Théorème. -- Sip = 2 e/ /i > 2, /e groupe H est simple
Soit I un groupe contenu dans H et permutable à ses substitutions; on démontre, comme au théorème précédent : 1° que I contient une substitution
(le la forme
S4 = I x,,y\, Xi, jj, . . . :r, -h ajj, 7,, x-, -h a>-, 4- (3 j,, jj, . • . | ;
2** que si a^o ou jS^o (niod. 2), I se confond avec H.
228. Admettons donc, comme dernière hypothèse, «f=|S=^i, d'où S« = N1.2L2; I contient les substitutions suivantes :
^K% î. "i,i*. ■ ï,>y ^4 ■ i,n ■ 2,v ^^^^ -Wjfc.v i^n ^^ l-«|i W|i,v, LijiiN,i,y. Liv IN j4,v =:::: l^jiL#v>
.Uy^ 1^* l^ui Alii — ^ l^v -"lliy -IvJui J^U > ■•'U Liv WuL l^yy
i^ii,v Lji. Và^ jV1« =^ -Wji.v Mu, Mu Lji . Lji Lj^.v ^^=^ Mu W^i.v.
Donc I contient tous les produits deux à deux des substitutions ^^ M^,, Npt,v : donc il contient la substitution
M.L,M,.M,L,M,.M,L,Ms M.M,N..,M,M,.M,MsN,,3M,M3.M3M.N3..M.M.,
laquelle est le produit de ^4 facteurs des formes Lj^, Mpt, N^^ ,,• H contient sa transformée par la substitution abélienne
X\^ JTi Jf\ -f- Xi -{- Xif X\ -+- X-x -+- Xz •^ï» ^ï "^i» J^a ~H ^1 ~^" ^« "^ "^î "^ -^î
^s, Js ^3, r* -^ ^t -Hjr, 4- ^, -h :r3
laquelle se réduit à L|. Donc il contient
et se confond avec H. Donc H est simple.
229. Il reste enfin à considérer le cas où Ton a/? = 2, avec n = 2. Dans ce cas, H a pour facteurs de composition 2 et - £)„. Mais il est inutile d'établir ici ce résultat, qui se présentera de lui-même plus loin (331).
Seconde définition du groupe abélien.
230. Le groupe abélien est susceptible d'une nouvelle définition, que nous allons exposer.
Considérons le groupe «f dérivé des substitutions
A,= I z,, 2j,... 2|-f-i, Ziff, {, Aj =^ I Zi, 22,... Zi, Zj-l-i,... |,... (mod. y>).
Les substitutions A^^Av et Av A^, sont évidemment identiques, quels que soient jtx et v; mais» afin de conserver la trace de l'inversion nécessaire pour passer de Tune de ces formes à la suivante, on posera, au lieu de
l'égalité A^Av = AvA^A, la suivante AptAv= i^ ^*'^AvAjj,. On aura, d'après cela,
(A^Av) -l-(AvA^) = o, ( A^ Aji)=^ o.
A cela près» les diverses quantités (Aj^^ Av) sont arbitraires. Il nous conviendra de les supposer entières. Nous appellerons exposant d'échange des substitutions A^^ A^ l'entier (A^^ Av) (et plus généralement tout entier congru à celui-là suivant le module p).
Soient S = A^* AJ*'. . . , T = A^"' AJ*. . . deux substitutions quelconques de ^ : on aura
ST
= Ar« A?. . . . AVAV. . . = 1^"^"^^''^^^) A?. Aï'. . . Ar» A^. . . =: ^^-.-vCVM ^^
le signe de sommationN s'étendant à toutes les valeurs de /x et de v. Donc l'exposant d'échange (ST) de S et de T sera congru àV/Wjj,/iv(Aj4Av).
