Problkme. — Tromer les facteurs de composition de S
Soit I un groupe contenu dansai et permutable à ses substitutions : nous allons chercher ses propriétés, en supposant d'abord /i > 2.
Proposition 1 : I contient une substitution différente de V unité j et qui n^ altère pas x^. — Soient en effet S une substitution de I;
/, s a, X, -\- c\ j, 4- a, X, 4- Cj j-, 4- . . .
la foDCtion par laquelle elle remplace or, : si/, ne se réduit pas a a?,, l'une au moins des quantités Cj, a^, c\,... sera^o (mod.2).
i^ Si Cj^o, S| contient une substitution T qui laisse x^ invariable, et remplace y^ par/i (280) : I contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace x^ par j,.
Cela posé, si S, laisse invariable^ x^, 72» ^3» Jst I contiendra sa transformée par
Xx, Xx X^ -4- /j, /i -4- X, -h /,
^a, Jj :r, -h X, -h J„ JT, -4-/, -f- ^3 -+-/3
laquelle laisse x^^ y^ invariables. Dans le cas contraire, parmi les substitutions de Si qui laissent x^ et j, invariables, il en est une au moins T, non échangeable à S, : et I contiendra SfMV^S, T,, qui laisse a?, invariable, et diffère de Tunité.
2® Si Cj^o, I contient la substitution S""*.Lr*SL,, qui laisse a?, invariable» et diffère de Tunité, à moins que S ne laisse /, invariable. Dans ce dernier cas, I contiendra Mr'SM,, qui laisse x^ invariable.
284. Proposition II : I contient une substitution différente de Vunité, et qtà laisse j?,, ji invariables. — Car soit S une substitution de I, qui laisse x^ invariable, et remplace y par /[ ^i', a?| -f- «T, j, 4- èjo:, h-^/^ ja -h.... Les relations (sS) et (40 donneront
d\^\y b\ rf'2 -f- . . . ^ o.
i^ Si S laisse invariables x^, y^% oc^^y^, I contiendra W*"* SW, qui n'altère pas ic, , j, .
2® Si, S altérant quelqu'un des indices a?2, ^a» ^s» Ja» oi^ ^
Si contient une substitution T qui n'altère pas x^^ y^ et ne soit pas échangeable à S : I contiendra S"*.T~* ST, qui laisse x^^ y, invariables.
3^ Enfin, si b^, d\,,.. ne sont pas tous congrus à zéro, b^ contient une substitution T qui remplace x^ par è^aja -f- rf'j^a 4-.. , sans altérer a?,, y, : et I contient S| , transformée de S par T, laquelle remplace y^ par b\x^ H-j'i -1-072. Cela posé, si 61 contient une substitution T| qui n'altère pas^i, j^i, 072» et qui ne soit pas échangeable à S|, I contiendra S^M^^SiTi,
qui laisse a?,, y^ invariables, sans se réduire à TuDilé. Dans le cas contraire, S, se réduira à la forme
(/3 étant nécessairement congru à zéro si /ï>3). Si A', ^o, I contient la transformée de S, par Mî^^MJPa.aU, laquelle laisse a?<, j, invariables : et si A', =Ei, il contient la transformée de S, par U^M,, laquelle remplace a?,, y, par a;,, }\ 4- ^i : on retombe ainsi sur Tun des cas déjà examinés.
285. Proposition III : 1 contient une des substitutions N,i^v» Qji.v» R{i.v (où [l et V sont > i).
En effet, I étant permutable aux substitutions de â,, le groupe F formé par celles de ses substitutions qui n'altèrent pas x^,y^ est évidemment permutable à celles des substitutions de 5f qui n'altèrent pas ces indices. Mais ces dernières substitutions forment un groupe ^'^f bypoabélien de première espèce par rapport aux n— i couples d'indices restants. Donc, si ti— i>2, le groupe W qu'il contient, et auxquelles ses substitutions sont permutables, contiendra Tune des substitutions Njjl^v» Q{i,v» R{i,v (270-273).
