L.^ déterminant
I (CxCv) (CxCï.) ...
i (CïCv) (CïCv) •••
ne peut être congru à zéro, par la même raison qu'au n^ 293. On pourra donc déterminer des subslilutions D, D,,... dérivées deCv, Cy,... et dont les
exposants d*échange avecCx» ^f- soient tous congrus k zéro» sauf ceux-ci : (CxD), (CTD4),...,qui seront congrus à i. Cx, D, Cr, Do... auront leurs caractères congrus à zéro, et leurs exposants d'échange avec Qt Cv»...» Cw,... seront congrus a zéro, ainsi que les exposants d'échange mutuels des substitutions Cx, C^,.... et ceux des substitutions D, D,,... (293).
296. Considérons d'autre part les substitutions Q;, Cy,.... Le déterminant de leurs exposants d'échange mutuels ne peut être congru à zéro. Car s'il l'était, on pourrait déterminer une substitution (D, dérivée de Cet Cyf-t et dont les exposants d'échange avec Cu, Cv«.-. fussent tous congrus a zéro. Mais ses exposants d'échange avec Cx, Cy,...; C^, Cy,...; C^**-- sont congrus à zéro, (£) étant dérivée des substitutions correspondantes aux indices jc'j^"^'', . . . , iv^j^,Zi\ et Cx, par exemple, l'étant des substitutions correspondantes à jo»"-» J2V-I» lesquelles ont avec les précédentes des exposants d'échange congrus à zéro. Donc (D aurait tous ses exposants d'échange congrus à zéro, ce qui est impossible.
On pourra donc déterminer (232-234) une double suite de 2v substitutions ai.|, >ft>i;...; -A^v* ^v* dérivées deQj, Cy,..., et telles que l'on ait
leurs autres exposants d'échange mutuels étant congrus à zéro, ainsi que leurs exposants d'échange avec C^t D, Cy« D,,...; C^. , On pourra en outre (258) faire en sorte que a.2f ifi>2;...; »S» '^v aient pour caractère zéro, a»i, ta», ayant à la fois pour caractère o ou i, suivant que la majorité des substitutions dérivées de Cu, Cy,... a elle-même pour caractère o ou i .
297. Il est aisé de voir que la seconde de ces deux hypothèses sera toujours la vraie. Soient en effet So»-«t ©sv-i les substitutions respectivement correspondantes aux indices imaginaires 07^''"''^..., ar-Cir^
Chacune des substitutions dérivées de C^, Cy,... accroît les indices conjugués J^^^~^'\ . . . , x'jl'^Zi' de constantes conjuguées : elle sera donc de la forme
k étant un entier réel ou complexe. Réciproquement, il est clair que toute substitution de cette forme accroît de constantes réelles les fonctions U, V,...; elle est donc dérivée de Q, C^,....
Le caractère de la substitution K est congru à
I>'ailleurs^ est un entier complexe formé avec une imaginaire de degré 2v. nombre des substitutions dérivées de Cu, Cy» • • * » dont le caractère est zéro, est donc égal au nombre des solutions communes aux deux congruences.
Sik'^^'Y^o, k'" = k (mod. 2),
uelles équivalent évidemment aux trois suivantes :
rssv— î
y/>'=o, /''=/. K+' = / (mod. 2).
lit /| une racine commune aux deux premières congruences, et qui difde zéro. La troisième congruence donnera, pour ^, 2^4- 1 valeurs distinctes correspondant à celle-là. Au contraire, a la valeur /^o, qui satisfaî t aux deux premières congruences, correspond la valeur unique ^^o. Si donc s est le nombre total des solutions communes aux deux premières congruences, k aura (2^4- i)^ — ^^ valeurs.
. Pour déterminer s, remarquons que toutes les valeurs de /sont de ï^ forme
^- et^nt une imaginaire d'ordre v. On aura donc
\ l'"= y (a -h ftX -h . . . -h rfX*- )'"= va -^ ftV X»" -f- . . . -f- dS Xc^')»' .
OrV X*^.,., \ X^"*^^'^sont respectivement la somme des racines de la
congruence irréductible dont dépend X, la somme de leurs carrés, etc.,
^^ûn la somme de leurs puissances v — i'**"*' : ce sont donc des constantes
^^^lles. D'ailleurs elles ne sont pas toutes congrues à zéro. Car si cela était,
*^s sommes de puissances des racines de la congruence en X jusqu'à la
ils LIVRE DEUXIÈME.
V — i'^"*^ inclusivement étant congrues à zéro, elle se réduirait à la forme X''-!- ^^o, résultat absurde; car si q^o, la congruence ci-dessus admet la racine o, et si q^if la racine i; elle n*est donc pas irréductible.
Supposons, pour fixer les idées, que le coefficient de i, \ X*^ soit congru
à I . On pourra prendre arbitrairement chacun des v — i autres coefficients a, ... 9 d égal à o ou à i ; et pour chaque système de valeurs de ce» coefficients, on aura une valeur de b satisfaisant à la congruence
va -h bS X»' -h ... -f- d\ X("-'^''= o.