23t. Soient maintenant
M, ^ a, 2, -4- 6, Zj -h . . . , Ma ^ a, z, -h 6, z, -h ...... .
des fonctions distinctes en nombre égal à celui des indices :3«, Zs,
Les substitutions A|, Aj,... accroissent respectivement c^i des quantités a,, A,,..., i/a des quantités a,, 62,..., etc. Si donc on désigne par C,, C2*... les substitutions respectivement correspondantes à i/|, 1/2».. • dans le système d'indices u^t Ma,... (c'est-à-dire celles qui accroissent respectivement d'une unité chacun de ces nouveaux indices, sans altérer les autres), on aura
A.=:C?«0;«..., A, = C*'CΫ. •> ••» d'où AvAV.-. = C?'C;«...,
^4 9 '^2*'" étant déteroiinés par les relations
yî.^a, Ç,-4- 6, Ç,4-. . . , yîj^aj^i-f-éa^i-f-. . . , . . . (mod. p).
Sciient
Ç, ^a, yî,H- p, yîa-4-. - . , Çï^aa'/j, -f- |32yîi-4- . . . , . . . (mod. p)
KKiêmes relations renversées : on aura évidemment
c, = a:'Aî*..., c,=: a^'A?,«
produit des deux déterminants
éisiv^t évidemment congru à l'unité, ce dernier ne sera pas congru à zéro.
A.U lieu de se donner d'avance M|, Ma>---> ^^ p^ut se donner les substitulionsCi, C2»...; et de quelque manière que les entiers ai, ]3«,...; a^, /S^» . ..;... soient choisis, pourvu que leur déterminant ne soit pas congru à zéro , on pourra déterminer sans difficulté les entiers a,, aa,...; 6^ èj»--;-eii ï^enversant les relations (29). Leur déterminant n'étant pas congru à zéro, les fonctions m,, 1/2,... seront distinctes et pourront être prises pour indices indépendants.
. Supposons maintenant que les exposants d'échange (Aj^^Av) soient
dora i:aés arbitrairement, et proposons-nous de choisir C|, Ca,..., de telle
que leurs exposants d'échange soient aussi simples que possible.
it «Hii une substitution de ^, dont les exposants d'échange avec les
^^ti^cs substitutions de ce groupe ne soient pas tou3 congrus à zéro. Soient S
uae substitution de # telle que l'on ait (x, S)^X^o (ntod. p), e un entier
tel c|ue l'on ait eX^i. Posons ifb, = S* : il viciera (•il»|'«),)^eX^i.
Clela posé, # résulte de la combinaison de ci>i, in>r^jiple groupe partiel -ii
lormé par celles de ses substitutions dont les exposants d'échange avec -a,,
^^1 Sont tous congrus à zéro. Soit, en effet, T une substitution de # dont les
^^Posants d'échange avec ^i,^, ife^ soient respectivement 6, et — ai : on
^w«"a évidemment T= .CiJb*;T', T' étant une substitution de ^,.
^i ^1 contient une substitution X2 dont les exposants d'échange avec les ^Hres substitutions de ce groupe ne soient pas tous congrus à zéro, ^1 con-
tiendra de même une substitution ift>a telle que Ton ait (A>aia>2)^f; et #« résultera de la combinaison de fX>2 et de uba avec le groupe partiel ^^ formé par celles de ses substitutions dont les exposants d'échange avec «i., et ift*, sont congrus à zéro.
On pourra poursuivre ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un groupe ^„ qui se réduise à la seule substitution i, ou dont les substitutions aient tous leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro. Soit dans ce dernier cas 3( une des substitutions de ^„; si ^„ contient des substitutions autres que les puissances de G,, soit C, l'une d'elles : ^„ contiendra toutes les substitutions de la forme 0^0^:». S'il en contient d'autres, soit 83 l'une d'elles* il contiendra les substitutions 0*i* Q'^t* e''^\ etc.