Si /i— I = :!, ceux des raisonnements de l'endroit cité qui restent applicables montrent que V (et par suite I) contient, à défaut de Tune des substitutions N^^^v» Q{ji,v» R{i,vf Tune des deux suivantes : P2.3Q8,2> W2.3Q3.2- Dans l'un et l'autre cas, il contiendra la substitution
Posons maintenant
Xiy 7, ^, -h 7, -h :r3 4- >'3, .r, -f- Jr, -+- y.^
^3, Ja r« -♦- ^1 -^ y7 -\- Xyy y, + jr, + y. + ,>-3
Ces deux substitutions sont bypoabéliennes : et Ton voit successivement
que I contiendra les substitutions suivantes :
X = A«.B-«AB, Y = (M,A)-XM,A, Z = {M,M,P,,,)-' YM,M,P,,s.Y, B = C- ZC . Y, Q.,, = Z [( P,., Q,.3 )- ZP,,, Q,.3 . B]^
286. Proposition IY : I contient ta moitié au moins des substitutions de 5i •
En «ITet, I contenant une des substitutions N|j..v» Q|&,v» R(t,v (où fi. et v sont > i) les contiendra toutes (274). II contiendra donc le groupe d dérivé de ces substitutions et de leurs transformées par celles de S|.
Or les substitutions :
•^3> ^3 Xjf Xi -h Xi -j- JTj
XD =
^a, Ja Xx -f-J, -h ^3-Hr»> ^« -»" -^3 -+-/»
^3. /i Ji -»-^a-f-ri-+-^3» ri-^^a4-J,4-7i
sont hypoabéliennes : donc ^ contiendra les suivantes :
(0 = t)- N,,, 0,.3 Q3,. R2,3 Qa,3 Na., t) =
C = t)-N,,,RMQ,,,N,.,XD =
^i> ji ^i+ri, r«
,tD =
rf = t)-'N,,3t)=:
^î, X^ ^i-f-Jrî-4-^8-4-78, ^1 -+- Ji 4- :C3 -f • ^3
^3, J3 Xx -4-71 4- ^a-f-Jî, 7i 4- JC34-7,
287. Il est maintenant aisé de voir que les substitutions de & peraietteni de remplacer l'indice x^ par l'une quelconque/, des 2^"— *„ fonctions
linéaires a\ir,-i-c, j,-i-a2a?2-f-C2j2+««« dont les coefFicients satisfont à la relation
En effet, soit d'abord a\ c\ -h a\ -hc\^o, d'où a\c^.-h...^ i. L'un au moins des produits ajCj,... sera ^o(mod. 2). Soit par exemple d^c\^\^ d*oû a'j^Cj:^! , a3C3-+-...^o. Il existe une substitution s, dérivée de celles des substitutions Njt,v> Q{i.vf R{i,v où |x et v sont > i , qui laisse X2 invariable et remplace y 2 par 72 + «'3^3-+- ^V/sH----- D'autre part, la substitution 2 qui remplace a?2, 72» ^s» Ja par iPa» J3, ^2» J2 est évidemment bypoabélienne : ^ contiendra donc la substitution S. 2'* ^2, laquelle remplace X, par/,.
Soit au contraire a, c, h- a j 4- c j ^ i , a^ Cj 4- . . . == o. Il existe une substitution 8, dérivée des substitutions Njt,v» Q{i,v» R{i,v (où /x, v sont > i), qui remplace x^ par ^'2a?2H-C2j2-^---» et suivant qu'on aura : a, ^1, Cj^o; a^ ^ I , Cj ^ I ; ou a, ^ o, Cj ^ i , / succédera a x^ par la substitution «ff, par la substitution scog*, ou par la substitution SCg*.
288. Celles des substitutions de d qui n'altèrent pas x^ permettent de faire succéder à j, l'une quelconque /[ des 2*„„, fonctions linéaires ^1 ^« "+"7« + ^'2^2-+- ^2 Ja"^--- ^^'^^ 'es coefficients satisfont à la relation ^2^2 "•"••• ^^- En effet, si b'^d^^'^-^o^ ce remplacement sera produit par la substitution (ODC)'''. Si, au contraire, les coefficients èj, «Tj,... ne sont pas tous congrus à zéro, il existe une substitution s, dérivée des substitutions N|i.,v, Q|ji,v» R{i.v» qui remplace x^ par b'^X2-h ^'2/2 "•"•••» et la substitution {CscY'.csgc produira le remplacement voulu, sans altérer x^
289. L'ordre de 5 sera donc égal à (2^"-* — 9„) :!^Vi .0, 0 étant l'ordre du groupe d' formé par celles de ses' substitutions qui n'altèrent pas x^,y^. Mais 5' contenant les substitutions Nji.,v, Q|ji,v> R|i,v et leurs transformées par les substitutions bypoabéliennes entre les /i — i couples d'indices 0721^21 •••»
son ordre est au moins égal à - W;,«, (274).
