Cela posé, soit
v|^ = a, a:, -4- 6, J, -f- . . . -h ûr ^r -h . . •
Tune des fonctions dont on suppose l'existence. L'un au moins des coeffi-
Ji4; LIVRE DEUXIÈME.
cients ao, ^of» ^r»--- doit différer dé o {mod. p); soit par exemple ao^o (mod. p). Le groupe F étant supposé primaire, l'une au moins de ses substitutions T doit altérer la fonction a^x -{- boy -{-...; supposons qu'elle la remplace par a'oir-i- 6^ j-4-.... La substitution correspondante T^ remplace t^ par ;( = a„j?o -+■ ^'©70"+" ••• "^ ^r^r -»-•••• Cela posé, la fonction
ne contient plus que les indices du premier système.
Soient maintenant tù^t c«>of coq,... les fonctions que les diverses substitutions de Fo font succéder a ojq : la suite &)|, co'o, o^,... contiendra au plus n fonctions distinctes; car (o^, co^, (i>o,... ne contiennent que les n indices ^0' J^o»--« du premier système. Mais, d'autre part, cette suite contient en effet n fonctions distinctes : car supposons qu'elle n'en contienne que n'; soient Wo, w'^,,..., wj,"'"*^ ces fonctions; w'^ une quelconque d'entre elles; r,) la substitution de F^ qui la fait succéder à c^o; T« une substitution quelconque de F^; ^^ 1^ fonction qu'elle fait succéder à cjq. La substitution T^Tq fait succéder fo^ ^o' ?o f^it donc partie de la suite (o^, gd'q, (ùq^...; c'est donc une fonction linéaire de w^,, w^,..., coi'*'"*^ Ainsi chaque substitution de F^, fait succéder à chacune des n' fonctions w^, «'^j,..., w^"'"* une fonction linéaire de ces mêmes fonctions. Donc le groupe Fe, ou le groupe F, qui n'en diffère que par la dénomination des variables, ne sera pas primaire : résultai contraire à notre supposition.
La suite coo, (o)^, oj'^,,... contient donc n fonctions distinctes o)^, o'o,.., fo\l"'^\ Soient en général W;., w'^ ,..., w^,!""*^ les fonctions formées avec Xr, jr»--comme celles-ci le sont avec x^f jo» Ces nouvelles fonctions sont évidemment distinctes entre elles; elles sont en outre distinctes des précédentes, étant formées avec des indices différents. Les ni fonctions oo^, fo'^,,..., wS>"~*^;...; a))^o co^.»,..., wl!:;*^ sont donc distinctes. D'ailleursG contient une substitution qui remplace (à par l'une quelconque de ces fonctions telle que w'^. Soit, en effet, T^ la substitution qui remplace wq par w'^. Le groupe D étant supposé transitif, A contient une substitution 2' qui remplace ar^^,/^^,... par Xr9 yrf'f et, par suite, w'^ par w' ; et la substitution I'Tq remplacera w^^ par w',. .
Ainsi les substitutions de G remplacent gj^ par des fonctions parmi lesquelles il en est Xn de distinctes; résultat contraire à celui du n*^ 312. Donc il est absurde de supposer G non primaire.
314. fiemarque. — Si D est transitif, les substitutions de G dérivent
(5^ — 1)5; et Ton vérifie sans peine son identité avec le groupe exceptionnel signalé au n^ 88.
316. La remarque de Galois s'étend sans difficulté aux groupes linéaires de degré /?". On obtient ainsi en général un groupe de degré ^^ > dont
les substitutions, en nombre (P""~')(P'' — P) ■ - r—p — )^ g^^j linéaires
fractionnaires avec /i — i indéterminées.
Si Ton opérait, non plus sur les groupes linéaires les plus généraux, mais sur des groupes plus particuliers, od obtiendrait de nouveaux groupes particuliers, contenus dans les groupes linéaires fractionnaires généraux que nous venons d'indiquer.
Soit, par exemple, G' le groupe formé par celles des substitutions de G dont le déterminant est congru à i : on en déduira un groupe H' formé par celles des substitutions de H dont le déterminant est congru à i, ou, ce qui revient au même, à un résidu quadratique quelconque; car il est clair qu'on ne change pas les substitutions de H en multipliant leur numérateur et leur dénominateur par un même entier m, ce qui multiplie le déterminant par m'.
317. Il existe des groupes de substitutions de degré moindre que les précédents, et dérivant également des groupes de substitutions linéaires.