Donc enfin les substitutions de # seront toutes de la forme
-l.?' aft>î' . . . Xn" yS^n' GV CV . . . ,
'^•if ift)i,...» •^^/i» ^/i. ^1» ^2>--- étant des substitutions dont les exposants d'échange mutuels sont tous congrus à zéro, sauf ceux-ci : (ci,p,ift,jj,)^ — (ifl>jj,«i»,4), qui sont congrus à r.
233. Les diverses substitutions obtenues Qn donnant a a^ fr,,..., a^f b„, c,, C2,... les divers systèmes de valeurs inférieures à p étant évidemment distinctes, l'ordre de # sera égal au nombre de ces systèmes de valeurs. Mais, d'autre part, il est égal au nombre des systèmes de valeurs inférieures ta p que l'on peut donner à ^i, a^,... dans l'expression Aî'A^*.... Pour qu'il y ait identité entre ces deux nombres, il faut évidemment que les substitutions ^i.,, \a>«,..., ^i>„, 'ia>„, G(, Oa»»* soient en même nombre que les substitutions A|, A2,....
Soient
d'où
Toute substitution de/,' telle que A|'A1*..., pouvant être mise sous la forme Xj^ift^f..., on devra pouvoir déterminer jr,/,... de telle sorte qu'on ait
quels que soient Çf, Ça,.... Il faut pour cela que le déterminant des quantités ai, j3|,...; ^a, |3a,...;... ne soit pas congru à zérd. On pourra donc
choisir iiD système d'indices indépendants tel, que les substitutions .i.,, t/&, , .. . accroissent respectivement d*une unité chacun de ces indices, sans altérer les autres (231).
ient d'ailleurs
■*^ations (3o) renversées. Il est évident que le déterminant de a,, ^2,...; bt^ ^s,...;... n*est pas congru à zéro; et Ton aura
-4. Pour éviter des longueurs inutiles, bornons-nous au cas, seul vrait: intéressant, ou ^ ne contient aucune substitution, autre que Tunité, les exposants d'échange avec les autres substitutions de f soient tous wus à zéro. Cette condition sera exprimée par la relation
me do co
^o (mod. />),
sà r soit A|' A[\ . . une substitution quelconque de ^ : ses exposants d'éch^nge avec Â|, A,,... sont respectivement
(A,A,)Ç, -+-(A,AO^-+-... , (A,A,)ç, -f-(:\2A,)^,-f-. .. ,.. . ,
et i^^cjur qu'ils puissent devenir à la fois congrus à zéro, sans qu'on ait ?i ^^^^ Ij^- • -^o, il faut et il suffit évidemment que le déterminant ci-dessus soit congru à zéro.
-^'^ nombre des substitutions A|, A2,... est un nombre pair. En effet, il est ^8^1 à celui des substitutions delà suite A.,, ub,,..., laquelle se réduit ici ^^^ termes ,.1»,, ubi,..., o\.„, ui>„ : car si celte suite contenait une substitution telle que 3|, dont les exposants d'échange avec o^,, tibi,... fussent tous congrus à zéro, ses exposants d'échange avec toutes les substitutions ^^^"-5^. lesquelles dérivent de celles-là, seraient congrus à zéro, contre Thypoilicse.
^35. Soit maintenant (C, C,), (C, Cj),... (Cj/aCa,,) un système quelconque d^ ^% r? nombres satisfaisant aux relations
î (C.C.) (C.CO ...
> (mocl. p).
I8i UVRE DEUXIÈME.
On pourra choisir un système d'indices indépendants iel^ que les substitutions C| , (%,..., qui correspondent respectivement à ces divers indices^ aient leittsexpo^ sants d'échange mutuels congrus à {d C|), (C, Cj),..., (C2iiC2«).
