Supposons donc
a^ -h 6^ -f- 1' ^ m > o mod. //).
2 =r I jr, j-, 3, «,... oix ->r'^y-\-yZy 01! x -\- ^' y-^ y' z, x" x -{- y y -{y" Zy «£,... |
une substitution orthogonale quelconque entre les trois indices x, y, z\ posons
«a -4- 6(â -+- ry =a', aod -h b^' -+- c-/ = b' ax" -h b'^" -h cy" = c' .
S'il existe une substitution orthogonale S qui remplace x par
a' X -h b' y -h c' z -f- du -f- . • ,
la substitution 2S le remplat^era par
ax 4- by -\- cz -h du -\- . . . ,
Donc la proposition est vraie pour Tune de ces fonctions, si elle l'est ])our l'autre.
Mais a, ]3, 7 sont des entiers arbitraires parmi ceux (jui satisfont à la re-
lation
et nous allons voir qu'on peut les choisir de telle sorte que Ton ail a'^ o, (1*011 i— a'*^i, auquel cas la fonction a'x-hby-h&z-^du-h... devient l'une de celles pour lesquelles la proposition est démontrée.
En effet, a^-hb^-hc^ étant ^o {mod.p), a, b, c ne sont pas tous congrus à zéro. Soit a%o{moà.p) : la relation a'^o donnera
6ô-h cy
valeur qui, substituée dans (21), donnera
(22) (i'-h a')(3'4-2fecPy -h(c'-h a') y» = a».
Cela posé, si b^-hà^ et c^-ha^ sont à la fois congrus k zéro, 6 et c ne le seront pas; et la relation (22) se réduisant à
on pourra y satisfaire par des valeurs convenables de |3 et de 7. Soit au contraire fc^-h a* <o (mod./?); posons
La relation (22) devient et comme le coefficient
n'est pas congru à zéro, on pourra déterminer/? — (""^^ ) systèmes de va-
leurs de y et de j3' qui satisfassent à cette relation. Les valeurs correspondantes de /3 s'obtiendront par la congruence (23).
213. Théorème. — V ordre il^ du groupe orthogonal de degré 2" est égal à M„ M^, ... Ma, M;, étant égal à o!""^ 0£/ à 2'^""* — i , suivant que r est pair ou impair.
En effet, on a, comme dans le cas où p est impair, Û„ = R„iî„,, R„ élanl
le nombre dfi fonctions différentes ax -^ by-hcz -h ... par lesquelles les substitutions orthogonales permettent de remplacer x. Mais a, b, c,... satisfont à la congruence ^
a^-f- 6*-f- c'H- . . . ^i (mod. 2), laquelle se réduit à (24) a-hb-hc-h...^! (mod. 2),
à cause des identités a^E^a, 6*^6,..., et a 2"""* systèmes de solutions, les n—i quantités 6, c... restant arbitraires, pourvu que a soit déterminé par la congruence (24).
Soit a, 6, c?,... un quelconque de ces systèmes de solutions : si a, é, c,... ne sont pas à la fois congrus à 1, il existe une substitution orthogonale qui
remplace x par ax -\-by-hcz -{- Car supposons par exemple n = 5,
a^b^c^i, d^e^^o : les deux substitutions
I XyX, Z, M, V M, 7, Z,X,V |, Xf y, Zf Uf V 7 -4- -Z H- M, 3 H- « -f- J7, U -h X -h X* "> ^ |
sont orthogonales, et leur produit remplace x par x-\-y-+- z.
Au contraire, si a, fc, c,... sont tous congrus à i , il n'existe aucune substitution orthogonale qui remplace x J)ar ax'\- by -hcz-h... Car les autres coefficients a\ b\ c\... de cette substitution devraient satisfaire aux relations incompatibles
On aura donc Rrt= 2""*— 1 ou = 2"~\, suivant que a^b^c^...^^\ est ou non un système de solutions de la congruence (24), c'est-à-dire suivant que n sera impair ou pair. Donc on aura dans tous les cas R„ = M;,, d'où
214. L'ordre du groupe orthogonal de degré 2" s^obtient encore en remarquant que la fonction x^ -\-y^ -h z^ --\-... que ses substitutions laissent invariable se réduit à x -\-y -\- z -\-..* (mod. 2). Soit; pour abréger, X cette dernière fonction; prenons pour indices indépendants X, j, z,.... Les substitutions orthogonales, laissant X invariable,. prendront la forme suivante
I X,j, 2,... X, a'\-hb'x-^&z-h..., a"X4-6"j^'-4-c";5-h.......
i70 LIVRE DEUXIÈME.
OÙ les coefficients a\ à\... peuvent être quelconques, et ou 6', c',...; 6", <?\...;... doivent être choisis de telle sorte, que leur déterminant ne soit pas congru à zéro. Le nombre des substitutions orthogonales sera donc
résultat qui s'accorde avec le précédent.
