Si Ton posait
9 = 9j:-+- 9,7, vJ; = (m9H-ii9,)^ 4-(/n'9 -+- /i'9,)/,
la condition de covariance donnerait
an -h a!n' ^ a'm -h 6'ii, 6m -h 6' m' ^ am' 4- 611', 6/1 ^a' m\
OU, en posant pour abréger /w'^K/i, m — /l'^L/i,
6 = Ka', 6' = a-f.La\ On obtient ainsi le groupe formé des substitutions
\ Xy y (XX -h ILaJy, a!x -+- (a -f- ha' )y \
où a, à sont des entiers constants dans une même substitution, et K, L des constantes, dont les diverses valeurs donneront autant de groupes différents.
Seconde méthode.
305. Considérons une fonction f homogène par rapport à un ou plusieurs
systèmes de variables a?, j,.. .;..., Ç, iq, ...;..., par exemple la suivante
homogène et du premier degré par rapport à deux systèmes» contenant chacun deux variables. Soient G, F deux groupes quelconques, dont les substitutions soient linéaires, et opérées respectivement sur x et v, et sur Ç, V}; soient
deux de leurs substitutions arbitrairement choisies. Opérant ces substitutions dans f , on obtient le même résultat que si l'on opérait sur les 9 la substitution
0' a (39 -h a(3'0'-4- a'(3e"-f. a'P'r ô" 6 aô -h 6 a'ô' -h t'aô" -h é V 0' S'^ 6p0-h6P'0'-h6'P0"-f-6'(3'0'
et il est clair qu'en prenant successivement pour S et 2 toutes les substitutions de G'^t de F, les substitutions correspondantes 9 forment un groupe ^. 306. Supposons en particulier qu'il n'y ait qu'un seul système de variables o?^ j^, ... ; et posons
A la substitution
S = I X, /, . . . ax -\- hy ->r . > -^ a'x -f- Wy -h ...... . |
équivaut la suivante
9=1 0, 6',... a0-i-a'e'-h..., 60 -h ft'ô' -+-...,.. . |,
laquelle ne diffère de S (abstraction faite de la désignation des variables) que par l'échange des coefficients symétriques par rapport à la diagonale de son déterminant : d*où le théorème suivant :
Théoheme. — Un groupe de substitutions linéaires étant donné , on en déduira un second f en permutant entre eux dans chacune de ses substitutions les coe^fficients symétriques Vun de Vautre par rapport à la diagonale.
En vertu de ce principe de dualité, les groupes de substitutions linéaires sont associés deux à deux. Mais il en est quelques-uns qui sont leurs pro-
près associés, par exemple ceux qui fout Tobjet des trois paragraphes précédents.
Troisième méthode.
.30y. Théorème. — Étant donnés : i^ un groupe T de substitutions linéaires entre p" lettres ; a*^ un groupe D de substitutions entre X lettres Z^, /,,... , /x.| , on en déduira un groupe G de substitutions linéaires entre p*^^ lettres.
Soient en effet
une substitution de D,
i = J X, y, ... J \ Xy y\ • • • j» y [ Xy J'y • • • j» • • • I
une substitution de T. Imaginons une suite de/i"^ lettres, caractérisées par n\ indices, que nous partagerons par la pensée en X systèmes
^•> y%y . . . 5 . • . 5 X\^xy ^A— I» • • • •
Désignons par 2 la substitution