En effet, si les substitutions Ai, As,... avaient pour exposants d'échange mutuels, au lieu de (A| A|),..., (Aa^jAa;,), ceux-ci : (CiC, ),..., (CjnCj»), on pourrait déterminer un système de substitutions (E), = Aj» A**. . . , c^ = AJ' a;*...,..., Ob)„, C„, dont les exposants d'échange mutuels fussent tous congrus à zéro, sauf ceux-ci {(i^^^^) = — ('^ii.^SDjj,), qui seraient congrus à I (232-234). On aurait d'ailleurs réciproquement
A, = (Df' C^« . . . , A, = (D*f« C^«. ...... ,
rfi, rfa,...; ^i> ^3,...;... étant des entiers dont le déterminant n'est pas congru à zéro.
Cela posé, les substitutions <A>|, ifS)!,... ayant les mêmes exposants d'échange mutuels que CD|, C|,..., les substitutions
C, = x^«ift,^». . . =AT»A7«. . . , Ca = X^» ift>^,« . . . = A*;» A?«
auront évidemment les mêmes exposants d'échange mutuels que CDf'C^'..., (of'tCJ». ..,..., à savoir : (C,C,). ..,.., (Ca„C2„). D'ailleurs le déterminant des nombres /7i(, /if,...; /712» n,, ...;... étant évidemment égal au produit des deux déterminants formés avec a,, |3,,...; «2, |3a, ...;... et avec rf,, Ci,...; ^2» ^i, ...;...» ne sera pas congru à zéro. Donc on pourra déterminer un système d'indices indépendants qui correspondent respectivement aux substitutions C|, C2,... (231). ^
236. Convenons de désigner par A*' AJ'.,. l'opération qui consiste à accroître les indices z«, Z2»«- respectivement de certains entiers complexes a,, «2,... formés avec les racines d'une congruence irréductible. Étendons à ces opérations la notion des exposants d'échange, en admettant que l'égalité
(a*** A^*") ^oi^oi^{ A,* Av),
laquelle est évidente lorsque u^^ a^ sont réels, subsiste lorsqu'ils sont ima- {^inaires. Il est évident que les démonstrations ci-dessus resteront applicables, avec cette seule différence que les entiers qui figurent dans le calcul seront complexes.
formule (Si) seront précisément les relations (27). Le groupe formé par les substitutions T se confond donc avec le groupe abélien.
Faisceaux abéUens.
240. Soit F un faisceau de substitutions échangeables entre elles et d*ordre premier à p, qui soit contenu dans le groupe abélien. Supposons, en outre, que le groupe G formé par les substitutions abéliennes permutables à F soit primaire. Le groupe formé par toutes les substitutions linéaires permutables à F sera à fortiori primaire. On pourra donc choisir les indices indépendants de manière à ramener à la fois toutes les substitutions de F à leur forme canonique; cela fait, les nouveaux indices se répartiront entre X systèmes, contenant chacun un même nombre /x de séries, dont chacune contient un même nombre v d'indices (178 et 193).
241. Cela posé, soient X, Y deux quelconques des nouveaux indices, Cy^ et Cy les substitutions qui leur correspondent, (Cx Cy) leur exposant d'échange. Soient
S= I X, Y,... aX, PY,... I
une des substitutions de F, m le facteur par lequel elle multiplie les exposants d'échange des substitutions Cx, Cy,...; elle transforme Cx etCy en CJ etCÎ, dont l'exposant d'échange est a]3 (CxCy). On aura donc nécessairement
a(3(CxCY) = m(CxCY), d'où a^^m ou (CxCy) = o.
Or, quel que soit l'indice X, la substitution Cx ne peut avoir ses exposants d'échange avec toutes les substitutions Cx, Cy,... congrus à zéro; car il en serait de même de ses exposants d'échange avec toutes les substitutions de c?, qui dérivent de celles-là, et cela est contraire à notre hypothèse.
Soient donc X, X',... les indices d'une série quelconque; a, a',... les facteurs par lesquels tous ces indices sont multipliés par les substitution S, S',... du faisceau F, lesquelles multiplient respectivement les exposants d'échange par m, w',.... 11 existera une série d'indices Y, Y',... que ces mêmes
substitutions multiplieront par les facteurs |3^— ? ]3'^^j.-* (mod./i).