Donc 5 contient au moins (2*"— $„) 2 $;,,- w„«, substitutions, soit la
moitié au moins de celles de 5i- S'il en contenait davantage, il les contiendrait toutes : d, et par suite I se confondrait avec Sit et ce groupe serait simple. (Nous verrons plus loin que celte hypothèse n'est pas possible.)
Au contraire» si & ne contient que la, moitié des substitutions de 5i» / j>ourra être supposé moindre que 5i : il se confondra alors avec 5.
290, Proposition V : 5i a pour fadeurs de composition 2 e/ - w„. Cette proposition se démontre comme celle du n^ 275.
. Nous avons laissé de côté le cas où 7i = 2. II est aisé de voir que dsiHis ce cas les facteurs de composition cherchés sont 2, 2, 3, 2, 2.
Faisceaux hypoabèliens .
292. Soit maintenant F un faisceau de substitutions abéliennes échangeables entre elles, et tel, que le groupe formé par celles des substitutions abéliennes qui lui sont permutables soit primaire. Cherchons si Ton peut déterminer les caractères des substitutions correspondantes aux divers indices de telle sorte que F soit contenu dans Tun des groupes hypoabèliens.
Les indices indépendants étant choisis de manière à ramener les substitutions de F à leur forme canonique, on sait que chacune de ces substitutions multiplie chaque indice par un facteur constant (188-189). Soient donc x, y» — ces divers indices : une substitution de F qui les multiplie respectivement par a, ]3,... multiplie para, ]3,... les caractères des substitutions cor- ••espondantes C„ Cy,.... Mais, étant hypoabélienne, elle ne les altère pas. Donc ces caractères seront congrus a zéro, à moins que les facteurs (réels ^u complexes] a, |3,... ne se réduisent k i (mod. 2). Mais si F ne se réduit pas à la seule substitution i, l'une au moins de ses substitutions multipliera ^n des indices, x par exemple, par un facteur a différent de l'unité : on ^^ra donc Ç,j.^o. D'ailleurs la suite des facteurs par lesquels les diverses ^^^^titutions de F multiplient 7 est la même, à l'ordre près, que celle des ^pteurs par lesquels elles multiplient x (191). Donc F contient une sub- ^***ution qui multiplie 7 par a : donc C^^o; etc.
ï>onc les substitutions C^p, C^, • . . doivent avoir pour caractère zéro. Cette ^^^dition est évidemment suffisante pour que les substitutions de F n'altè- ^^l pas ces caractères. Mais il est intéressant de savoir dans chaque cas ^•^«lest celui des deux groupes hypoabèliens qui contient F.
293. Premier cas. Faisceaux de première catégorie. — Si F est de pre- • ^ère catégorie, soient x, j, ... les indices d'un système quelconque, x',
... ceux du système conjoint; u, ç^, . . . ceux des autres systèmes. Les in-
dices imaginaires j?,j,... dépendent d*un nombre égal de fonctions réelles X» Y, . . . que l'on peut prendre à leur place pour indices indépendants (151). Les substitutions C^, Cf, . . . respectivement correspondantes à ces nouveaux indices seront de la forme Q.C^.... Rapportons également chacun des autres systèmes à des indices indépendants réels; et soient X', Y\... les indices auxquels est rapporté le système conjoint du premier; U, V,... les autres; Cx'f Cy',...; Cu, Cy»... les substitutions correspondantes. Le déterminant
(Cx Cx') (Cx Cy')
(Cy Cy') (Cy Cy') . . .
ne peut être congru a zéro. Car s'il l'était, on pourrait déterminer les rapports des entiers /, m,... de telle sorte que la substitution
13 = Cx' dy» . . .
eût ses exposants d'échange avec Cx» Cy»... tous congrus à zéro. Mais les exposants d'échange (DCxO» (DCyO».-.; (DQj), (DCy),... sont déjà congrus à zéro, Cx'9 Cy,...; C^, Cy, ... étant dérivées de C^, (y»...; Cu» C^«....« dont les exposants d'échange avec les substitutions C^/, (y,... dont D est dérivée sont tous congrus a zéro. Donc tous les exposants d'échange de D seraient congrus à zéro, ce qui est inadmissible.
