Cherchons à déterminer la substitution réciproque

X, ol\ Xx -\-y\ ^1 -h . . . -f- a'„ Xn -\- y'„ ^n

7, (3\ 07, -h ô', 7, -h . . . -+- (3'„ Xn -4- Ô'„ J«

S-'rz:

oc^"^ X, -f-

-ha),"iXn-hy),"\}\

^•„ (3^"^ X, -+- ô(") j. -4- . . . + ps,"^ Xn -h ôi,''^ r«

On obtient, par hypothèse, le même résultat en multipliant y par m, ou en y exécutant la substitution S dans les deux systèmes de variables. On ne troublera pas l'égalité de ces deux résultats en y opérant la substitution S*"* sur les variables œ^, Ji».... ^n, yn- Donc il est indifférent de multiplier <p par m, et d'y opérer ensuite la substitution S"* sur les variables x, j, ou d'y opérer la substitution S sur les variables Ç, yj* Identifiant ces deux résultats, il vient ^

d*où Ton déduit

Or S""*, étant opérée sur les deux suites d'indices, multiplie évidemment 9 par — • Formons les relations qui expriment cette identité, puis substituons-y les valeurs trouvées pour les quantités a, /3, 7, â : il viendra ,

^ ( y a(«*) rfo*) bW é/) s m, y a[^^ di^"^ - fti»'^ cl»''^ = 0, si /ix' > ^ (mod. /i), (7.7) <

Ce nouveau système de relations est entièrement équivalent au système (25). Car nous venons de voir qu'il s'en déduit; et réciproquement,

si les relations (27) sont satisfaites, S*"* multipliera tp par — : donc S le multipliera par m, et les relations (25) seront satisfaites.

219. Soit r une racine primitive de la congruence rP"*^i, Le groupe abélien Ç contient la substitution

qui multiplie (f par r. Soient S une substitution quelconque de ce groupe; m^r^ l'entier par lequel elle multiplie 9 : on aura évidemment S = UpT, T étant une nouvelle substitution de ff, qui n'altère pas y. L'exposant p pouvant prendre une quelconque des valeurs o, ti».., /? — 2, l'ordre de ff sera égal à /? — 1 fois l'ordre 12;, du groupe partiel H formé par les substitutions de la forme T. Soient d'ailleui*s a, j3,... le^ facteurs premiers dont le produit donne/? — 1; S", ff», (?«?.-••> S'p-i^H les groupes respectivement formés par la combinaison des substitutions de H avec U, U*, U*^,..., U'^* = i . Il est clair que ces groupes auront respectivement pour ordre [p— i)Û/„

^ " un, ^ "T ' 12;,,..., 12;, et que chacun d'eux sera permutable aux substitutions de ?. Donc Ç aura pour facteurs de composition a, j3,..., et les facteurs de composition de H.

Cherchons donc l'ordre de H, et ses facteurs de composition.

220. On vérifie immédiatement que H contient, entre autres substitutions» les suivantes, dans Texpression desquelles nous omettons les couples d'indices qu'elles laissent inaltérés :

L»j» ^=^ I •••, ^|i, ^pi» •••> ^|i"+~J^|i> ^|t, •••••••••* • p

1^ = I ••», ^|i, ^|i> •••, ^|i, ^ii~^^|i> I --- MiiLiiiMii f

^^|i,v I • • •> «^iij y l«.» • • • » "*v» jMf • • •• • > «^Ji "• "*v, ^1*» • • •> *v> t/ *""" fc' f • • • I * •^^l*» ■» ••*■* >

■ H.v I • • • , ^(Ji, / l*» • • • » **>> / V » ■ • • • • • » **>, y%» • • • , "*|*> / l*> • • • I >

221. Théorème. — Le groupe H e^/ rfmVe rfe5 5ei//e5 substitutions L^t, M,i, Nj4 vî ^^ son ordre est égal à

En effet, soient 2 une substitution quelconque de H;

la fonction que 2 fait succéder à x^. Les coefficients a^,..., 6'„ ne seront pas tous congrus à zéro; et Ton pourra déterminer une substitution S, dérivée des substitutions L^,, Mj^. Nj^^v» qui remplace x par/,. Car soil d'abord d^o (mod./?) : la substitution

Sr=MM.L%Q7;,NîS...Q<N[;„, où a et |3 sont déterminés par les congruences

remplace ar, par/,. D'ailleurs les diverses substitutions Q^t^ étant dérivées des Lpt, Mpt, N,x,v» il en sera de même de S.