Nous dirons que ces-deux séries sont conjointes, et nous pourrons, d'après ce qui précède, énoncer le théorème suivant :
Théorème. — Toute série a sa conjointe, et l'exposant d'échange de deux
Corollaire I. — Si une substitution S ne déplace pas la série X, X',..., eUe ne déplacera pas sa conjointe. Car Z, Z',... se confondant ici avec X, X\...» sa conjointe U, U',... se confondra avec Y, Y',....
Corollaire II. — Si deux séries conjointes appartiennent à un même systéme 2, deux séries conjointes quelconques appartiennent à un même système. Car G étant primaire, ses substitutions permutent transitivement les systèmes (142). Donc il contient au moins une substitution S qui remplace les séries de 2 par celles d'un autre système quelconque, If. Mais les séries de 1 sont conjointes deux à deux (242); donc celles de 2|, que S leur fait succéder, le sont également.
Corollaire III. — Si deux séries conjointes appartiennent à deux systèmes différents [auquel cas ces systèmes sont conjoints)^ chaque système aura son conjoint 9 et chaque substitution de G fera succéder aux indices de deux systèmes conjoints des fonctions des indices de deux nouveaux systèmes également conjoints. Car si les deux séries conjointes X, X',...; Y, Y',... appartiennent à des systèmes différents 2, 2f, soit 1' un autre système quelconque. Il existe dans G une substitution au moins, S, qui remplace X, X%... par des fonctions des indices Z, Z',... de Tune des séries de 2'. La même substitution remplacera Y, Y' par des fonctions des indices U, U',.. . d'une série d'un système 2',, évidemment autre que 2'; les deux séries Z, Z',.... et U, U',... seront conjointes : donc 2' et 1\ seront conjoints.
Corollaire IV. — Si une série se confond avec sa conjointe, il en sera de même de toutes les séries. Car les deux corollaires précédents montrent que si une série quelconque avait une conjointe autre qu'elle-même, soit dans le même système, soit dans un autre, les séries pourraient toutes se partager en couples de séries conjointes l'une à l'autre. Donc aucune série ne serait sa propre conjointe.
244. Conclusion. — Les faisceaux tels que F se répartissent en trois catégories, correspondant aux trois cas suivants :
Premier cas. — Chaque série fait partie d'un autre système que sa conjointe.
Deuxième cas. — Chaque série diffère de sa conjointe, mais fait partie du même système.
Troisième cas . — Chaque série est sa propre conjointe.
DES SUBSTITOTIONS. i8<J
245. Soient maintenant a?, j,... les divers indices d'une même série. Chacune des substitutions de F, les multipliant par un même facteur, multipliera évidemment par le même facteur toute fonction de ces indices. On pourra donc, sans altérer la forme de ces substitutions, prendre pour indices indépendants, k la place de j?, J, ..*, des fonctions quelconques de ces indices.
On pourra faire de même dans chacune des autres séries. Nous conviendrons toutefois, lorsque plusieurs séries seront conjuguées, d'y prendre pour indices indépendants des fonctions conjuguées. Tout en observant cette règle, il existera dans le choix des indices indépendants une latitude dont OD pourra profiter pour simplifier l'expression des exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes.
246. Premier cas: Faisceaux de première catégorie, — Supposons que F appartienne à la première catégorie. Soient a?, j,... les indices de la première série d'un système quelconque; Ç, v?,... ceux de la première série du système conjoint; C^., C^,..., Q, C„,... les substitutions respectivement correspondantes à ces indices.
