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qui permute ces systèmes entre eux de la même manière que S permutait les lettres correspondantes /q,..., l\^\\ par T^ la substitution
qui laisse tous les indices invariables, sauf ceux du r -+■ i''*"* système, qu'elle altère de la même manière que T altérait x^y^.... Il est clair qu*en prenant successivement pour S toutes les substitutions S', S'\... du groupe D, leurs correspondantes 1\ l'\... formeront un groupe A, isomorphe à D sans mériédrie; de même, si Ton prend pour T les diverses substitutions T', T',-.. du grouper, leurs correspondantes T^, T^,,. ..;...; T'^.^, T',,... formeront X groupes Fo,..., Fx-,, isomorphes à F sans mériédrie.
308. Considérons maintenant le groupe G dérivé de l'ensemble des substitutions des formes 2, T^, ..., Tx-|. Ses substitutions seront toutes de la forme 2ToT,.... En effet, ^{r) désignant la fonction inverse de ?(/•), on vérifie sans peine Tégalité
T.2 = 2V), ou 5;-T,2=:T+(o,
DES SUBSTITUTIONS. i^
laquelle montre que les substitutions 2 sont permutables au groupe H dérivé des substitutions T^», Ti,..., Tx^|. Donc toute substitution de G pourra se mettre sous la forme 26, 6 étant une substitution de H. Mais 6 peut se
mettre sous la forme TqTi Car, soit, par exemple, Q = TqT^TI : les
deux substitutions T^ et T^, étant opérées sur des indices différents, peuvent être interverties, ce qui ramène 6 à la forme Tq T, . Soient respectivement Q, et Oies ordres des groupes DelT : r ordre du groupe G sercÊÙO^. Car il existe ii substitutions de la forme 2, et 0 de chacune des X /ôfiTies To, T,, . . . : il existe donc ilO^ substitutions de la forme 21© T,. . .; e/f ^s sont d'ailleurs évidemment distinctes.
W9. Théorème. — La suite des facteurs de composition de G est formée facteurs de composition deî), et de ceux de T^ ces derniers répétés chacun Ifi^is,
'^D effet, soient jm^fx^v** I^s facteurs de composition de D; D, Di.Ds,..., i
uife ^ suite de groupes ayant respectivement pour ordre fi, — » — 9- •? i,
et Cels : i"" que chacun d'eux soit contenu dans le précédent, et permutable à ^^s substitutions; 2^ qu'il ne soit contenu dans aucun autre groupe plus gé «rméral jouissant de cette double propriété. Désignons par le symbole ^ènéan^l S| les diverses substitutions S'j, S",,... du groupe D4; par Sa celles diB. groupe Da, etc.; par 2|, 2a,... les substitutions correspondantes du gr^:> upe A. Soient G, G^ Ga, . . . , H, les groupes respectivement dérivés de '^ ^combinaison des substitutions 6 avec les substitutions 2, avec les substi €. utions 2,, avec les substitutions 22» etc. Les substitutions 2,, 2a,..., é^^»t de la forme 2, sont permutables à H : les substitutions de G|, Ga,... s^^^'ont donc respectivement des formes 2|e, 236,... et leur nombre sera
re ^ j)ectivement égal à — 0^, 0^, . . . .
9^1 est clair que chacun des groupes G, G,, G,,..., H est contenu dans le P'^^cédent; et nous allons prouver : i*^ qu'il est permutable à ses substitu- ^^^^*8; 2® qu'il n'est contenu dans aucun autre groupe jouissant de cette dou- "■ ^ propriété.
ï^renons pour exemple le groupe G| ; soient 2',©' une de ses substitutions, ^' ^*une quelconque des substitutions du groupe précédent G : on a identiquement
22i UVRE DEUXIÈME.
expression qui se réduit à la (orme 1'"* Hil^'Q; car, 1"^ H^^ et, par suite, r-'S^l\ sont permutables à H. D'ailleurs ^-'*I!^l'' est de la forme 2|, sa correspondante S"'* S'^ S'' étant, par hypothèse, delà forme S«. Donclatransformée appartient a G,, et 1"Q" est permutable a ce groupe.