Le nombre total s des solutions de la congruence sera donc 2^~~* ; et par suite le nombre des substitutions dérivées de Qj, C^,... qui ont le caractère zéro est égal à (a^-h 1)2"^* — a''= a*"-* — 2"^*. Les autres, en nombre 2^"-* -h 2""*, ont pour caractère i.
Donc la majorité des substitutions dérivées de Q;, C^,... a pour caractère I : donc <.i»,,>ft>, ont pour caractère i.
299. On peut raisonner sur chaque couple de classes conjointes comme
nous Tavons faitsur le couple Vof...,>'iv-i; ^o>---' ^av-iî et sur chaque classe conjointe à elle-même, comme sur la classe oc^^~^'\ . . . , J^iîlî '^ Cela posé, C^, Cy,... sont dérivées de D» D,,...; Ce, Cylesont de A|, ifV|,..., «^, t^; etc. Donc le groupe ^, dérivé des substitutions C^, Cy»...; C^., C^,...; Q,Cv,. ..;... sera dérivé de la double suite
où les exposants d*échauge sont congrus à i pour les deux substitutions d*un même couple, et à zéro dans tous les autres cas.
Soit d*ailleurs X le nombre des svstèmes: le nombre des classes d'indices qui sont leurs propres conjointes, et, par suite, le nombre p des couples de In double suite dont le caractère est i, sera égal à \a; et suivant que ce nombre sera pair ou impair, F appartiendra au premier ou au second groupe hypoabélien '258-261 .
300. Troisième cas : Faisceaux de troisième caiégorie, — Les indices étant choisis comme il a été indique (253 , groupons-les en classes, en réunissant ensemble ceux qui sont conjugués les uns des autres. On peut raisonner comme dans le cas précèdent: et comme aucune classe n>st conjointe à elle-même, F appartiendra au premier groupe hypoabélien.
§ X. — Méthodes générales pour former des groupes partiels
CONTENUS dans LE GROUPE LINÉAIRE.
Première méthode.
301. Soit F(iro, Vo»'-; ^o j,,...;...) une fonction d'un certain nombre d'indices, également répartis entre certaines suites ^r^fjo»-*-; ^o Ji »...;... . S'il existe des substitutions linéaires qui, étant opérées à la fois sur chacune de ces suites d'indices, multiplient simplement la fonction F par un facteur constant (abstraction faite des multiples du module), ces substitutions forment évidemment un groupe.
Exemple. — Supposons qu'il yait/72 suites, et que les indices 0?^,^^,... de l'aoe quelconque d'entre elles soient en nombre mn et se partagent égalemeot entre n séries a/^"^j^**^. ..;...; aif^ y^''^...;.... Désignons par D^ le déterminant formé avec les indices xir\ji''\. ..;...; ^mii»y«ii»-.' On pourra prendre F = D» H- D| -+-...-f- D„-|. Le groupe correspondant à cette substitalion satisfera à des conditions qu'il est aisé d'écrire. En posant m = 2, on aura le groupe abélien.
302. La méthode précédente, indiquée par M. Kronecker, se prête à une iB€»ovelle généralisation.
En effet, soient 9 une fonction quelconque, rationnelle et homogène des icesx«, j"^,...; X|,^|, ...;...; ^ une fonction quelconque des mêmes vaet des coefficients de f . Transformons 9 et ^ par une sutistitution re S effectuée sur chaque suite d'indices x, y,...; soient 9' et '\' les sictions transformées. Si if' s'exprime en fonction des indices et des coefts de 9' de la même manière que } s'exprimait en fonction des indices des coefficients de 9 ^abstraction faite des multiples du module^, on dira ^ est un coç€aiaiU de 9 relativement â la substitution S« Dans le cas paroù ^ ne contiendrait que les coefficients de ^ , et non les indices, on que ^ est un iwunani de f rebtivement â S.
è, il est cbir que les substitutions relativement auxquelles 'i^ est
1 00 ÎBvariant de 9 forment un groupe. Ces deux fonctions pouvant
arbitrairanent, on peut déterminer ainsi une foule de groupes.
BoTBons-nous, par exemple, au cas d'une seule suite, formée de : et soit
Pour que ^ soit un Invariant de <p par rapport à la substitution
qui transforme f en
(p' = (<f 9 -+- a'9, ) x -f- ( 69 -h 6'0. ) j, il faut qu'on ait
d'où
l^la}-^ imab -h né*,
m ^ /aa' -h m( a6' -h 6a' ) 4- n66',
n^/a"-f 2ma'6'-+-n6'*.
A chaque système de valeurs de /, m, n correspondra un groupe distinct. Ainsi, si /^i, m^o, /i^o, il vient a'^o, a*^i, et l'on obtient le groupe formé des substitutions