Le déterminant
A= îÇCj) ,C,C,) ...
ne peut être congru à o. Car s'il l'était, on pourrait déterminer une substitution QG^... dont les exposants d'échange
«iC,Q)-h&(aC,)-h..., a(C^Q)-h^(C;.C,)
avec C;c, Cy,... fussent tous congrus à zéro. Mais les exposants d'échange de Q, Cy,,... et, par suite, ceux de QC^... avec leé substitutions correspondantes à tous les indices autres que x, j,... sont cofigrus à zéro. Donc QC^... aurait ses exposants d'échange avec toutes l^i^ substitutions de ^ congrus à zéro; ce que nous supposons impossible. Cela posé, on pourra déterminer des substitutions
telles, que leurs exposants d'échange avec C^., C^,... soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci (C,D), (C,.D,),. . ., qui seront congrus à i. En effet, pour déterminer D, par exemple, il suffira de choisir a, /3,... de manière h satis-
faire aux congruences linéaires
dont le déterminant n'est pas congru à zéro.
Le déterminant des quantités a, ai,...; /3, ^, ,...;... n'est pas congru à zéro. Car, d'après les relations (32), son produit par le déterminant A est congru à i. Donc on peut remplacer Ç, yj,... par de nouveaux indices |', yj\... qui correspondent respectivement aux substitutions D, D|,... (231).
On peut opérer de même sur les premières séries de chacun des couples de systèmes conjoints. Si Ton prend en même temps, comme nous en somnies convenus, pour indices indépendants, dans les autres séries de chaque système, les indices respectivement conjugués de ceux de la première série, les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes seront immédiatement donnés par le théorème du n® 242.
247. Second cas : Faisceaux de seconde catégorie. — Dans tout faisceau de seconde catégorie, le nombre des séries de chaque système est un nombre pair, 2v. En effet, si la première série d'un système est conjointe à la v-i-i'^'^'', la seconde le sera à la v-1-2'^'"'', etc. La v-f-i'^'"' l'est à la 2v -+- 1'*^*"^; donc la 2v -f- ï^^'"'' se confond avec la première; donc le nombre des séries distinctes est 2v.
Soient x, x\,., x^^^^^ les indices de la première série du système 2 que Ton considère; x^, x, ,..., x^^~^^ leurs conjugués de la série conjointe; C,
(7 O^*^; Cv, C, ,..., Q^"*^ les substitutions correspondantes à ces divers
indices. Nous allons montrer qu'on peut choisir les indices indépendants de telle sorte, que chacune des substitutions C, C',.--» C^^*^ ait ses exposants d* échange avec Cv, Cl ,..., C^*""*^ tous congrus à zéro, à r exception d^un seul.
248. Admettons en effet que Ton puisse choisir les |ul' derniers indices de la suite x, x\..., a?^**^*^ de telle sorte que les exposants d'échange de C^**'^'^ Q(ii-ii'4-i)^ ^ Q(ii-i) 3^.ç^. chacune des substitutions C^, Cl ,..., Ç},^-'^ soient tous congrus k zéro, sauf ceux-ci : [0^^'^C:-^'^), [(y^v-'-^^)^^-^'-^^))^ [O^'^Cr'^), mais qu'on ne puisse choisir plus de [l' indices jouissant d'une propriété analogue. Si Ton avait i^'=ii., notre proposition serait prouvée. Supposons donc fx' nul ou positif, mais moindre que |x.
Les relations ainsi établies entre les exposants d'échange subsisteront .si Ton remplace les indices x,..., x'^^'-^^ par des fonctions linéaires de
a'^o (mod.^). Nous prendrons pour indices indépendants à la place de x, x\..., x^^^'"*^ ceux ff y\. .., y^^'^*^ qui correspondent respectivement aux substitutions C, D,..., O^^'-'K
Déterminons maintenant une substitution E = CPDP'CP"... telle, que Ton ait (ECv)^o, (EC[)^o,..., (ECi''"'''~*^)^o. Nous venons de voir que cela est toujours possible; et de plus que le coefficient |3' sera congru à zéro, d'où l'on conclut la relation (EEv)^o.
Le coefficient ^ ne peut être congru à zéro; car, s'il l'était, E se réduirait à la forme C"^"..., et l'on aurait, par suite, (EDv)^o. On a en outre, si
Enfin on a évidemment, si r diffère de v,
(ECr) = (ED.) = (ECr) = . . . = o.
