Soit

^, a, x^ -h c', j, -h ... -4- a^ Xn -h c„ y\ Xt b\ X, -h rf', j, -4- ... H- t; jr„ 4- rf';. r>

«\"^^i -h c^rXx -h

uoe des substitutioDS de I, laquelle ne soit pas contenue dans K. Le groupe I contient, par hypothèse, les transformées de S par les substitutions L^t* L'^ : il contiendra donc les suivantes : S~*.L^^S^, S"* . Ljr* SL'^, . D'ailleurs on peut admettre que ces substitutions ne se réduisent pas toutes à Tunité; car on véritie aisément que pour que cela eût lieu, il faudrait que S multipliât les deux indices de chacun des couples ^,, j,;...; ccn^ yn par un même facteur, égal à I pour certains couples, tels que a?,, j,, et à — i pour d'autres, tels que a?,, y^. Mais alors, la substitution Ni, 2 étant permutable à I, ce groupe contiendrait la substitution N;;1SN,,2, laquelle ne multiplie plus les indices par des facteurs constants, et pourrait être prise pour point de départ de notre raisonnement, à la place de S.

Âdtnettons, pour fixer les idées, que S""*. L^'^SL, diffère de l'unité. Celte substitution est évidemment de la forme

Xn, Xn ^n— «^."^ Y, J. - b^^^ Y

Y étant la fonction par laquelle S'"* remplace 7,.

Cela posé, I contient une substitution, autre que l'unité, qui laisse invariables 2/4 — 3 indices. En effet, S| serait cette substitution, si a', fr',... étaient tous congrus à zéro. Supposons, au contraire, que a% par exemple, ne soit pas congru à zéro. Posons

a\ r ^ b\— b'",k-\- cT.m:,^ . . .— b["^ In H- a["^ m„ = o.

Le groupe 1 contiendra S2» transformée de S, par Ql',Rî^;...Q!,';,R^.;Li'» laquelle laisse invariables ^2» ^s» Js»**** Cette substitution, satisfaisant en outre aux relations (25), sera de la forme

^1, Ji a\ X, -h c\ 7, + c\ j„ b\ X, -+- d\ 7, 4- d\ y, x^y ja < Xy + c\ Xt 4- a:, -4- c', j„ j.

Cela posé, I contient la substitution

Xxy 7, JT, 4- (i — d,)y\y y\ — *', y\ Xu j2 fond, (xt, jTi» ^j» rO» r>

et si I — «1 <o (mod./>), posons

I contiendra la transformée de S, par L'S laquelle laisse 7, et j, invariables, accroît x^ d'un multiple de ja, et satisfait aux relations (25) : elle est donc de la forme

Si au contraire 1 — a\=^o, I contiendra la substitution Mi~'S3M,, laquelle est encore de la forme S*.

Les deux coefficients a, |3 ne peuvent s'annuler à la fois; car S4 se réduisant à l'unité, il en serait de même de S,, 83, S4, qui s'en déduisei^t par une suite de transformations. Mais, par hypothèse, S, diffère de l'unité.

226. Il reste à prouver que, quels que soient d'ailleurs les coefficients a, |3, la substitution S4 et ses transformées reproduisent par leur combinaison toutes les substitutions L^, M^t, Npt,vf dont H est dérivé.

Soit d'abord «e^o, d'où |3^o [mod.p). On a S^^^La. Donc I contient Lj; donc il contient Ma, qui est la transformée de L;^* par Mj L7*. Il contiendra LjjL et Mpt, transformées de La et Ma par P2,pL- Enfin il contiendra

Vn,v Lji Lv Vji.v • Lji L^ = W|t,v

Soit maintenant a^o {mod.p) : 1 contient la transformée de S par Q,, , laquelle, élevée à la puissance - {mod.p), reproduit N,,a- H contiendra la

substitution

Ce point établi, on achève la démonstration comme précédemment.