Considérons en effet le groupe G' formé des substitutions
Xy y% , . . ax +2 6/ -*-..., a' j: H- Vy -f- ...... . 1
où Xy j, ...; oc^y ji,...;... représentent y séries conjuguées contenant chacune m indices imaginaires. L'ordre û de ce groupe est égal à (^'nv jj (^pm^p^y^^ (^mv^(m-ov) (jgg) Groupous maintenant dans un
même système les/?^— i lettres pour lesquelles les m indices a?, y,... ont entre eux les mêmes rapports. Chaque substitution de G' remplacera les lettres de chaque système par celles d'un même système; et les déplacements des systèmes formeront un groupe H', de degré ^^ ~' et d'ordre
Groupes de Steiner (*).
318. Considérons un système de lettres, en nombre s\.n = ^^""^ — 2"-' : et supposons-les représentées par le symbole général {x^,y^^...^ ^n* J/i)» où Ton assignera aux indices x^^ y^^...^ Xn, y» tous les systèmes de valeurs (non congrus par rapport au module 2) qui satisfont à la congruence
^1 Ji -+-. • '-^ XnXn^o (mod. 2).
Effectuons les produits /x à fx de ces diverses lettres; puis formons la somme de tous ceux de ces produits tels que
qui satisfont au système de relations exprimé par les formules
(44) ;r;-har;H-...-f-Jc<»*)=/p4-rp-4-..--f-/;'*) = o (mod.2),
OÙ p prendra successivement les valeurs 1, 2, 3,...» /». Soit f^ la fonction entière de degré |x que Ton obtient ainsi. Nous allons étudier successivement :
1^ Le groupe G formé par les substitutions qui laissent invariables les fonctions de degré pair ^4, f^,...;
2^ Le groupe 6| formé par les substitutions qui laissent invariables toutes les fonctions ^i^., quel que soit leur degré.
319. Étude nu groupe G. — Soient «i, ^i,..., a^,, ^n des entiers en nombre 211 et qui ne soient pas tous congrus à o (mod.2). Formons tous les couples possibles de lettres (Ç|, i^i,..., Ç«> >î/i)» (l'i» >3'i>..., §'„» V«) tels que l'on ait» pour toute valeur de p,
$^ = g^-hap, yj'^ = yjp -f. (3^ (mod.a);
puis désignons par le symbole [a^ jSw-» oLn, ^n] I^ substitution d'ordre 2 qui a pour cycles ces divers couples. Celte substitution appartiendra à G; car elle laisse (f^ invariable pour toute valeur paire de fx.
En eff-et, soit {x\, /,,..., a?'„, /.)... (^i^^l^--- ^^//O un des
(*) L'un de ces groupes a été étudié d'abord par Steiner : mais M. Clebsch en a donné le premier une définition précise et générale. (Journal de M, Borchardt^ t. LXIII.)
23«) LIVRE DEUXIÈIIE.
lernies de 9^. On aura la relation
et la substitution ^a,, /S,,..., a^,, j3«j remplacera la lettre {x\,y\f...f x^ , y\) par ^a?', -ha,, j''j -1-/3,,..., ^1. -f- a^, y„ -t-jS^,), s'il existe une semblable leltre, c'est-à-dire si Ton a la relation
laquelle, en tenant compte de (45j, se réduit à
Si au contraire le premier membre de cette formule est congru à i , la lettre ix^y y\*"^ ^it»y«) "^ sera pas déplacée par cette substitution.
Ta même observation s'applique à chacune des autres lettres ..., 'xf'y yf'y...^ x^^'t y^n^)' Donc le nombre m des lettres de la suite
x,, y,,..., x\, yj,..., {xj^\ y,*"-,..., xf, yf) non déplacées par la substitution '^a,, j3,,..., a„f ^n] est congru à la somme
\^ 3, jr, 4- a, ^>', 4- ... H- ?. X, -H x^Xn 4- a, ?, -h . . . -1- a, ?•
prise par rapport à ces diverses lettres. Mais on a
\ a.3. 4-. . .-h a,;3, = ijl' Xx^^ -^ . . . -h x^^n'^o uétantpair.
Donc m est pair; et le nombre fx — m des lettres déplacées le sera également. Cela posé, désignons par (Ç^y ri\,..., ë*. , V«),... les racines que a,, ^M..., a„, j3„j fait succéder à {x\, y,,...f ^«» y») Parmi les indices S', , ^ »... il y en aura m égaux aux indices correspondants de la suite x\ , jr*,..., et II — m égaux aux indices correspondants augmentés de a^. On aura donc
El 4~ ... 4- J.*^ ^ y 4- ... 4- J^/ 4- , a — /Il ae ^ o.
De même
ras SUBSTITUTIONS. 231
Ces relations montrent que le produit des lettres [S^^ in\9'"9 Ci» '^'n)»**est un terme de f^. Donc [a,, /3|,..., a^, ^n] remplace les uns par les autres les termes de cette fonction^ et n'altère pas la fonction elle-même.