Soit maintenant a, Ez: o, maisa^, par exemple, ^o(mod./?). On vient de voir qu'il existe une substitution 8, dérivée des substitutions L^, M^t, Nj^^v»

qui remplace a?, par — a^a?, -f-6',v, -f- a'2a'2 + (ft'2"^"^i)»X2^-ûj's^3 ■+*•••'» ^^ la substitution S = Q2, .s le remplacera par/,.

Soit enfin d^'^^d^^^z: .,,^d^^o, mais Cj, par exemple, ^o(mod./>j. Il existe une substitution ^, dérivée des substitutions L^, M^t» N|jl,v» qui rem-

place o^f par a 4 a?, H- Cj y, 4- c'a ^a — «'2^2 ^"•••î ®^ l^ substitution s = Ma ^ le remplacera par/,.

La substitution S étant ainsi déterminée dans tous les cas, on aura évidemment 2 = S2\ 2 étant une nouvelle substitution de H, qui n'altère plus l'indice a?^.

Soit /[ =b\Xi -h d\y^ -h .. .-^b'„Xn -h d'„y„ la fonction par laquelle 1' remplace j,. Si Ton pose dans les relations (25) /w^i, a\^i, c\^à^^c\^..,^o^ elles donneront d\^i. Cette condition nécessaire étant supposée remplie, la substitution

remplacera j« par/[ ; et l'on pourra poser 2'= S' 2», 2, étant une nouvelle ^ substitution de H, qui n'altère plus a?|, /«. Soit

An)

Xu àS,^ Xx -4- c\"^ j, -h ... -h aj."^ Xn + c^"»/»

Cette substitution doit satisfaire aux relations (25), ce qui donnera

flf, ^ ... ^ «(,'') ^ c^^i ^ ... ^ c^,"^ ^ o.

Quant aux autres coefficients, les relations qui les lient sont absolument les mêmes que dans les substitutions abéliennes à i{n — \) indices.

222. Donc, en combinant ensemble celles des substitutions L^, M^,, N^^^v pour lesquelles |x et v sont > 1, on obtiendra une substitution S4 qui remplace a?2 par d^x^-\-c^y^'\-.^.-\' dn^n-^^^nyny quels que soient a^, Cg,..., €1^, c^ (ces coefficients n'étant pas à la fois congrus à zéro) (221); et l'on 5iura 2, = S| t^, 1\ étant une nouvelle substitution de H, qui n'altère plus

Soit/j ^è^aja-f-cTg^a-h... la fonction par laquelle 2'^ remplace /a : les relations (25) donneront d\^i. Cela posé, quels que soient d'ailleurs *3f-> ^1> C» on trouvera une substitution S'^, dérivée des substitutions

f76 UVRE DEUXIËBŒ.

L|jL, Mpt, N^,v il^ et V étant > i) qui remplace J2 l^^^/l (221); et Ton aura t^ = S\l2f I2 étant une substitution de H, qui laisse invariables oTi, j^i.

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à une substitution 1^ qui laissera tous les indices invariables, et se réduira à Tunité.

223. L'ordre du groupe abélien résulte immédiatenoent de ce qui précède. En efTet, les fonctions différentes, telles que/4, que les substitutions de H permettent de faire succéder à a?,, sont en nombre />"•— i , tous les systèmes de valeurs de a\, Cj,..., a„, c„ étant admissibles, pourvu que ces coeflicients ne soient pas tous congrus à zéro. L'ordre Î2„ de H est égal à ce nombre, multiplié par Tordre du groupe partiel H' formé par celles de ses

' substitutions qui n'altèrent pas a?( (123 ou 201).

Le nombre des fonctions différentes, telles que /,' , que les substitutions de H' permettent de faire succéder à j est p^"~\ les coefficients de/,' pouvant être cboisis arbitrairement, sauf l'un d'eux, qui est congru à i . L*ordre de H' sera donc égal à p^"~* ii/,-.i, ii„-t étant l'ordre du groupe H, formé par celles des substitutions de H' qui n'altèrent pas j?,, v«.

Continuant ainsi, on aura

Remarque. — Les substitutions de H ont toutes leur déterminant égal à I. Car les substitutions L^t, M|t, N|t,v* dont elles dérivent, jouissent de cette propriété.

224. Théorème. — Si p est impain les facteurs de composition de H sont -Un et 2.

La substitution qui multiplie tous les indices par — 1 fait partie de H. et ses puissances forment un groupe K, d'ordre 2, et évidemment permutable aux substitutions de H. Donc 2 est l'un des facteurs de composition

cherchés: et pour prouver que les autres se réduisent à un seul, -iî„, il

sutVira d'établir que K est le seul groupe contenu dans H et permutable à ses substitutions. A cet effet, nous allons montrer que tout groupe I. autre que K, con terni dans H et pemmtable à ses substitutions y contient nécessairement toutes les substitutions de H.