La substitution E aurait donc tous ses exposants d'échange congrus à zéro, ce qui est supposé impossible.
Cela posé, prenons pour indices indépendants, au lieu» de j^, ^', ^",... ceux z, z\ z'\... qui correspondent respectivement aux substitutions E, D, C\...: on aura déjà les relations
(DDO =o, (EEv) = o, (ECv) = (Da) = . . . = o; d'où l'on déduit réciproquement
• C E.) = - (EC;)'' = o, (C"D.) = - [DCf = o,. . . .
250. On peut opérer sur les fx — |ul'— 2 indices z\ . . . comme nous l'avons fait sur les indices j?, x\ x'\.., et les remplacer par de nouveaux indices u'\ u^, w'*^... tels, que les substitutions correspondantes E', D', O*^... et colles qui correspondent aux indices conjugués satisfassent aux relations
( E' C'^) = (D' ci' ) = ,..= o, (C(*' e!) = (C(*) Dj = . . . = o.
En poursuivant ces opérations jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre fjL — a', on conclut enfin : i® que «x — j^' est un nombre pair 2a"; 2® que les
DES SUBSTITUTIONS. i93
indices (le la première série de 2 peuvent être choisis de telle sorte que les substitutions correspondantes
et les substitutions
F n viv-"-^) n^i*"-») r^«*"«*'î r^
qui correspondent à leurs v'^*"*' conjugués, aient tous leurs exposants d'échange congrus à zéro, sauf ceux-ci :
(D(OEi^>), (E(')Dl^O, (C(')Ci'O, ce qui démontre notre proposition.
251. Il reste encore dans le choix des indices un peu d'indétermination^ dont on peut profiter pour faire en sorte que Ton ait
(D^O t'^) = - (E(0 Dl^O = I» (C^'^ Ci'^) = e, e étant une racine arbitrairement choisie de la congruence
En effet, (O'^CJ*^) doit être une racine de cette congruence; car on a
D'autre part, prenons pour indices indépendants, au lieu des indices actuels u^*\ u[^\ correspondants à G'\ Cf\ ceux-ci : b"* u^^\ b'^^é^\ auxquels
correspondent respectivement les substitutions K = [C^]* et Kv= [CJ*^]*' . On aura
(KKv) = (C(')Ci'^)ft^^*'.
Or on peut déterminer h de sorte que cette expression se réduise à e : car la congruence
élevée à la puissance/?"— i devient
I9i UVRE DEUXIEME.
ce qui montre que ses racines sont des fonctions réelles de rimagiqaire i de degré 2v qu'on a déjà introduite pour réduire F à sa forme canonique.
D'autre part, remplaçons Tindice i^ correspondant à D^'^ par un nouvel indice ^"V. La substitution correspondante sera [D^^'jP; son exposant d'échange avec E^ sera |3 (D^*^ Ef^) et se réduira à l'unité si l'on prend
On peut donc admettre que (O'^Q'^) soit égal à c et (D^'^El* ) à i. On aura alors
Les exposants d'échange des substitutions correspondantes aux indices de la première série de 1 étant ainsi déterminés, on aura, en les élevant à la puissance [f^ ceux des substitutions correspondantes aux indices de la ^4- i*^"»* série (242).
252. Considérons maintenant un autre système quelconque 2'. Le groupe G, formé par les substitutions abéliennes permutables à F, étant primaire, contient au moins une substitution qui remplace les indices de 1 par des fonctions linéaires des indices de 2'. Soit S une substitution de G, choisie à volonté parmi celles qui jouissent de cette propriété.
Prenons pour indices indépendants dans l' les fonctions par lesquelles S remplace les indices de 2. Les transformées par S des substitutions qui correspondent aux indices de 2' seront les substitutions qui correspondent aux indices de 2; elles ont donc mêmes exposants d'échange mutuels que ces dernières.
