Cela posé, trois cas sont à distinguer

1** Soit a'^ dz j , 6'^ ±: I . La proposition sera vraie pour a', b\ d' si elle Test pour a"^a't — è'Ç, 6"^fl'Ç -+- ô'e, c" (e, Ç satisfaisant à la relation t^ -h Ç^^ i). Or Ton pourra faire en sorte que i — a"^ soit résidu. En effet, a'*, b'^, Ê^-f-Ç* se réduisant k Tunilé, i — a"^ se réduit à aa'è'eÇ. Soient d'ailleurs X un entier tel que l'on ait X^^ — i, et i' un entier arbitraire : on aura (197)

d'où

expression qui sera résidu si — r- et i'* — i sont à la fois résidus ou non

résidus. Mais Gauss a montré [Theoria residuorum biquadraticorum Commentatio prima^ 16-21) que l'on peut déterminer v de telle sorte que v^ — i soit à volonté résidu ou non résidu. .Donc on pourra toujours faire en sorte que 1 — a"^ soit résidu, ce (|uiji^lëR)ntre notre proposition.

209. 2® Soit fl'^dti, b'^dzd. La proposition sera vraie si I — c**^a'*-h i'*^ I -h rf* est résidu. Mais d est l'un quelconque des entiers tels, que i — d^ soit non résidu ; il pourra être choisi de telle sorte que i-\-d*so\t résidu. En effet, considérons la suite des nombres naturels I, 2,...,/; — i; elle contiendra au moins un résidu qui soit à la fois suivi d'un résidu et précédé d'un non résidu. Car si 2 est résidu, p ^ 2 le sera; /> — 3, /i — 4»««« pourront Têtre également ; mais on finira par tomber sur un nombre p' qui ne sera plus résidu : et le nombre p'-i- i sera le résidu cherché. Supposons, au contraire, que 2 soit non résidu : parmi

les £ I résidus supérieurs à 2, il en existe au moins un qui soit suivi

d'un résidu. Car si chacun d'eux, sauf le dernier, était compris entre deux

non résidus, la suite f-U (-U...» (^-^^j présenterait /?— 3 variations,

tandis qu'elle n'en présente que ^"" (*) (198). Soit p'-^i le premier

résidu suivi d'un résidu; ce sera celui qne nous cherchons.

Posons maintenant d^ = p'+i^ rf^— 1 sera non résidu : donc, — i étant résidu, i — d^ sera non résidu et i -f- rf^ résidu.

210. 3^ Supposons enfin qu'il soit impossible de choisir |3, 7, a, i de telle sorte que l'un des deux nombres a\ h' se réduise à + 1 : on pourra faire en sorte qu'ils se réduisent à cf' et k d^ ces deux entiers étant quelconques, pourvu que i — rf*, i — rf'^ soient non résidus.

Remarquons, d'ailleurs, qu'en tenant compte des relations

on aura identiquement

rf»-h ûf'»+ c"»= «'«-+- 6'«-h c''»= a'-f- 6'»-f- c'»= a»-+- 6»-f- c'= I .

Donc, de quelque manière qu'on choisisse d et d', on pourra satisfaire de deux manières à la relation

car il suffira de poser d"=i dz c".

(*) Si // = 5, on a ^ =/?— 3, et la démonstration précédente est en défaut : mais alors on

peut poser rf=a, doù c**s i— «"— 6'*s i. On aura donc à la fois û'sdi i, c's ± i, et Ton retombe ainsi sur le cas discuté au n"" 208, vu l'analogie du rôle joué par les coefficients h' et c\

\m LIVRE DEUXIÈME.

Celu posé, — I étant résidu et i — rf' ne Télanl pas, d^ — \ ne le sera pas, et pour satisfaire à cette condition il suffit de poser rf^ibr, r' étant

l'un quelconque des ^T ' résidus qui sont précédés de non résidus (198).

Donc d peut être choisi de ^"~ ' manières; de même pour d\ Si donc on

choisit d et d\ puis d" de toutes les manières possibles, on obtiendra

- [p — 0^ systèmes de solutions à la congruence (20). La proposition sera

vraie pour a, A, c, si elle l'est pour l'un quelconque de ces systèujes. Car elle est vraie pour a, b, c, si elle Test pour rf, d\ c"\ mais elle le sera pour rf, d\ c\ si elle Test pour rf, d\ — c" : car soient S la substitution orlhoj^onale qui remplace x par dx 4- d\y — c" z, E la substitution

la substitution orthogonale ES remplacera x par rfa? -h rf'v-f- c"z.

Si donc la proposition n'était pas toujours vraie, elle serait fausse pour

lous les -(/? — i)^ systèmes de solutions de la congruence

rt' -J- 6^ -h c' = I ,

dans lesquels 1 — a^ et 1 ~ b^ seraient non résidus. Notre discussion a

montré qu'elle est vraie pour tous les autres, en nombre/?' -h /? [p— i}^.

On aurait donc ici

croù

Mais le groupe orthogonal étant contenu dans le groupe linéaire, il^ doit diviser l'ordre ^ p"^ — \) (p^ — p) (p^ — p^ ) de ce dernier groupe. Donc />^-h 4/^—1. étant premier à p, divisera (/>'—»; (A^ ~ 1) ; il divisera donc GSp— 12, reste de la division algébrique de (p^—\)(p' — \] par P^ -f- 4/^ — « . Mais, si p > 68, p'^-^- !\p — \ est plus grand que G8/? — 1 2 et ne peut le diviser; on vérifie aisément qu'il ne le divise pas davantage si ;> < 68. Donc l'hypothèse faite est absurde, et la proposition est vraie dans tous les cas.

DES SUBSTITUTIONS. iCt

211 Troisième cas : n> 3. — On verra, comme aux n"* 203 et 208, qu'il existe unesubstitution orthogonale qui remplace a? par aa7-f-fcy-+-cz4-û^M-l-... \a, by c, rf,... satisfaisant à la relation (19)] : i^si l'une des quantités i — a^, 1—6^,... est un résidu quadratique; 2" si deux des coeffîcienls a, 6,... sont congrus à it f .

Supposons qu'aucune de ces circonstances ne se présenle. Parmi les sommes de trois carrés a^-+-fc^~hc', a* + é*4-c?'^, fc^-h c^-h rf^,..., il en existe une au moins non congrue à zéro. Car s*il en était autrement, et que n fût de la forme 3A:-+- 1, a, 6, c,... seraient tous congrus à di i. En effet, la somme des 3A;-4-i carrés a'*, b^, c^,... serait congrue à i, et la somme de 3A quelconques d'entre eux le serait à zéro : le carré restant serait donc congru à i. Si, au contraire, n était de la forme 3X:-f- 2, la somme de deux quelconques de ces carrés serait congrue à 1 : la somme de six carrés quelconques serait donc congrue à 3. Mais d'autre part elle le serait à zéro. On devrait donc supposer /? = 3 : mais alors on aura a' ^fc^^c^^... ^ 1 si a, 6, c,... ne sont pas nuls, et 1 — a^ égal à un résidu quadratique, si a= o. On retombe donc nécessairement sur une des deux hypothèses pour lesquelles le théorème est démontré.