D'autre part, il n'existe aucun groupe plus général que G4, qui soit contenu dans G et permutable à ses substitutions. Car s'il en existait un, ^|, soient g\ g'\... celles de ses substitutions qui sont de la forme 1; ff^ 5^,... leurs correspondantes de la forme S. Le groupe partiel (a", o^,...) étant plus général que le groupe formé des substitutions 2| (sans quoi ^1 ne serait pas plus général que GJ, le groupe partiel (/, /',.••) formé par leurs correspondantes sera plus général que D|. D'ailleurs il est permutable aux substitutions S; car, soit S' l'une de ces substitutions : S'"* 5' S' a pour correspondante Z'~* a'2\ laquelle est évidemment de la forme 2, et appartient en outre à ^,, auquel 2' est supposée permutable : donc 2''V2' appartient au. groupe (a', a",...); et sa correspondante S'"* 5' S', au groupe (/, /',...).
Mais, par hypothèse, il n'existe aucun groupe plus général que D«, et permutable aux substitutions S : donc l'existence du groupe ?« est inadmissible.
Les facteurs de composition de G sont donc /jL|, fJt.2> • • •» ^t les facteurs de composition de H.
310. Soient maintenant V|, v,»... les facteurs de composition de F; F, r*^ r^*\..., I, une suite de groupes ayant respectivement pour ordre 0, — >
— )• • •) I et tels, que chacun d'eux soit contenu dans le précédent, et permutable à ses substitutions, et ne soit contenu dans aucun autre groupe 'plus général jouissant de cette double propriété. Désignons par le symbole général T^'^ celles des substitutions de Fo qui correspondent aux substitutions de r^*\ par T^'^ celles qui correspondent aux substitutions de r<'^\ etc. On verra, en raisonnant comme tout à l'heure, que les groupes respectivement dérivés de la combinaison des substitutions T, Tj... avec les substitutions T., avec les substitutions T^\ avec les substitutions Ti'\ etc., enfin avec la seule
substitution 1, ont respectivement pour ordre 0^, — > — >«--i 0^-*; que
chacun d'eux est contenu dans le précédent, et permutable à ses substitutions; enfin, qu'il n'est contenu dans aucun groupe plus général jouissant de cette propriété. Donc les facteurs de composition de H sont V|, Vj,..., et les facteurs de composition du groupe H^ formé par les substitutions T Jj.-.-
On voit de même que ces derniers facteurs sont V|, v,»...» ^^t les facteurs décomposition du groupe H, formé par les substitutions T2...; et I*on continuera ainsi jusqu'à racbëvement de la démonstration.
311. Théorème. — Pour que le groupe G soit primaire ^ il faut et il suffit que r soit primaire^ et D transitif.
Si r n'est pas primaire» il existe certaines fonctions 2, 2', . . . des indices a?, j^, ... , en nombre moindre que ces indices, et que les substitutions der remplacent par des fonctions linéaires de Zj z\... (14^2). Soient Zo, z^,...: JZ|, jz'^,. ..;... les fonctions analogues respectivement formées avec les indices Xo» yo**-*; a^n Ji»...;... : leur nombre est inférieur à celui de ces indices. D'ailleurs, cbacune des substitutions 2, To, T|,... dont G est dérivé les remplace évidemment par des fonctions les unes des autres : donc G n'est pas primaire (142).
Si D n'est pas transitif, les substitutions 2 ne permutent pas transitivement les systèmes x^^ y^^...\ x^y j^^i,...; .... Groupons ces systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux que ces substitutions permutent entre eux. Il est clair que cbacune des substitutions 2, To, T|,... remplace les indices d'une même classe par des fonctions de ces seuls indices : donc G n'est pas primaire.
312. Réciproquement, si r est primaire et D transitif, G sera primaire. En effet, s'il ne l'était pas, il existerait des fonctions t{/, ^1,... des indices
^o'/o»*-*» ^if ^i»*-*;-**» ^n nombre moindre que ces indices, et telles, que chaque substitution de G les remplacerait par des fonctions linéaires de i{/, <]/i,.... Cela étant, soient ^ Uune de ces fonctions, ;(, x'»*-* celles qui la remplacent dans les diverses substitutions de G : ^, /, X'»*** étant des fonctions linéaires de <]/, tj^i,..., il en sera de même de toute fonction &) linéairement formée de celles-là; et <]/, ^1,. . . étant remplacées dans chaque substitution de G par des fonctions de (|/, ^1,..., les diverses fonctions c*), G>\... par lesquelles la fonction co se trouve remplacée dans ces mêmes substitutions, dépendraient elles-mêmes linéairement des seules fonctions ^, (|/i,..., en nombre moindre que \n.