En faisant varier a^ ^i,..., a„, ^„, on obtiendra 2^"—! substitutions distinctes, qui toutes appartiennent à G. Ces substitutions jouissent de propriétés intéressantes, signalées en partie par Steineri et que nous allons exposer.
320. Théorème. — La substitution fa,, jS,,..., a^» jSmJ déplace 2<^,;| lettres.
En effet, le nombre des lettres déplacées est égal (319) au nombre des solutions simultanées des deux congruences
Or Tune au moins des quantités «<, |3|,..., a„, ^„ est ^o(mod.2), par hypothèse; soit, par exemple, a<^î. La seconde des congruences (47) déterminera y^ en fonction des autres indices, lesquels satisferont a la relation
laquelle, en remarquant que arj^ar,, peut être mise sous la forme
et comporte 2^„, systèmes de solutions; car on pfeut prendre a;, arbitrairement, puis déterminer de ^„, manières ^r^ — «a^r,, J2 — r^2^i»--i el par suite X2, j2>-««
321 . Paoblème. — Trouver le nombre des lettres déplacées à la /ois par les deuœ substitutions [a^, j3,,..., (x„, ^„] et 'a\, ]S'j,..., «', , ^'„].
Ce nombre est évidemment celui dos solutions communes aux congruences
Soit pour fixer les idées a,E^i. Tirons la valeur de v, de la seconde
coDgrueace, et substituons-la dans les deux autres. Posons en outre Ces congruences deviendront
Ici deux cas seront à distinguer.
322. i*^ Si K^i, la première relation donnera pour a^jj/j,..., x^^y\ ^„, systèmes de solutions, pour chacun desquels la seconde relation déterminera ensuite x^. Les deux substitutions auront doncSi„^ lettres communes parmi celles quelles déplacent.
Ces lettres appartiendront toutes à des cycles différents dans chacune des deux substitutions considérées. Car soit (^n J^i»...) une lettre commune aux deux substitutions. Pour que la lettre [x^ -+- a,, ji -4- 13, ,...), qui fait partie du même cycle dans la première substitution, fût déplacée aussi par la seconde substitution, il faudrait qu'on eût
OU, en tenant compte des relations (4^)»
On remarquera enfin que les deux lettres (^i -f- «i , ji -4- j3, , . . . ) et {x^-hu\, y^ -i-^'j,...) respectivement associées à [x^^ J^o*-) dans les cycles de [a,, |3,,...] et de [a'j, jS*, ,...] sont associées ensemble dans un cycle de la substitution [a< -h a, , /S, -h /ïj ,...J qui formera ainsi avec les deux précédentes un trio de substitutions ayant deux à deux S^n-\ lettres communes.
Le nombre des trios différents est égal à g ^2,( : car le nombre des solutions de la congruence K^i, où les a, /3, (x.\ |3', sont considérés comme variables, est A^n; et Ton a évidemment six solutions différentes fournissant le même trio.
323. 2"" Soit K^o. Les quantités ^'^ -h a^ |3p, «^ 4- a'^ u^ ne peuvent être toutes à la fois congrues à zéro. Car si cela était, K se réduirait à ses deux
'àSi UVRE DEUXIEME.
324. Soit toujours K^o, et supposons /i>3. Les deux substitutions
[a,, /3|,...j, [a,, jS'i»...] ont en commun ^„«j quaternes. Soient (^m j'i..--)» (^, -f-a% y, -4-^%...) deux lettres quelconques prises dans deux quaternes différents. Elles forment ensemble un cycle d'une nrouvelle substitution [o!.\, /^'••••]* Cherchons combien de lettres seront communes à la fois à cette substitution et aux deux précédentes.
Chacune des deux substitutions [a^ jS,,.,.], [a\, /3'if*J contenant à la fois les deux lettres d'un même cycle de [oc\, p%...]> ^^ ^"^^
Supposons toujours, pour fixer les idées, qu'on ait «1=^1 : on aura à satisfaire simultanément aux quatre relations
2^^ ^9X9 -+■ (3? ^9 =2jx ^^ ^^' 2j, ^'? -^i = ' '
dont la première détermine 7, en laissant ^1 indéterminé. Les trois autres déterminent les quantités x\ , y\ de 4^/i-i manières différentes : car ces relations sont entièrement analogues à celles du problème précédent, le nombre des inconnues étant diminué de deux. En effet : 1" on ne peut avoir à la fois pour toutes les valeurs 2,..., /i de l'entier p
(3p -H « , (3p = PJ -h < (3p, a'p -f- a , a^ = «^ -4- a", a^.