215. Legroupe orthogonal est évidemment contenu dans le groupe plus général formé par les substitutions qui multiplient ;r^-hj*4-z^-f-... par un facteur constant (abstraction faite des multiples de p).
Soit r une racine primitive de la congruence r^"^ ^z i , et soient a, /3 deux entiers qui satisfassent à la congruence a^-h j3'-*^r. Le groupe cherché Y contient, si n est pair, la substitution
qui multiplie ar^'-fj^-h :s^H-... par r. Soit maintenant S une substitution de r, laquelle multiplie cette fonction par m^r^. On aura évidemment S = TPU, U étant une substitution orthogonale. L'exposant p pouvant prendre les valeurs o, i,..., /? — 2, l'ordre de r sera égal à/? — i fois celui du groupe orthogonal.
216. Au contraire, si n est impair, il ne parait exister aucune substitution qui multiplie x^ -\-y'^ -^z^ -\-.,, par r. Nous allons le démontrer en loute rigueur pour /i = 3.
Soit
S = I .r, j\ z rtJF -H tj-h cz, a' X -f- b'y-h c' z, d' x -+- h" y -h c" z \
une substitution qui multiplie ^^h- v^-h z^ par m\ et soient a, |3, y trois entiers quelconques satisfaisant à la relation a^-h jS^-hy*^ i. 11 existe une substitution orthogonale 22 qui remplace x par aa? -h |3j -t- 73 (203-210). Sa réciproque 2"* S sera (196) de la forme ^
I X, V, z XX -i- . . . , ^X -{-... , yjT -i- . . . I .
Si Ton détermine a, ^, 7 de telle sorte que l'on ait aa -f- 6/5 -h cy^o (212), la substitution 2~* S sera de la forme
i-' S = I JT, V, z by -^ cz, a'x -^ b' y -f- c'z, a" x -f- b" y -h c" z
DES SUBSTITUTIONS. i7l
Mais elle multiplie o^^h- y^-f- 5' par m, d'où les relations :
a!^ -+- a"> = fe» -4- fe'^ 4- 6"'= c» -h c" -h c"» = m,
D'ailleurs, 2""* S n'ayant pas son déterminant congru à zéro, a', ci' ne peuvent être à la fois congrus à zéro. Soit, par exemple, a'^o (mod./?); posons 6"^ ta', c"^':! a! : il viendra successivement, en vertu des relations précédentes,
fe' = — Trt'', c'= — T'a", o«6c4-rr'(a'^4-a"^)=*c-f-/WTT', m = 6^ -+. ?'(«" -»" a"') = 6' 4- mT' = c» 4- t'» (a" -4- a"») = c» -+- mr'*.
On en déduit
d'où
Mais le déterminant de 2"* S n'étant pas congru à zéro, l'un au moins des entiers 6, c ne sera pas congru a zéro. Soit, par exemple, 6^0 (mod./?);
m^^^ sera un résidu quadratique de /?, autrement dit, une puissance
paire de r.
Cela posé, F contient la substitution T' qui multiplie chaque indice par r: car elle multipliera x'^-^y^ r\- z^ par r^; et il est clair que toute substitution de r qui multiplie cette fonction par m^^r^^ sera de la forme T'<*U, U étant orthogonale.
§ Vlll. — Groupe abélien^
Définition^ ordre et facteurs de composition»
217. Dans ses importantes recherches sur la transformation des fonctions abéliennes, M. Hermite a dû résoudre le problème suivant :
Soient x^, Ji»--«> ^/i» yn\ ?i» >3if«» In» 'On deux suites de 2/1 indices, répartis en n couples dans chacune d'elles; et soit donnée la fonction
9 == a:, yî, — .5, j, 4- ... 4- ^«Vî,. — InTH-
Trouver, parmi les substitutions du groupe linéaire du degré p'", celles qui, étant opérées à la fois sur chacune des deux suites d'indices qui entrent dans
ni UVRE DEUXIÈME.
.la fonction ç, multiplieront cette fonction par un simple facteur constant [abstraction faite des multiples de p).
Il est clair que si deux substitutions S, S' multiplient respectivement ç par des entiers constants m, m\ SS' multipliera 9 par l'entier constant mm'. Donc les substitutions cherchées forment un groupe. Nous rappellerons le groupe abélien, et ses substitutions seront dites abéUennes.
Soit
y\ b\ ^i -+- rf\ 7, -h . . . 4- A^ X, 4- d'^ y\ Xn a\'''>x, -f- c\^\}\ -h ... 4- a^n^Xn-\-c^;i'^x^
une substitution abélienne. Exprimant qu'elle multiplie 9 par m, on aura le groupe de relations suivant :
^^d;)d^;)-~b^;^c^;^ = m, Sd;^d^;)--b^;^c^;) = o, si^'>fx (mod./i