On pourra donc (246) déterminer .des substitutions
D — Cx' Cy • • • , D| — Cx' t^Y'
dont les exposants d'échange avec Cx» Cy,... soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci (CxD), (CyDi),... qui seront congrus a i ; et le déterminant des quantités a, j3,...; a,, j3|, ...;... n'étant pas congru à zéro, les substitutions D, D|,..., combinées entre elles, reproduiront toutes celles de la forme Ci.Cy». . . . Donc le groupe ^ dérivé des substitutions Cx, Cy, . . . ; Cx», Cy.,. . .; C|j, Cy,... sera également dérivé des substitutions C,^, Cy, ...; D, D|,...;
Chacune des substitutions C^, D, Cy, D4,... aura son caractère congru à zéro; car elle est dérivée de substitutions dont les caractères et les exposants d'échange mutuels sont tous congrus à zéro. De plus elles ont des exposants d'échange congrus à zéro avec Q,, Cy, ...; car leurs composantes jouissent de cette propriété. Par la même raison, les exposants d'échange mutuels des substitutions Cx, Cy,... sont congrus à zéro; ceux des substitutions D, D,,... également.
Opérons sur un second couple de systèmes conjoints, puis sur un troisième, etc., comme nous l'avons fait sur le premier. On voit que § sera dérivé d'une double suite de substitutions dont tous les exposants d'échange mutuels sont congrus à zéro, sauf pour les substitutions d'un même couple, dont l'exposant d'échange est congru à i; toutes ces substitutions ont en outre le caractère zéro. Donc le faisceau considéré appartient au groupe hypoabéUen de première espèce.
294. Second cas. Faisceaux de seconde catégorie, — Supposons les indices indépendants choisis comme il est indiqué (247-252) et soient 2v le nombre des séries de chaque système, |jl = p.'-^ a/ji" le nombre des indices de chaque série.
Considérons en particulier l'un des systèmes d'indices, 2. Soient j^, s^,... yf''^^.z^f''\'x^r^'\..., x^r'^ les indices de sa r 4- i'^'"^ série; E^, D,,..., ^f^'^\ Diî''""*^ C';^"''^..., C;i*~^^ les sul>stitutions corrcsponclanles. Les expos^Dis d'échange de chacune de ces substitutions avec celles qui correspondent aux divers indices indépendants seront, par hypothèse, tous congrus à zéM-o, sauf ceux-ci : (D^*^Ei!l.J = - (E^i'^Dj:;^,), qui sont congrus à i, et
(0/' C-*!,), qui sont congrus a é^\ e étant une racine arbitrairement choisie
de 1^ congruence e^^"*^— i (mod. 2). On pourra supposer e= 1.
h. Cela posé, groupons les indices en classes, en réunissant ensemble ceu^c qui sont conjugués. Ces classes seront de deux espèces : les unes conjoift tes deux à deux, comme j^,. . . , jav-i et js^^, . . . , ^av-i ; les autres conjointes à ell ^^mémes, comme x^^~'^'\...^ ^c^t-ZV' 0" pourra d'ailleurs passer des indice^ imaginaires à des indices réels, en prenant pour indices indépendants, à la place des av indices de chaque classe, les 2v fonctions réelles dont ils dép^ mdent.
Soient X, Y,... les indices réels ainsi substitués à jo»««*» 7âv-i 5 X', Y',... ceu^c qui sont substitués à 2^, . . ., Z2v-*; U, Y, . . . ceux qui sont substitués à ^à?*'"~'''\..., x''^Zi'^\ W,... les autres. Soient enfin C^', C^, ...;... les substiluiion^ correspondantes à ces nouveaux indices.