Car ces relations, jointes aux suivantes : K^M^o, donneraient, dans le cas cil «", ^a'j, a'^a^, /5p^/3p, et enfin ^\^^^\ et-dans le cas où a* = a'j -f- I =a, H- a, , a' =ap h- «p, /3J =/î'p H- /3p, ^\^^^ + |3,, La racine (ar, 4-a', ji-H/3*»...) appartiendrait donc, contre l'hypothèse, au même quaterne que (ic,, 7,,...); 2^ on a la relation
Car cette relation, développée, donne la suivante
que les relations L = M ^ K ^ o, jointes à l'hypothèse a, ^ i , réduisent à ridentité
Donc le nombre des lettres communes aux trois substitutions sera 8^;,3. On peut les grouper en octaves. Car soit (a?,, /!»•••) l'une d'elles : il existera une autre lettre dont les indices sont respectivement â;|H-Xa,-l" X'a, 4-X"a* , ^y, -f-X/3, -f-X'/y, -f-X"/?',,..., quels que soient les entiers X, X', X". En effet, cela suppose seulement la relation
^" (X, + x«,-h x'«; 4- rai) (r> x(3, -f- x'(î; 4- r^;) = i,
laquelle devient identique, en tenant compte des suivantes :
Or il est clair que les 8 lettres obtenues par la variation de X, V» X'' sont communes ^ non-seulement aux trois substitutions considérées^ mais plus gênércUement aux sept qui sont contenues dans la formule
où juL, ji', [i!' sont des entiers quelconques qui ne soient pas simultanément congrus a zéro. Elles formeront quatre cycles dans chacune de ces substitutions, la lettre (a?, -f-X,a, H-X'a, -hX''a%...) par exemple, ayant pour associée (ic,-+- [Xh- |jlJ a, -h [A'-^F-'J a'i-i- \^"-^l^"] a'i»---)- ^1 ^^t clair d'ailleurs qu'en choisissant convenablement /i, |x\ ^i" on peut donner pour associée à la lettre donnée une quelconque des autres lettres du même octave.
325. Si w > 4» on aura plusieurs octaves. Soient (^o ji....) cl (x4-f-i3t'[, J« + i3^»-) <leux lettres quelconques, prises dans des octaves différents. On démontrera comme précédemment que les quatre substitutions [a,, /2, ,...], [a,,^\,...], [a\,^\,...], [a\, f,,...] ont \&ê^n-k lettres communes^ lesquelles seront également communes aux i5 substitutions données par la formule
â3(i UVRE DEUXIÈME.
et pourront être groupées en faisceaux de i6, en réunissant ensemble celtes que donne la formule
Les lettres d'un même faisceau seront exclusivement associées entre elles dans les cycles des i5 substitutions ci-dessus, et chacune d'elles le sera à toutes les autres.
Si /i > 5, on continuera de même.
326. Nous allons maintenant prouver que G dérive des seules substitutions Ta,, /3,,...j, et déterminer son ordre.
Lemme. — Le groupe G est au moins deux fois transitif
Et d'abord, H est transitif. Car soient (^^0^1....)» (^l'yi»-*-) dcu^^ lettres quelconques : G contient la substitution [x^ h- x\, y^ H-/', f-j» qui les remplace l'une par l'autre.
Cela posé, si G n'était qu'une fois transitif, considérons celles de ses substitutions qui laissent immobile une lettre donnée (ic,, ji,...). Les A^— i autres lettres pourraient être réparties en classes, en réunissant ensemble celles que ces substitutions permutent entre elles; et l'une au moins de
ces classes contiendrait au plus - {^n— >) lettres. Mais soit {^\f y\*">)
une lettre appartenant à cette classe : la substitution [ic,-+-a?', , /iH-j'i»..-] déplace 2^,^, lettres. Soit {^\f y\f'**) une quelconque des «^h— a^^^^-, lettres restantes : la substitution \x\-\^x\^ yi "+">'*i»---J ^^^^ succéder (^"i,^!,...) k (^',f 74»...) sans déplacer (a:,, Vi,...}; car si elle déplaçait cette lettre, on aurait
et \x,-^-x\,y,-i-y\,...\ déplacerait {ic\,y\,...) (323), contre l'hypothèse.
Donc la classe à laquelle appartient {x\, y ) contient au moins les
^«- 2A«-i lettres telles que {x\, y\,...). Mais A„ - 2.ft„, > i (a„— i). On arrive donc à une contradiction.
327. TiiEOiiÈME. — Le groupe G est dérivé des seules substitutiotis
a, , ^1 , . . . j ; et son ordre i\ est égal à
A, J {é\.,- I >2"-' (il,, - I! 7'«-\ . . cRj- , 0.4 î I .9.. 3.4.5, si // > 2,
