ce que nous disons des quantités a, ô, c, i — Wi i-^:^', i — ^S etc., doit s'entendre, non de ces entiers eux-mêmes, mais du reste de leur diviAm pu^.
et, si Ton avait i — a'*^ i — V^^ o, il viendrait c"*^— i, résultat absurde, — I étant non résidu. Donc i — a'* sera résidu, ef la proposition sera vraie.
207. Seconde hypothèse : ( — ^ j = i. — Les systèmes de valeurs de j3, y qui satisfont à la relation jS'-f- y^^ i seront en nombre /? — i, et les valeurs correspondantes de b' en nombre ^"~' au moins. Ce nombre est égal
à celui des valeurs de b' pour lesquelles i — b'^ (ou, ce qui revient au même, 6'^ — i) est non résidu; donc, en faisant varier j3, y, on donnera k b' toute la suite de ces dei^nières valeurs, ou une valeur telle, que Ton ait I — ô'^^o, ou enfin une valeur telle, que i — b'^ soit résidu. Excluant ce, dernier cas, dans lequel la proposition serait démontrée, on pourra supposer b' égal à ±1 1 ou à un entier d, choisi à volonté dans la suite de ceux qui sont tels, que i — rf^ soit non résidu.
On voit de même : i** que la proposition sera vraie pour a, b\ c' (et par suite pour a, 6, c) si elle l'est pour aa — c'&^a\ b', a& -h c'a^c'\ a et â satisfaisant à la relation cc'^-j- ^^^i; a° que ce et â peuvent être choisis de telle sorte qu'on ait a'^±i ou a'^d\ rf' étant un entier choisi à volonté dans la même suite que d.
